abc гипотеза

abc гипотеза

Поле	Теория чисел
Предполагается	Джозеф Остерле Дэвид Массер
Предполагается в	1985
Эквивалентно	Модифицированная гипотеза Шпиро
Последствия	Гипотеза Била Проблема Эрдеша – Улама Теорема Фальтингса Последняя теорема Ферма Гипотеза Ферма – Каталана Теорема Рота Теорема Тейдемана

Математик Джозеф Остерле

Математик Дэвид Массер

Гипотеза abc в 1985 году (также известная как гипотеза Остерле-Массера ) — это гипотеза в теории чисел , возникшая в результате дискуссии Джозефа Остерле и Дэвида Массера . Это выражается в виде трех положительных целых чисел. $a,b$ и $c$ (отсюда и название), которые относительно просты и удовлетворяют $a+b=c$. Гипотеза по существу утверждает, что произведение различных простых делителей $abc$ обычно не намного меньше, чем $c$. Ряд известных гипотез и теорем теории чисел непосредственно вытекает из гипотезы abc или ее версий. Математик Дориан Голдфельд назвал гипотезу abc «самой важной нерешенной проблемой диофантового анализа ».

Гипотеза abc возникла как результат попыток Остерле и Массера понять гипотезу Шпиро об эллиптических кривых . которая включает в себя больше геометрических структур, чем гипотеза abc . Было показано, что гипотеза abc эквивалентна модифицированной гипотезе Шпиро.

различные попытки доказать гипотезу abc Были предприняты , но ни одна из них не получила широкого признания. Шиничи Мотидзуки заявил, что у него есть доказательство в 2012 году, но основное математическое сообщество до сих пор считает эту гипотезу недоказанной.

Составы

Прежде чем сформулировать гипотезу, понятие радикала целого числа необходимо ввести : для натурального числа $n$, радикал $n$, обозначенный ${\text{rad}}(n)$, является произведением различных простых делителей $n$. Например,

${\text{rad}}(16)={\text{rad}}(2^{4})={\text{rad}}(2)=2$

${\text{rad}}(17)=17$

${\text{rad}}(18)={\text{rad}}(2\cdot 3^{2})=2\cdot 3=6$

${\text{rad}}(1000000)={\text{rad}}(2^{6}\cdot 5^{6})=2\cdot 5=10$

Если a , b и c просты взаимно целые положительные числа такие, что a + b = c , оказывается, что «обычно» $c<{\text{rad}}(abc)$. Гипотеза abc касается исключений. В частности, там говорится, что:

Для каждого положительного действительного числа ε существует только конечное число троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c , таких, что

$c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.$

Эквивалентная формулировка:

Для каждого положительного действительного числа ε существует константа K _ε такая, что для всех троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c :

$c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.$

Эквивалентно (используя маленькое обозначение o ):

Для всех троек ( a , b , c ) взаимно простых натуральных чисел с a + b = c , rad( abc ) не меньше c ^{1- о (1)} .

Четвертая эквивалентная формулировка гипотезы включает качество q ( a , b , c ) тройки ( a , b , c ), которое определяется как

$q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log {\big (}{\textrm {rad}}(abc){\big )}}}.$

Например:

q (4, 127, 131) = log(131) / log(рад(4·127·131)) = log(131)/log(2·127·131) = 0,46820...

q (3, 125, 128) = log(128) / log(рад(3·125·128)) = log(128)/log(30) = 1,426565...

Типичная тройка ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c будет иметь c < rad( abc ), т.е. q ( a , b , c ) < 1. Тройки с q > 1, такие как в Второй пример довольно особенный: они состоят из чисел, делящихся на большие степени малых простых чисел . Четвертая формулировка:

Для каждого положительного действительного числа ε существует только конечное число троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c таких, что q ( a , b , c ) > 1 + ε .

Хотя известно, что существует бесконечно много троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c таких, что q ( a , b , c ) > 1, гипотеза предсказывает, что только конечное число из них имеют q > 1,01 или q > 1,001 или даже q > 1,0001 и т. д. В частности, если гипотеза верна, то должна существовать тройка ( a , b , c ), которая достигает максимально возможного качества q ( a , b , c ).

