Теорема Штермера

В теории чисел теорема Стёрмера , названная в честь Карла Стёрмера , даёт конечную оценку числа существующих последовательных пар гладких чисел для заданной степени гладкости и обеспечивает метод нахождения всех таких пар с помощью уравнений Пелла . следует Из теоремы Туэ–Зигеля–Рота , что существует только конечное число пар этого типа, но Стёрмер дал процедуру для их нахождения всех. ^{[ 1 ]}

Заявление

Если выбрать конечное множество $P=\{p_{1},p_{2},\dots p_{k}\}$ простых чисел , то $P$ -гладкие числа определяются как набор целых чисел

\left\{p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}\mid e_{i}\in \{0,1,2,\ldots \}\right\}

который может быть сгенерирован произведением чисел в $P$ . Тогда теорема Стермера утверждает, что для каждого выбора $P$ существует только конечное число пар последовательных $P$ -гладких чисел. Кроме того, он дает метод их нахождения с помощью уравнений Пелла.

Процедура

Оригинальная процедура Стёрмера включает в себя решение набора примерно из $3 к$ Уравнения Пелля , в каждом из которых находится только наименьшее решение. Упрощенная версия процедуры, предложенная Д. Х. Лемером , ^{[ 2 ]} описано ниже; он решает меньше уравнений, но находит больше решений в каждом уравнении.

Пусть $P$ — заданный набор простых чисел, и определите число как $P$ - гладкое если все его простые множители принадлежат $P.$ , Предположим, $р 1 = 2$ ; в противном случае не могло бы быть последовательных $P$ -гладких чисел, потому что все $P$ -гладкие числа были бы нечетными. Метод Лемера предполагает решение уравнения Пелля.

x^{2}-2qy^{2}=1

для каждого $P$ -гладкого бесквадратного числа $q,$ отличного от $2$ . Каждое такое число $q$ генерируется как произведение подмножества $P$ , поэтому существует $2 к - 1$ уравнение Пелла, которое нужно решить. Для каждого такого уравнения пусть $x i, y i$ — сгенерированные решения, для $i$ в диапазоне от 1 до $max(3, (p k + 1)/2)$ (включительно), где $p k$ — наибольшее из простых чисел в $П.$

Тогда, как показывает Лемер, все последовательные пары $P$ -гладких чисел имеют вид $(x i - 1)/2, (x i + 1)/2$ . Таким образом, можно найти все такие пары, проверив числа этой формы на $P$ -гладкость.

Кроме того, статья Лемера показывает ^{[ 3 ]} что, применяя аналогичную процедуру к уравнению

x^{2}-Dy^{2}=1,

где $D$ пробегает все $P$ -гладкие числа без квадратов, кроме 1, дает те пары $-гладких$ чисел, разделенных 2: тогда гладкими парами являются $(x - 1, x + 1)$ , где $(x, y)$ P одно из первых $max(3, (max(P) + 1)/2)$ решений этого уравнения.

Пример

Чтобы найти десять последовательных пар {2,3,5}-гладких чисел (в теории музыки , дающих суперчастные отношения для простой настройки ), пусть P = {2,3,5}. Существует семь P -гладких бесквадратных чисел q (без восьмого P -гладкого бесквадратного числа, 2): 1, 3, 5, 6, 10, 15 и 30, каждое из которых приводит к уравнению Пелла. Число решений на одно уравнение Пелла, необходимое для метода Лемера, составляет max(3, (5 + 1)/2) = 3, поэтому этот метод генерирует три решения для каждого уравнения Пелла следующим образом.

При q = 1 первые три решения уравнения Пелля x ² − 2 года ² = 1 — это (3,2), (17,12) и (99,70). Таким образом, для каждого из трех значений x _i = 3, 17 и 99 метод Лемера проверяет пару ( x _i - 1)/2, ( x _i + 1)/2 на гладкость; три пары, которые необходимо протестировать: (1,2), (8,9) и (49,50). И (1,2), и (8,9) являются парами последовательных P -гладких чисел, а (49,50) — нет, поскольку число 49 имеет 7 в качестве простого множителя.
При q = 3 первые три решения уравнения Пелля x ² − 6 лет ² = 1 — это (5,2), (49,20) и (485,198). Из трех значений x _i = 5, 49 и 485 метод Лемера формирует три пары кандидатов последовательных чисел ( x _i - 1)/2, ( x _i + 1)/2: (2,3), (24, 25) и (242 243). Из них (2,3) и (24,25) являются парами последовательных P -гладких чисел, а (242,243) — нет.
При q = 5 первые три решения уравнения Пелля x ² − 10 лет ² = 1 равны (19,6), (721,228) и (27379,8658). Решение Пелля (19,6) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (9,10) ; два других решения уравнения Пелля не приводят к P -гладким парам.
При q = 6 первые три решения уравнения Пелля x ² − 12 лет ² = 1 — это (7,2), (97,28) и (1351,390). Решение Пелля (7,2) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (3,4) .
При q = 10 первые три решения уравнения Пелля x ² − 20 лет ² = 1 — это (9,2), (161,36) и (2889,646). Решение Пелля (9,2) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (4,5) , а решение Пелля (161,36) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (80,81) .
При q = 15 первые три решения уравнения Пелля x ² − 30 лет ² = 1 — это (11,2), (241,44) и (5291,966). Решение Пелля (11,2) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (5,6) .
При q = 30 первые три решения уравнения Пелля x ² - 60 лет ² = 1 равны (31,4), (1921,248) и (119071,15372). Решение Пелля (31,4) приводит к паре последовательных P -гладких чисел (15,16) .

