Гипотеза Била

Гипотеза Била — это следующая гипотеза теории чисел :

Нерешенная задача по математике :

Если $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ где A , B , C , x , y , z — положительные целые числа, а x , y , z — ≥ 3, имеют ли A , B и C общий простой делитель?

(еще нерешенные задачи по математике)

Если

$A^{x}+B^{y}=C^{z}$,

где A , B , C , x , y и z — положительные целые числа с x , y , z ≥ 3, тогда A , B и C имеют общий простой делитель .

Эквивалентно,

Уравнение $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ не имеет решений в натуральных числах и попарно взаимно простых целых числах A, B, C, если x, y, z ≥ 3.

Гипотеза была сформулирована в 1993 году Эндрю Билом , банкиром и математиком-любителем , при исследовании обобщений Великой теоремы Ферма . С 1997 года Бил предлагал денежную премию за рецензируемое доказательство этой гипотезы или контрпример . Стоимость приза увеличилась в несколько раз и на данный момент составляет 1 миллион долларов.

В некоторых публикациях эту гипотезу иногда называют обобщенным уравнением Ферма: гипотеза Молдина, и гипотеза Тейдемана-Загира.

Связанные примеры

Для иллюстрации решение $3^{3}+6^{3}=3^{5}$ имеет основания с общим делителем 3, решение $7^{3}+7^{4}=14^{3}$ имеет основания с общим делителем 7, и $2^{n}+2^{n}=2^{n+1}$ имеет основания с общим коэффициентом 2. Действительно, уравнение имеет бесконечно много решений, в которых основания имеют общий коэффициент, включая обобщения трех приведенных выше примеров соответственно.

$3^{3n}+[2(3^{n})]^{3}=3^{3n+2},\quad \quad n\geq 1;$

$[b(a^{n}-b^{n})^{k}]^{n}+(a^{n}-b^{n})^{kn+1}=[a(a^{n}-b^{n})^{k}]^{n},\quad \quad a>b,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3;$

и

$[a(a^{n}+b^{n})^{k}]^{n}+[b(a^{n}+b^{n})^{k}]^{n}=(a^{n}+b^{n})^{kn+1},\quad \quad a\geq 1,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3.$

Более того, для каждого решения (с взаимно простыми основаниями или без них) существует бесконечно много решений с одинаковым набором показателей и возрастающим набором невзаимно простых оснований. То есть для решения

$A_{1}^{x}+B_{1}^{y}=C_{1}^{z}$

у нас дополнительно есть

$A_{n}^{x}+B_{n}^{y}=C_{n}^{z};$ $n\geq 2$

где

$A_{n}=(A_{n-1}^{yz+1})(B_{n-1}^{yz})(C_{n-1}^{yz})$

$B_{n}=(A_{n-1}^{xz})(B_{n-1}^{xz+1})(C_{n-1}^{xz})$

$C_{n}=(A_{n-1}^{xy})(B_{n-1}^{xy})(C_{n-1}^{xy+1})$

Любое решение гипотезы Била обязательно будет включать три члена, каждый из которых является 3-степенным числом , то есть числа, у которых показатель степени каждого простого множителя не менее трех. Известно, что таких сумм, включающих взаимно простые 3-степенные числа, существует бесконечное множество; однако такие суммы редки. Два самых маленьких примера:

${\begin{aligned}271^{3}+2^{3}\ 3^{5}\ 73^{3}=919^{3}&=776{,}151{,}559\\3^{4}\ 29^{3}\ 89^{3}+7^{3}\ 11^{3}\ 167^{3}=2^{7}\ 5^{4}\ 353^{3}&=3{,}518{,}958{,}160{,}000\\\end{aligned}}$

Что отличает гипотезу Била, так это то, что она требует, чтобы каждый из трех терминов был выражен как одна сила.

Связь с другими гипотезами

Великая теорема Ферма установила, что $A^{n}+B^{n}=C^{n}$ не имеет решений при n для натуральных чисел A , B и C. > 2 Если бы существовали какие-либо решения Великой теоремы Ферма, то, разделив все общие множители, также существовали бы решения с A , B и C взаимно простыми. Следовательно, Великую теорему Ферма можно рассматривать как частный случай гипотезы Била, ограниченной x = y = z .

Гипотеза Ферма -Каталана состоит в том, что $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ имеет только конечное число решений, где A , B и C являются положительными целыми числами без общего простого множителя, а x , y и z являются положительными целыми числами, удовлетворяющими ${\textstyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}<1}$. Гипотезу Била можно переформулировать так: «Все решения гипотезы Ферма – Каталана будут использовать 2 в качестве показателя степени».