Примеры троек с малым радикалом

Условие ε > 0 необходимо, поскольку существует бесконечно много троек a , b , c с c > rad( abc ). Например, пусть

$a=1,\quad b=2^{6n}-1,\quad c=2^{6n},\qquad n>1.$

Целое число b делится на 9:

$b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(\cdots )=9\cdot 7\cdot (\cdots ).$

Используя этот факт, производится следующий расчет:

${\begin{aligned}\operatorname {rad} (abc)&=\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c)\\&=\operatorname {rad} (1)\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\operatorname {rad} \left(2^{6n}\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(9\cdot {\tfrac {b}{9}}\right)\\&\leqslant 2\cdot 3\cdot {\tfrac {b}{9}}\\&={\tfrac {2}{3}}b\\&<{\tfrac {2}{3}}c.\end{aligned}}$

Заменяя показатель степени 6 n другими показателями, заставляя b иметь большие квадратные множители, отношение между радикалом и c можно сделать сколь угодно малым. В частности, пусть p > 2 — простое число, и рассмотрим

$a=1,\quad b=2^{p(p-1)n}-1,\quad c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.$

Теперь можно правдоподобно утверждать, что b делится на p. ² :

${\begin{aligned}b&=2^{p(p-1)n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}\right)^{n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}-1\right)(\cdots )\\&=p^{2}\cdot r(\cdots ).\end{aligned}}$

Последний шаг использует тот факт, что p ² делит 2 ^{р ( р -1)} − 1. Это следует из малой теоремы Ферма , которая показывает, что при p > 2 2 ^{р -1} = pk + 1 для некоторого целого числа k . Возведение обеих частей в степень p показывает, что 2 ^{р ( р -1)} = п ² (...) + 1.

И теперь с аналогичным расчетом, как указано выше, следующие результаты:

$\operatorname {rad} (abc)<{\tfrac {2}{p}}c.$

Список троек высшего качества (троек с особенно малым радикалом относительно c ) приведен ниже; самое высокое качество, 1,6299, было обнаружено Эриком Рейссатом ( Lando & Zvonkin 2004 , стр. 137) для

а = 2,

б = 3 ¹⁰ ·109 = 6 436 341 ,

с = 23 ⁵ = 6 436 343 ,

рад( abc ) = 15 042 .

Некоторые последствия

Гипотеза abc имеет большое количество следствий. К ним относятся как известные результаты (некоторые из которых были доказаны отдельно только с момента формулировки гипотезы), так и гипотезы, для которых она дает условное доказательство . Последствия включают в себя:

• Теорема Рота о диофантовой аппроксимации алгебраических чисел .
• Гипотеза Морделла (в общих чертах уже доказанная Гердом Фалтингсом ).
• Эквивалентно гипотезе Войты в размерности 1.
• Гипотеза Эрдеша – Вудса, допускающая конечное число контрпримеров.
• Существование бесконечного числа простых чисел, не являющихся вифериховскими, в каждой базе b > 1.
• Слабая форма гипотезы Маршалла Холла о разделении квадратов и кубов целых чисел.
• Великая теорема Ферма имеет знаменитое трудное доказательство Эндрю Уайлса . Однако это легко следует, по крайней мере для $n\geq 6$, из эффективной формы слабой версии гипотезы abc . Гипотеза abc утверждает, что lim sup множества всех качеств (определенных выше) равен 1, что подразумевает гораздо более слабое утверждение о том, что существует конечная верхняя граница качеств. Гипотеза о том, что 2 является такой верхней границей, достаточна для очень короткого доказательства Великой теоремы Ферма для $n\geq 6$.
• Гипотеза Ферма -Каталана — обобщение Великой теоремы Ферма о степенях, которые являются суммами степеней.
• L L -функция ( s , χ d ₎ , образованная с помощью символа Лежандра , не имеет нуля Зигеля , учитывая единую версию гипотезы abc в числовых полях , а не только гипотезу abc, сформулированную выше для целых рациональных чисел.
• Многочлен если P ( x ) имеет лишь конечное число совершенных степеней для всех целых чисел x, P имеет по крайней мере три простых нуля .
• Обобщение теоремы Тейдемана о числе решений уравнения y ^м = х ^н + k (теорема Тайдемана отвечает на случай k = 1) и гипотеза Пиллаи (1931 г.) о числе решений Ay ^м = Вх ^н + к .
• В качестве эквивалента можно использовать гипотезу Гранвилля-Ланжевена о том, что если f - двоичная форма без квадратов степени n > 2, то для каждого вещественного β > 2 существует константа C ( f , β ) такая, что для всех взаимно простых целых чисел x , y радикал f ( x , y ) превышает C · max{| х |, | й |} ^{п - б} .
• все многочлены (x^n-1)/(x-1) имеют бесконечное количество свободных от квадратов значений.