Количество и размер решений

Оригинальный результат Стёрмера можно использовать, чтобы показать, что количество последовательных пар целых чисел, гладких относительно набора из k простых чисел, не превышает 3. ^к − 2 ^к. Результат Лемера дает более точную оценку для наборов малых простых чисел: (2 ^к − 1) × max(3,( p _k +1)/2). ^{[ 4 ]}

Количество последовательных пар целых чисел, гладких относительно первых k простых чисел, равно

1, 4, 10, 23, 40, 68, 108, 167, 241, 345, ... (последовательность A002071 в OEIS ).

Наибольшее целое число из всех этих пар для каждого k равно

2, 9, 81, 4375, 9801, 123201, 336141, 11859211, ... (последовательность A117581 в OEIS ).

OEIS также перечисляет количество пар этого типа, где большее из двух целых чисел в паре является квадратным (последовательность A117582 в OEIS ) или треугольным (последовательность A117583 в OEIS ), поскольку оба типа пар встречаются часто.

Размер решений также может быть ограничен: в случае, когда $x$ и $x +1$ должны быть $P$ -гладкими, тогда ^{[ 5 ]}

\log(x)<M(2+\log(8S)){\sqrt {2S}}-\log(4),

где $M = max(3, (max(P) + 1)/2)$ и $S$ — произведение всех элементов $P$ , а в случае, когда гладкая пара равна $x \pm 1$ , мы имеем ^{[ 6 ]}

\log(x-1)<M(2+\log(4S)){\sqrt {S}}-\log(2).

Обобщения и приложения

Луис Морделл написал об этом результате, сказав, что он «очень красив и имеет множество применений». ^{[ 7 ]}

По математике

Чейн (1976) использовал метод Стермера, чтобы доказать гипотезу Каталана о несуществовании последовательных совершенных степеней (кроме 8,9) в случае, когда одна из двух степеней является квадратом .

Мабхаут (1993) доказал, что каждое число x ⁴ + 1 для x > 3 имеет простой делитель, больший или равный 137. Теорема Штормера является важной частью его доказательства, в котором он сводит проблему к решению 128 уравнений Пелла.

Некоторые авторы расширили работу Стёрмера, предоставив методы составления списка решений более общих диофантовых уравнений или предоставив более общие критерии делимости для решений уравнений Пелла. ^{[ 8 ]}

Конри, Холмстром и Маклафлин (2013) описывают вычислительную процедуру, которая эмпирически находит многие, но не все последовательные пары гладких чисел, описанных теоремой Стёрмера, и работает намного быстрее. чем использовать уравнение Пелла для поиска всех решений.

В теории музыки

В музыкальной практике интонации музыкальные интервалы можно описать как отношения между положительными целыми числами. Более конкретно, их можно описать как отношения между членами гармонического ряда . Любой музыкальный тон можно разбить на его основную частоту и частоты гармоник, которые являются целыми кратными основной частоте. Предполагается, что эта серия является основой естественной гармонии и мелодии. Говорят, что тональная сложность отношений между этими гармониками становится более сложной с увеличением простых коэффициентов. Чтобы ограничить эту тональную сложность, интервал называется n -предельным, если его числитель и знаменатель n - гладкие . ^{[ 9 ]} Более того, суперчастные отношения очень важны именно в теории настройки, поскольку они представляют собой отношения между соседними членами гармонического ряда. ^{[ 10 ]}

Теорема Штёрмера позволяет найти все возможные суперчастные отношения в заданном пределе. Например, в 3-предельном ( настройке Пифагора ) единственные возможные суперчастные отношения — это 2/1 ( октава ), 3/2 ( идеальная квинта ), 4/3 ( идеальная кварта ) и 9/8 (идеальная кварта). весь шаг ). То есть единственные пары последовательных целых чисел, которые имеют только степени двойки и тройки в своих простых факторизациях, — это (1,2), (2,3), (3,4) и (8,9). Если это расширить до 5-го предела, то станут доступны шесть дополнительных сверхчастных соотношений: 5/4 ( большая терция ), 6/5 ( младшая терция ), 10/9 ( минорный тон ), 16/15 ( минорная терция). секунда ), 25/24 ( минорный полутон ) и 81/80 ( синтоническая запятая ). Все они имеют музыкальное значение.

