Гипотеза Каталана

Гипотеза Каталана (или теорема Михайлеску ) — теорема теории чисел математиком , выдвинутая Эженом Шарлем Каталаном в 1844 году и доказанная в 2002 году Предой Михайлеску из Университета Падерборна . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Целые числа 2 ³ и 3 ² — это две совершенные степени (то есть степени показателя больше единицы) натуральных чисел , значения которых (8 и 9 соответственно) являются последовательными. Теорема утверждает, что это единственный случай двух последовательных совершенных степеней. То есть, что

Гипотеза Каталана — единственное решение в натуральных числах

x^{a}-y^{b}=1

для $a, b > 1$ , $x, y > 0$ это $x = 3$ , $a = 2$ , $y = 2$ , $b = 3$ .

История

История проблемы восходит, по крайней мере, к Герсониду , который доказал частный случай гипотезы в 1343 году, когда ( x , y ) было ограничено до (2, 3) или (3, 2). Первый значительный прогресс после того, как Каталан выдвинул свою гипотезу, произошел в 1850 году, когда Виктор-Амеде Лебег рассмотрел случай b = 2. ^{[ 3 ]}

В 1976 году Роберт Тейдеман применил метод Бейкера в теории трансцендентности , чтобы установить границу для a, b, и использовал существующие результаты, ограничивающие x , y в терминах a , b , чтобы дать эффективную верхнюю оценку для x , y , a , b . Мишель Ланжевен вычислил значение $\exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}$ для границы, ^{[ 4 ]} решение гипотезы Каталана для всех случаев, кроме конечного числа.

Гипотеза Каталана была доказана Предой Михайлеску в апреле 2002 года. Доказательство было опубликовано в журнале Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004. В нем широко используется теория круговых полей и модулей Галуа . Изложение доказательства было дано Юрием Билю в «Семинаре Бурбаки» . ^{[ 5 ]} В 2005 году Михайлеску опубликовал упрощенное доказательство. ^{[ 6 ]}

Гипотеза Пиллаи

Нерешенная задача по математике :

Встречается ли каждое положительное целое число только конечное число раз как разность совершенных степеней?

(еще нерешенные задачи по математике)

Гипотеза Пиллаи касается общего различия совершенных полномочий (последовательность A001597 в OEIS ): это открытая проблема, первоначально предложенная С. С. Пиллаи , который предположил, что пробелы в последовательности совершенных полномочий стремятся к бесконечности. Это эквивалентно утверждению, что каждое положительное целое число встречается только конечное число раз как разность совершенных степеней: в более общем смысле, в 1931 году Пиллаи предположил, что для фиксированных положительных целых чисел A , B , C уравнение $Ax^{n}-By^{m}=C$ имеет только конечное число решений ( x , y , m , n ) с ( m , n ) ≠ (2, 2). Пиллаи доказал, что для фиксированных A , B , x , y и для любого λ меньше 1 мы имеем $|Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}$ равномерно по m и n . ^{[ 7 ]}

Общая гипотеза будет следовать из гипотезы ABC . ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Гипотеза Пиллаи означает, что для каждого натурального числа n существует только конечное число пар совершенных степеней с разницей n . В приведенном ниже списке для n ≤ 64 показаны все решения для совершенных степеней менее 10. ¹⁸, такой, что показатель степени обеих степеней больше 1. Количество таких решений для каждого n указано в OEIS : A076427 . См. также OEIS : A103953 для наименьшего решения (> 0).

н	решение считать	числа k такие, что k и k + n обе совершенные силы	н	решение считать	числа k такие, что k и k + n обе совершенные силы
1	1	8	33	2	16, 256
2	1	25	34	0	никто
3	2	1, 125	35	3	1, 289, 1296
4	3	4, 32, 121	36	2	64, 1728
5	2	4, 27	37	3	27, 324, 14 348 907
6	0	никто	38	1	1331
7	5	1, 9, 25, 121, 32 761	39	4	25, 361, 961, 10 609
8	3	1, 8, 97 336	40	4	9, 81, 216, 2704
9	4	16, 27, 216, 64 000	41	3	8, 128, 400
10	1	2187	42	0	никто
11	4	16, 25, 3125, 3364	43	1	441
12	2	4, 2197	44	3	81, 100, 125
13	3	36, 243, 4900	45	4	4, 36, 484, 9216
14	0	никто	46	1	243
15	3	1, 49, 1 295 029	47	6	81, 169, 196, 529, 1681, 250 000
16	3	9, 16, 128	48	4	1, 16, 121, 21904
17	7	8, 32, 64, 512, 79 507 , 140 608 , 143 384 152 904	49	3	32, 576, 274 576
18	3	9, 225, 343	50	0	никто
19	5	8, 81, 125, 324, 503 284 356	51	2	49, 625
20	2	16, 196	52	1	144
21	2	4, 100	53	2	676, 24 336
22	2	27, 2187	54	2	27, 289
23	4	4, 9, 121, 2025	55	3	9, 729, 175 561
24	5	1, 8, 25, 1000, 542 939 080 312	56	4	8, 25, 169, 5776
25	2	100, 144	57	3	64, 343, 784
26	3	1, 42 849 , 6 436 343	58	0	никто
27	3	9, 169, 216	59	1	841
28	7	4, 8, 36, 100, 484, 50 625 , 131 044	60	4	4, 196, 2 515 396 , 2 535 525 316
29	1	196	61	2	64, 900
30	1	6859	62	0	никто
31	2	1, 225	63	4	1, 81, 961, 183 250 369
32	4	4, 32, 49, 7744	64	4	36, 64, 225, 512