Гипотеза abc подразумевала бы, что существует не более конечного числа контрпримеров к гипотезе Била.

Частичные результаты

В приведенных ниже случаях, когда n кратные n является показателем степени, также доказываются , поскольку kn -я степень также является n -й степенью. Там, где ниже упоминаются решения, включающие вторую степень, их можно найти конкретно в гипотезе Ферма – Каталана # Известные решения . Все случаи вида (2, 3, n ) или (2, n , 3) ​​имеют решение 2 ³ + 1 ^н = 3 ² которое ниже называется каталонским решением .

• Случай x = y = z ≥ 3 — это Великая теорема Ферма , отсутствие решений которой было доказано Эндрю Уайлсом в 1994 году.
• доказали, что случай ( x , y , z ) = (2, 3, 7) и все его перестановки имеют только четыре некаталонских решения, ни одно из которых не противоречит гипотезе Била. Бьорн Пунен , Эдвард Ф. Шефер и Майкл Столл в 2005 году.
• Нильс Брюин в 2003 году доказал, что случай ( x , y , z ) = (2, 3, 8) и все его перестановки имеют только одно некаталонское решение, что не противоречит гипотезе Била.
• Известно, что случай ( x , y , z ) = (2, 3, 9) и все его перестановки имеют только одно некаталонское решение, что не противоречит гипотезе Била, выдвинутой Нильсом Брюином в 2003 году.
• случай ( x , y , z ) = (2, 3, 10) и все его перестановки имеют только каталонское решение. Дэвид Зурейк-Браун в 2009 году доказал, что
• Фрейтас, Наскренцки и Столл доказали, что случай ( x , y , z ) = (2, 3, 11) и все его перестановки имеют только каталонское решение.
• Случай ( x , y , z ) = (2, 3, 15) и все его перестановки были доказаны Самиром Сиксеком и Майклом Столлом в 2013 году.
• Случай ( x , y , z ) = (2, 4, 4) и все его перестановки не имеют решений в результате совместной работы Пьера де Ферма в 1640-х годах и Эйлера в 1738 году. (См. одно доказательство здесь и другое здесь. )
• Известно, что случай ( x , y , z ) = (2, 4, 5) и все его перестановки имеют только одно некаталанское решение, что не противоречит гипотезе Била, выдвинутой Нильсом Брюином в 2003 году.
• Случай ( x , y , z ) = (2, 4, n ) и все его перестановки были доказаны для n ≥ 6 Майклом Беннеттом, Джорданом Элленбергом и Натаном Нг в 2009 году.
• Случай ( x , y , z ) = (2, 6, n ) и все его перестановки были доказаны для n ≥ 3 Майклом Беннеттом и Имином Ченом в 2011 году и Беннеттом, Ченом, Даменом и Яздани в 2014 году.
• Случай ( x , y , z ) = (2, 2 n , 3) ​​и все его перестановки были доказаны для 3 ≤ n ≤ 10. ⁷ за исключением n = 7 и различных сравнений по модулю, когда n простое, чтобы не было некаталонского решения Беннета, Чена, Дамена и Яздани.
• Случаи ( x , y , z ) = (2, 2 n , 9), (2, 2 n , 10), (2, 2 n , 15) и все их перестановки были доказаны для n ≥ 2 Беннеттом, Ченом , Дамен и Яздани в 2014 году.
• Случай ( x , y , z ) = (3, 3, n ) и все его перестановки доказаны для 3 ≤ n ≤ 10. ⁹ и различные сравнения по модулю, когда n простое.
• Случай ( x , y , z ) = (3, 4, 5) и все его перестановки были доказаны Сиксеком и Столлом в 2011 году.
• Случай ( x , y , z ) = (3, 5, 5) и все его перестановки были доказаны Бьорном Пуненом в 1998 году.
• Случай ( x , y , z ) = (3, 6, n ) и все его перестановки были доказаны для n ≥ 3 Беннеттом, Ченом, Даменом и Яздани в 2014 году.
• Случай ( x , y , z ) = (2 n , 3, 4) и все его перестановки были доказаны для n ≥ 2 Беннеттом, Ченом, Даменом и Яздани в 2014 году.
• Случаи (5, 5, 7), (5, 5, 19), (7, 7, 5) и все их перестановки были доказаны Сандером Р. Даменом и Самиром Сиксеком в 2013 году.
• Случаи ( x , y , z ) = ( n , n , 2) и все его перестановки были доказаны для n ≥ 4 Дармоном и Мерелем в 1995 году после работы Эйлера и Пунена.
• Случаи ( x , y , z ) = ( n , n , 3) и все его перестановки были доказаны для n ≥ 3 Эдуардом Лукасом , Бьорном Пуненом , Дармоном и Мерелем .
• Случай ( x , y , z ) = (2 n , 2 n , 5) и все его перестановки были доказаны для n ≥ 2 Беннеттом в 2006 году.
• Случай ( x , y , z ) = (2 l , 2 m , n ) и все его перестановки были доказаны для l , m ≥ 5 простых чисел и n = 3, 5, 7, 11 Анни и Сиксеком.
• Случай ( x , y , z ) = (2 l , 2 m , 13) и все его перестановки были доказаны для l , m ≥ 5 простых чисел Биллери, Ченом, Дембеле, Дьелефе, Фрейтасом.
• Случай ( x , y , z ) = (3 l , 3 m , n ) является прямым для l , m ≥ 2 и n ≥ 3 из работы Крауса.
• Теорема Дармона-Гранвилля использует теорему Фалтингса , чтобы показать, что для каждого конкретного выбора показателей ( x , y , z ) существует не более конечного числа взаимно простых решений для ( A , B , C ).
• Невозможность случая A = 1 или B = 1 вытекает из гипотезы Каталана , доказанной в 2002 году Предой Михайлеску . (Примечание: C не может быть равно 1, или одно из A и B должно быть равно 0, что недопустимо.)
• Потенциальный класс решений уравнения, а именно те, в которых A, B, C также образуют пифагорову тройку , были рассмотрены Л. Есмановичем в 1950-х годах. Дж. Йозефиак доказал, что существует бесконечное число примитивных пифагорейских троек, которые не могут удовлетворять уравнению Била. Дальнейшие результаты принадлежат Чао Ко.
• Питер Норвиг , директор по исследованиям Google , сообщил, что провел серию числовых поисков контрпримеров к гипотезе Била. Среди своих результатов он исключил все возможные решения, имеющие каждое из x , y , z ≤ 7 и каждое из A , B , C ≤ 250 000, а также возможные решения, имеющие каждое из x , y , z ≤ 100 и каждое из A , В , С ≤ 10 000.
• Если A , B нечетны, а x , y четны, гипотеза Била не имеет контрпримера.
• Предполагая справедливость гипотезы Била, существует верхняя граница для любого общего делителя x , y и z в выражении $ax^{m}+by^{n}=z^{r}$.