Примечания

^ Штормы (1897) .
^ Лемер (1964) , Теорема 1.
^ Лемер (1964) , Теорема 2.
^ Лемер (1964) .
^ Лемер (1964) , Теорема 7.
^ Лемер (1964) , Теорема 8.
^ Цитируется Чепменом (1958) .
^ В частности, см. Цао (1991) , Луо (1991) , Мэй и Сунь (1997) , Сунь и Юань (1989) и Уокер (1967) .
^ Партч (1974) .
^ Хэлси и Хьюитт (1972) .

Ссылки

Цао, Чжэнь Фу (1991). «О диофантовом уравнении ( ax ^м - 1)/( abx -1) = по ²". Китайский научный бюллетень . 36 (4): 275–278. MR 1138803 .
Чепмен, Сидней (1958). «Фредрик Карл Мулерц Штормер, 1874–1957». Биографические мемуары членов Королевского общества . 4 : 257–279. дои : 10.1098/rsbm.1958.0021 . JSTOR 769515 .
Чейн, Э.З. (1976). «Заметка об уравнении x ² = и ^д + 1». Труды Американского математического общества . 56 (1): 83–84. : 10.2307 /2041579 . JSTOR 2041579. . MR 0404133 doi
Конри, Дж. Б.; Хольмстрем, Массачусетс; Маклафлин, ТЛ (2013). «Гладкие соседи». Экспериментальная математика . 22 (2): 195–202. arXiv : 1212.5161 . дои : 10.1080/10586458.2013.768483 . МР 3047912 .
Хэлси, Джорджия; Хьюитт, Эдвин (1972). «Подробнее о сверхчастных соотношениях в музыке». Американский математический ежемесячник . 79 (10): 1096–1100. дои : 10.2307/2317424 . JSTOR 2317424 . МР 0313189 .
Лемер, Д.Х. (1964). «К проблеме Штёрмера» . Иллинойсский математический журнал . 8 : 57–79. дои : 10.1215/ijm/1256067456 . МР 0158849 .
Ло, Цзя Гуй (1991). «Обобщение теоремы Штёрмера и некоторые приложения». Сычуань Дасюэ Сюэбао . 28 (4): 469–474. МР 1148835 .
Мабхаут, М. (1993). «Минорация P ( x ⁴+1)». Rend. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari . 63 (2): 135–148. MR 1319302 .
Мэй, Хан Фэй; Сунь, Шэн Фан (1997). «Дальнейшее расширение теоремы Штёрмера». Журнал Университета Цзишоу (издание для естественных наук) (на китайском языке). 18 (3): 42–44. МР 1490505 .
Партч, Гарри (1974). Генезис музыки: отчет о творческой работе, ее корнях и реализации (2-е изд.). Нью-Йорк: Да Капо Пресс. п. 73 . ISBN 0-306-71597-Х .
Стермер, Карл (1897). «Некоторые теоремы по уравнению Пелля $x^{2}-Dy^{2}=\pm 1$ et leurs application». Skrifter Videnskabsselskabet (Christiania), Mat.-Naturv. Kl . I (2).
Солнце, Ци; Юань, Пин Чжи (1989). «О диофантовых уравнениях $(ax^{n}-1)/(ax-1)=y^{2}$ и $(ax^{n}+1)/(ax+1)=y^{2}$ ". Сычуань Дасюэ Сюэбао . 26 : 20–24. MR 1059671 .
Уокер, DT (1967). «О диофантовом уравнении mX ² - Нью-Йорк ² = ±1». American Mathematical Monthly . 74 (5): 504–513. : 10.2307 /2314877 . JSTOR 2314877. . MR 0211954 doi

[FOOTNOTEStørmer1897-1] Штормы (1897) .

[FOOTNOTELehmer1964Theorem_1-2] Лемер (1964) , Теорема 1.

[FOOTNOTELehmer1964Theorem_2-3] Лемер (1964) , Теорема 2.

[FOOTNOTELehmer1964-4] Лемер (1964) .

[FOOTNOTELehmer1964Theorem_7-5] Лемер (1964) , Теорема 7.

[FOOTNOTELehmer1964Theorem_8-6] Лемер (1964) , Теорема 8.

[7] Цитируется Чепменом (1958) .

[8] В частности, см. Цао (1991) , Луо (1991) , Мэй и Сунь (1997) , Сунь и Юань (1989) и Уокер (1967) .

[FOOTNOTEPartch1974-9] Партч (1974) .

[FOOTNOTEHalseyHewitt1972-10] Хэлси и Хьюитт (1972) .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]