• В качестве эквивалента можно использовать модифицированную гипотезу Шпиро , которая дает оценку рад( abc ) ^{1,2+ е} .
• Домбровский (1996) показал, что из гипотезы abc следует, что диофантово уравнение n ! + А = к ² число решений для любого заданного целого числа A. имеет лишь конечное
• Существуют ~ c _f N целые положительные числа n ≤ N, для которых f ( n )/B' не содержит квадратов, причем c _f > 0 — положительная константа, определяемая как:
  $c_{f}=\prod _{{\text{prime }}p}x_{i}\left(1-{\frac {\omega \,\!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}\right).$
• — Гипотеза Била обобщение Великой теоремы Ферма, предполагающее, что если A , B , C , x , y и z — положительные целые числа с A ^х + Б ^и = С ^С и x , y , z > 2, то A , B и C имеют общий простой делитель. Гипотеза abc подразумевала бы, что существует лишь конечное число контрпримеров.
• Гипотеза Ланга , нижняя оценка высоты рациональной точки без кручения эллиптической кривой.
• Отрицательное решение проблемы Эрдеша–Улама о плотных множествах евклидовых точек с рациональными расстояниями.
• Эффективная версия теоремы Зигеля о целых точках на алгебраических кривых .

Теоретические результаты

Гипотеза abc подразумевает, что c может быть ограничено сверху почти линейной функцией радикала abc . Известны экспоненциальные границы . В частности, были доказаны следующие границы:

$c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}$ ( Стюарт и Тайдеман 1986 ),

$c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}$ ( Стюарт и Ю, 1991 ) и

$c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}$ ( Стюарт и Ю, 2001 ).

В этих границах K ₁ и K ₃ являются константами , которые не зависят от a , b или c , а K ₂ является константой, которая зависит от ε ( эффективно вычислимым образом), но не от a , b или c . Оценки применимы к любой тройке, для которой c > 2.

Существуют также теоретические результаты, которые дают нижнюю границу наилучшей возможной формы гипотезы abc . В частности, Стюарт и Тейдеман (1986) показали, что существует бесконечно много троек ( a , b , c ) взаимно простых целых чисел с a + b = c и

$c>\operatorname {rad} (abc)\exp {\left(k{\sqrt {\log c}}/\log \log c\right)}$

для всех k < 4. Константа k была улучшена до k = 6,068 Ван Франкенхейзеном (2000) .

Результаты вычислений

В 2006 году математический факультет Лейденского университета в Нидерландах совместно с голландским научным институтом Кеннислинк запустил проект ABC@Home , систему сетевых вычислений , целью которой является обнаружение дополнительных троек a , b , c с rad( abc ) < в . Хотя никакой конечный набор примеров или контрпримеров не может разрешить гипотезу abc , есть надежда, что закономерности в тройках, обнаруженные в рамках этого проекта, приведут к пониманию гипотезы и теории чисел в более общем плане.

Распределение троек с q > 1

д с	q > 1	q > 1,05	q > 1,1	q > 1,2	q > 1,3	q > 1,4
с < 10 2	6	4	4	2	0	0
с < 10 3	31	17	14	8	3	1
с < 10 4	120	74	50	22	8	3
с < 10 5	418	240	152	51	13	6
с < 10 6	1,268	667	379	102	29	11
с < 10 7	3,499	1,669	856	210	60	17
с < 10 8	8,987	3,869	1,801	384	98	25
с < 10 9	22,316	8,742	3,693	706	144	34
с < 10 10	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
с < 10 11	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
с < 10 12	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
с < 10 13	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
с < 10 14	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
с < 10 15	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
с < 10 16	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
с < 10 17	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
с < 10 18	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

По состоянию на май 2014 года ABC@Home обнаружила 23,8 миллиона троек.