См. также

Примечания

^ Вайсштейн, Эрик В. , гипотеза Каталана , MathWorld
^ Михайлеску 2004 г.
^ Виктор-Амеде Лебег (1850 г.), «О невозможности в целых числах уравнения x ^м= и ²+1», Новые анналы математики , 1 ^ре серия, 9 : 178–181.
^ Рибенбойм, Пауло (1979), 13 лекций по Великой теореме Ферма , Springer-Verlag , с. 236, ISBN 0-387-90432-8 , Збл 0456.10006
^ Билу, Юрий (2004), «Гипотеза Каталонца» , Семинар Бурбаки, том. 2003/04 Лекции 909-923 , Asterisk, vol. 294, с. 1–26
^ Михайлеску 2005 г.
^ Jump up to: ^а ^б Наркевич, Владислав (2011), Рациональная теория чисел в 20-м веке: от PNT к FLT , Монографии Springer по математике, Springer-Verlag , стр. 253–254 , ISBN 978-0-857-29531-6
^ Шмидт, Вольфганг М. (1996), Диофантовые приближения и диофантовые уравнения , Конспект лекций по математике, том. 1467 (2-е изд.), Springer-Verlag , с. 207, ISBN 3-540-54058-Х , Збл 0754.11020

Ссылки

Билу, Юрий (2004), «Гипотеза Каталонца (по Михайлеску)», Asterisque , 294 : vii, 1–26, MR 2111637
Каталонец, Эжен (1844), «Записка, извлеченная из письма, адресованного редактору» , Ж. Рейн Ангью. Математика. (на французском языке), 27 : 192, doi : 10.1515/crll.1844.27.192 , MR 1578392
Коэн, Анри (2005). Демонстрация каталонской гипотезы [ Доказательство каталонской гипотезы ]. Алгоритмическая теория чисел и диофантовы уравнения (на французском языке). Палезо: Éditions de l’École Polytechnique. стр. 1–83. ISBN 2-7302-1293-0 . МР 0222434 .
Мецянкюля, Тауно (2004), «Гипотеза Каталана: решена еще одна старая диофантова проблема» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 41 (1): 43–57, doi : 10.1090/S0273-0979-03-00993-5 , МР 2015449
Михайлеску, Преда (2004), «Первичные циклотомные единицы и доказательство гипотезы Каталана», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 2004 (572): 167–195, doi : 10.1515/crll.2004.048 , MR 2076124
Михайлеску, Преда (2005), «Отражение, числа Бернулли и доказательство гипотезы Каталана» (PDF) , Европейский математический конгресс , Цюрих: Eur. Математика. Soc.: 325–340, MR 2185753 , заархивировано из оригинала (PDF) 26 июня 2022 г.
Рибенбойм, Пауло (1994), Гипотеза Каталонца , Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-587170-8 , MR 1259738 Предшествует доказательству Михайлеску.
Тиждеман, Роберт (1976), «Об уравнении каталанского языка» (PDF) , Acta Arith. , 29 (2): 197–209, doi : 10.4064/aa-29-2-197-209 , MR 0404137

Внешние ссылки

[1] Вайсштейн, Эрик В. , гипотеза Каталана , MathWorld

[2] Михайлеску 2004 г.

[3] Виктор-Амеде Лебег (1850 г.), «О невозможности в целых числах уравнения x ^м= и ²+1», Новые анналы математики , 1 ^ре серия, 9 : 178–181.

[4] Рибенбойм, Пауло (1979), 13 лекций по Великой теореме Ферма , Springer-Verlag , с. 236, ISBN 0-387-90432-8 , Збл 0456.10006

[5] Билу, Юрий (2004), «Гипотеза Каталонца» , Семинар Бурбаки, том. 2003/04 Лекции 909-923 , Asterisk, vol. 294, с. 1–26

[6] Михайлеску 2005 г.

[rnt-7] Jump up to: ^а ^б Наркевич, Владислав (2011), Рациональная теория чисел в 20-м веке: от PNT к FLT , Монографии Springer по математике, Springer-Verlag , стр. 253–254 , ISBN 978-0-857-29531-6

[8] Шмидт, Вольфганг М. (1996), Диофантовые приближения и диофантовые уравнения , Конспект лекций по математике, том. 1467 (2-е изд.), Springer-Verlag , с. 207, ISBN 3-540-54058-Х , Збл 0754.11020

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

Базы данных авторитетного контроля
Национальный	Франция Данные БНФ Германия
Другой	ИдРеф