Приз

В качестве опубликованного доказательства или контрпримера банкир Эндрю Бил первоначально предложил премию в размере 5000 долларов США в 1997 году, увеличив ее до 50 000 долларов США в течение десяти лет. но с тех пор поднял его до 1 000 000 долларов США.

Американское математическое общество (AMS) держит приз в 1 миллион долларов в доверительном управлении до тех пор, пока гипотеза Била не будет решена. Его контролирует Комитет премии Билла (BPC), который назначается президентом AMS.

Варианты

Контрпримеры $3^{5}+10^{2}=7^{3}$, $7^{3}+13^{2}=2^{9}$, и $1^{m}+2^{3}=3^{2}$ покажите, что гипотеза была бы ложной, если бы одному из показателей степени было разрешено равняться 2. Гипотеза Ферма-Каталана - это открытая гипотеза, касающаяся таких случаев (условие этой гипотезы состоит в том, что сумма обратных величин меньше 1). Если мы допустим, чтобы не более одного из показателей степени было равно 2, то решений может быть только конечное число (кроме случая $1^{m}+2^{3}=3^{2}$).

Если A , B , C могут иметь общий простой делитель, то гипотеза неверна; Классический контрпример $2^{10}+2^{10}=2^{11}$.

Вариант гипотезы, утверждающий, что x , y , z (вместо A , B , C ) должен иметь общий простой делитель, неверен. Контрпример $27^{4}+162^{3}=9^{7},$ в котором числа 4, 3 и 7 не имеют общего простого делителя. (На самом деле, максимальный действительный общий простой делитель показателей равен 2; общий делитель, превышающий 2, был бы контрпримером к Великой теореме Ферма.)

Гипотеза недействительна в более широкой области гауссовских целых чисел . После того, как за контрпример был предложен приз в размере 50 долларов, Фред В. Хелениус предложил $(-2+i)^{3}+(-2-i)^{3}=(1+i)^{4}$.

См. также

• Гипотеза ABC
• Гипотеза Эйлера о сумме степеней
• Уравнение Якоби–Мэддена
• Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта
• Номер такси
• Пифагорова четверка
• Суммы степеней , список связанных гипотез и теорем
• Распределенные вычисления
• БОИНК

Внешние ссылки

• Страница офиса Beal Prize
• Bealconjecture.com
• Math.unt.edu
• Гипотеза Била в PlanetMath .
• Обсуждение на Mathoverflow.net названия и даты возникновения теоремы