Тройки высочайшего качества

Классифицировать	д	а	б	с	Обнаружено
1	1.6299	2	3 10 ·109	23 5	Эрик Рейсса
2	1.6260	11 2	3 2 ·5 6 ·7 3	2 21 ·23	Бенне де Вегер
3	1.6235	19·1307	7·29 2 ·31 8	2 8 ·3 22 ·5 4	Ежи Броукин, Юлиуш Бжезинский
4	1.5808	283	5 11 ·13 2	2 8 ·3 8 ·17 3	Ежи Броукин, Юлиуш Бжезинский, Абдеррахман Нитай
5	1.5679	1	2·3 7	5 4 ·7	Бенне де Вегер

Примечание: качество q ( a , b , c ) тройки ( a , b , c ) определено выше .

Утонченные формы, обобщения и связанные с ними утверждения

Гипотеза abc представляет собой целочисленный аналог теоремы Мейсона–Стотерса для многочленов.

Усиление, предложенное Бейкером (1998) , утверждает, что в гипотезе abc можно заменить rad( abc ) на

е ^{- Ой} рад( abc ),

где ω — общее количество различных простых чисел, делящих a , b и c .

Эндрю Грэнвилл заметил, что минимум функции ${\big (}\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }$ над $\varepsilon >0$ происходит, когда $\varepsilon ={\frac {\omega }{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.$

Это вдохновило Бейкера (2004) предложить более точную форму гипотезы abc , а именно:

$c<\kappa \operatorname {rad} (abc){\frac {{\Big (}\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}{\Big )}^{\omega }}{\omega !}}$

где κ - абсолютная константа. После некоторых вычислительных экспериментов он обнаружил, что значение $6/5$ было допустимо для κ . Эта версия называется «явной abc- гипотезой».

Бейкер (1998) также описывает родственные гипотезы Эндрю Грэнвилла , которые дали бы верхние оценки c в виде

$K^{\Omega (abc)}\operatorname {rad} (abc),$

где Ω( n ) — общее количество простых множителей числа n , а

$O{\big (}\operatorname {rad} (abc)\Theta (abc){\big )},$

где Θ( n ) — количество целых чисел до n, делящихся только на простые числа, делящие n .

Роберт, Стюарт и Тененбаум (2014) предложили более точное неравенство, основанное на Роберте и Тененбаум (2013) .Пусть k = рад( abc ). Они предположили, что существует константа C ₁ такая, что

$c<k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}\right)\right)$

тогда как существует константа C ₂ такая, что

$c>k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right)\right)$

выполняется бесконечно часто.

Броукин и Бжезинский (1994) сформулировали гипотезу n — версию гипотезы abc , включающую n > 2 целых числа.

Заявленные доказательства

Люсьен Шпиро предложил решение в 2007 году, но вскоре после этого оно было признано неверным.

С августа 2012 года Шиничи Мотидзуки заявил о доказательстве гипотезы Шпиро и, следовательно, гипотезы abc . Он выпустил серию из четырех препринтов, развивающих новую теорию, которую он назвал межуниверсальной теорией Тейхмюллера (IUTT), которая затем применяется для доказательства гипотезы abc . Эти статьи не получили широкого признания в математическом сообществе как доказательство abc . И дело не только в их длине и сложности их понимания, но также и потому, что по крайней мере один конкретный пункт в аргументации был назван некоторыми другими экспертами пробелом. Хотя некоторые математики поручились за правильность доказательства и попытались передать свое понимание через семинары по IUTT, им не удалось убедить сообщество теории чисел в целом.

В марте 2018 года Питер Шольце и Якоб Стикс посетили Киото для переговоров с Мотидзуки. Хотя они не устранили разногласия, они сделали их более четкими.Шольце и Стикс написали отчет, в котором утверждали и объясняли ошибку в логике доказательства и утверждали, что образовавшийся пробел был «настолько серьезным, что ... небольшие изменения не спасут стратегию доказательства»; Мотидзуки утверждал, что они неправильно поняли жизненно важные аспекты теории и сделали неверные упрощения.

3 апреля 2020 года два математика из Киотского исследовательского института , где работает Мотидзуки, объявили, что заявленное им доказательство будет опубликовано в Публикации Научно-исследовательского института математических наук» журнале института « . Мотидзуки, главный редактор журнала, отказался от рецензирования статьи. Это заявление было воспринято со скептицизмом Кираном Кедлаем и Эдвардом Френкелем , а издание Nature охарактеризовало его как «маловероятное, что оно переведет многих исследователей в лагерь Мотидзуки». В марте 2021 года доказательство Мотидзуки было опубликовано в RIMS.

См. также

• Список нерешенных задач по математике

Источники

• Бейкер, Алан (1998). «Логарифмические формы и abc -гипотеза». В Дьёри, Кальман (ред.). Теория чисел. Диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты. Материалы международной конференции, Эгер, Венгрия, 29 июля – 2 августа 1996 г. Берлин: де Грюйтер. стр. 37–44. ISBN  3-11-015364-5 . Збл   0973.11047 .
• Бейкер, Алан (2004). «Опыты по abc -гипотезе» . Публикации Mathematicae Дебрецен . 65 (3–4): 253–260. дои : 10.5486/PMD.2004.3348 . S2CID   253834357 .
• Бомбьери, Энрико (1994). «Теорема Рота и abc-гипотеза» (Препринт). ETH Цюрих.
• Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том. 4. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-71229-3 . Збл   1130.11034 .
• Броукин, Ежи ; Бжезинский, Юлиуш (1994). «Некоторые замечания по abc -гипотезе». Математика. Комп . 62 (206): 931–939. Бибкод : 1994MaCom..62..931B . дои : 10.2307/2153551 . JSTOR   2153551 .
• Броукин, Ежи (2000). « АВС -гипотеза». В Бамбе, РП; Думир, ВК; Ханс-Гилл, Р.Дж. (ред.). Теория чисел . Тенденции в математике. Базель: Биркхойзер. стр. 75–106 . ISBN  3-7643-6259-6 .
• Домбровский, Анджей (1996). «О диофантовом уравнении x !+ A = y ² IV Новый архив по математике, 14 : 321–324 Збл   0876.11015 .
• Элкис, Северная Дакота (1991). «ABC подразумевает Морделла» . Уведомления о международных математических исследованиях . 1991 (7): 99–109. дои : 10.1155/S1073792891000144 .
• Фрей, Герхард (1997). «О троичных уравнениях типа Ферма и связях с эллиптическими кривыми» . Модульные формы и Великая теорема Ферма . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 527–548. ISBN  0-387-94609-8 .
• Голдфельд, Дориан (1996). «За последней теоремой». Математические горизонты . 4 (сентябрь): 26–34. дои : 10.1080/10724117.1996.11974985 . JSTOR   25678079 .
• Голдфельд, Дориан (2002). «Модулярные формы, эллиптические кривые и abc-гипотеза». В Вюстхольце, Гисберт (ред.). Панорама по теории чисел или Вид из сада Бейкера. По материалам конференции в честь 60-летия Алана Бейкера, Цюрих, Швейцария, 1999 год . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 128–147. ISBN  0-521-80799-9 . Збл   1046.11035 .
• Гауэрс, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре, ред. (2008). Принстонский спутник математики . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 361–362 , 681. ISBN.  978-0-691-11880-2 .
• Гранвилл, А. (1998). «ABC позволяет нам считать квадраты» (PDF) . Уведомления о международных математических исследованиях . 1998 (19): 991–1009. дои : 10.1155/S1073792898000592 .
• Гранвилл, Эндрю ; Старк, Х. (2000). «ABC не подразумевает никаких «нулей Зигеля» для L-функций символов с отрицательным показателем» (PDF) . Математические изобретения . 139 (3): 509–523. Бибкод : 2000InMat.139..509G . дои : 10.1007/s002229900036 . S2CID   6901166 .
• Гранвилл, Эндрю ; Такер, Томас (2002). «Это так же просто, как abc» (PDF) . Уведомления АМС . 49 (10): 1224–1231. CiteSeerX   10.1.1.146.610 .
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Берлин: Springer-Verlag . ISBN  0-387-20860-7 .
• Ландо, Сергей К.; Звонкин, Александр К. (2004). «Графы на поверхностях и их приложениях». Энциклопедия математических наук: Маломерная топология II . Том. 141. Шпрингер-Верлаг. ISBN  3-540-00203-0 .
• Ланжевен, М. (1993). «Случай равенства теоремы Мэйсона и приложения гипотезы ABC ». Труды Академии наук (на французском языке). 317 (5): 441–444.
• Массер, Д.В. (1985). «Открытые проблемы». Ин Чен, WWL (ред.). Труды симпозиума по аналитической теории чисел . Лондон: Имперский колледж.
• Моллин, РА (2009). «Заметка об ABC-гипотезе» (PDF) . Дальневосточный журнал математических наук . 33 (3): 267–275. ISSN   0972-0871 . Збл   1241.11034 . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 14 июня 2013 г.
• Моллин, Ричард А. (2010). Расширенная теория чисел с приложениями . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1-4200-8328-6 . Збл   1200.11002 .
• Нитадж, Абдеррахман (1996). «Гипотеза abc ». Энсен. Математика. (на французском языке). 42 (1–2): 3–24.
• Остерле, Джозеф (1988), «Новые подходы к «теореме» Ферма , Asterisk , Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN   0303-1179 , MR   0992208
• Померанс, Карл (2008). «Вычислительная теория чисел». Принстонский спутник математики . Издательство Принстонского университета. стр. 361–362.
• Сильверман, Джозеф Х. (1988). «Критерий Вифериха и abc -гипотеза» . Журнал теории чисел . 30 (2): 226–237. дои : 10.1016/0022-314X(88)90019-4 . Збл   0654.10019 .
• Роберт, Оливье; Стюарт, Кэмерон Л .; Тененбаум, Жеральд (2014). «Уточнение гипотезы abc» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 46 (6): 1156–1166. дои : 10.1112/blms/bdu069 . S2CID   123460044 .
• Роберт, Оливье; Тененбаум, Жеральд (ноябрь 2013 г.). «О распределении ядра целого числа» . Indagationes Mathematicae (на французском языке). 24 (4): 802–914. дои : 10.1016/j.indag.2013.07.007 .
• Стюарт, CL ; Тайдеман, Р. (1986). «О гипотезе Эстерле-Массера». Ежемесячные журналы по математике . 102 (3): 251–257. дои : 10.1007/BF01294603 . S2CID   123621917 .
• Стюарт, CL ; Ю, Кунруи (1991). «О гипотезе abc ». Математические Аннален . 291 (1): 225–230. дои : 10.1007/BF01445201 . S2CID   123894587 .
• Стюарт, CL ; Ю, Кунруи (2001). «О гипотезе abc , II». Математический журнал Дьюка . 108 (1): 169–181. дои : 10.1215/S0012-7094-01-10815-6 .
• ван Франкенхейсен, Махиэль (2000). «Нижняя граница в гипотезе abc » . Дж. Теория чисел . 82 (1): 91–95. дои : 10.1006/jnth.1999.2484 . МР   1755155 .
• Ван Франкенхейсен, Махиел (2002). «Гипотеза ABC подразумевает неравенство высоты Войты для кривых» . Дж. Теория чисел . 95 (2): 289–302. дои : 10.1006/jnth.2001.2769 . МР   1924103 .
• Вальдшмидт, Мишель (2015). «Лекция о гипотезе abc и некоторых ее последствиях» (PDF) . Математика в 21 веке . Спрингерские труды по математике и статистике. Том. 98. стр. 211–230. дои : 10.1007/978-3-0348-0859-0_13 . ISBN  978-3-0348-0858-3 .

Внешние ссылки

• ABC@home распределенных вычислений Проект под названием ABC@Home .
• Просто как ABC : Легко следовать, подробное объяснение Брайана Хейса.
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза abc» . Математический мир .
• Абдеррахмана Нитажа Домашняя страница гипотезы ABC
• Веб-страница Барта де Смита ABC Triples
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
• Азбука теории чисел Ноама Д. Элкиса
• Вопросы о Number автора Барри Мазура
• Философия, лежащая в основе работы Мотидзуки над гипотезой ABC на MathOverflow
• ABC Conjecture Вики-страница проекта Polymath со ссылками на различные источники комментариев к статьям Мотидзуки.
• abc Гипотеза Числофил видео
• Новости о IUT от Мотидзуки