Проблема Эрдеша – Улама

Нерешенная задача по математике :

Существует ли плотное множество точек, находящихся на рациональных расстояниях друг от друга? на плоскости

В математике проблема Эрдеша-Улама спрашивает, содержит ли плоскость плотный набор точек, евклидовы расстояния которых являются рациональными числами . Он назван в честь Пола Эрдеша и Станислава Улама .

Большие наборы точек с рациональными расстояниями

Теорема Эрдеша-Эннинга утверждает, что набор точек с целыми расстояниями должен быть либо конечным, либо лежать на одной прямой. ^{[ 1 ]} Однако существуют и другие бесконечные множества точек с рациональными расстояниями. Например, на единичной окружности пусть S будет множеством точек

(\cos \theta ,\sin \theta )

где $\theta$ ограничивается значениями, которые вызывают $\tan {\tfrac {\theta }{4}}$ быть рациональным числом. Для каждой такой точки обе $\sin {\tfrac {\theta }{2}}$ и $\cos {\tfrac {\theta }{2}}$ сами по себе оба рациональны, и если $\theta$ и $\varphi$ определяют две точки в S , то их расстояние является рациональным числом

\left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}-2\sin {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right|.

В более общем смысле, круг с радиусом $\rho$ содержит плотное множество точек, находящихся на рациональных расстояниях друг от друга тогда и только тогда, когда $\rho ^{2}$ является рациональным. ^{[ 2 ]} Однако эти множества плотны только на своей окружности, а не на всей плоскости.

История и частичные результаты

В 1946 году Станислав Улам задался вопросом, существует ли набор точек, находящихся на рациональных расстояниях друг от друга, образующий плотное подмножество евклидовой плоскости . ^{[ 2 ]} Хотя ответ на этот вопрос все еще открыт, Йожеф Солимоши и Франк де Зеув показали, что единственными неприводимыми алгебраическими кривыми , которые содержат бесконечное количество точек на рациональных расстояниях, являются прямые и окружности. ^{[ 3 ]} Теренс Тао и Джафар Шаффаф независимо заметили, что, если гипотеза Бомбьери-Ланга верна, те же методы показали бы, что не существует бесконечного плотного набора точек на рациональных расстояниях на плоскости. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Используя различные методы, Гектор Пастен доказал, что гипотеза abc также подразумевает отрицательное решение проблемы Эрдеша – Улама. ^{[ 6 ]}

Последствия

Если бы проблема Эрдеша-Улама имела положительное решение, она стала бы контрпримером к проблеме Бомбьери-Ланга. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} гипотеза и гипотеза abc . ^{[ 6 ]} Это также позволило бы решить гипотезу Харборта о существовании рисунков плоских графов, в которых все расстояния являются целыми числами. Если существует плотный набор рациональных расстояний, любой прямолинейный рисунок плоского графа можно немного исказить (без введения пересечений), чтобы использовать точки из этого набора в качестве вершин, а затем масштабировать, чтобы сделать расстояния целыми числами. Однако, как и проблема Эрдеша-Улама, гипотеза Харборта остается недоказанной.

Ссылки

^ Эннинг, Норман Х.; Эрдеш, Пол (1945), «Интегральные расстояния» , Бюллетень Американского математического общества , 51 (8): 598–600, doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08407-9 .
^ Jump up to: ^а ^б Клее, Виктор ; Вагон, Стэн (1991), «Проблема 10. Содержит ли плоскость плотное рациональное множество?», Старые и новые нерешенные проблемы плоской геометрии и теории чисел , Математические пояснения Дольчиани, том. 11, Издательство Кембриджского университета, стр. 132–135, ISBN. 978-0-88385-315-3 .
^ Солимоси, Йожеф ; де Зеу, Франк (2010), «К вопросу об Эрдеше и Уламе», Дискретная и вычислительная геометрия , 43 (2): 393–401, arXiv : 0806.3095 , doi : 10.1007/s00454-009-9179-x , MR 2579704 , S2CID 15288690
^ Jump up to: ^а ^б Тао, Теренс (20 декабря 2014 г.), «Проблема Эрдоша-Улама, многообразия общего типа и гипотеза Бомбьери-Ланга» , Что нового , получено 5 декабря 2016 г.
^ Jump up to: ^а ^б Шаффаф, Джафар (май 2018 г.), «Решение проблемы Эрдеша–Улама на множествах рациональных расстояний с учетом гипотезы Бомбьери–Ланга», Discrete & Computational Geometry , 60 (8): 283–293, arXiv : 1501.00159 , doi : 10.1007/s00454-018-0003-3 , S2CID 51907500
^ Jump up to: ^а ^б Пастен, Гектор (2017), «Определимость орбит Фробениуса и результат для множеств рациональных расстояний», Monthly Books for Mathematics , 182 (1): 99–126, doi : 10.1007/s00605-016-0973-2 , MR 3592123 , S2CID 7805117

[1] Эннинг, Норман Х.; Эрдеш, Пол (1945), «Интегральные расстояния» , Бюллетень Американского математического общества , 51 (8): 598–600, doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08407-9 .

[kw-2] Jump up to: ^а ^б Клее, Виктор ; Вагон, Стэн (1991), «Проблема 10. Содержит ли плоскость плотное рациональное множество?», Старые и новые нерешенные проблемы плоской геометрии и теории чисел , Математические пояснения Дольчиани, том. 11, Издательство Кембриджского университета, стр. 132–135, ISBN. 978-0-88385-315-3 .

[3] Солимоси, Йожеф ; де Зеу, Франк (2010), «К вопросу об Эрдеше и Уламе», Дискретная и вычислительная геометрия , 43 (2): 393–401, arXiv : 0806.3095 , doi : 10.1007/s00454-009-9179-x , MR 2579704 , S2CID 15288690

[tao-4] Jump up to: ^а ^б Тао, Теренс (20 декабря 2014 г.), «Проблема Эрдоша-Улама, многообразия общего типа и гипотеза Бомбьери-Ланга» , Что нового , получено 5 декабря 2016 г.

[shaffaf-5] Jump up to: ^а ^б Шаффаф, Джафар (май 2018 г.), «Решение проблемы Эрдеша–Улама на множествах рациональных расстояний с учетом гипотезы Бомбьери–Ланга», Discrete & Computational Geometry , 60 (8): 283–293, arXiv : 1501.00159 , doi : 10.1007/s00454-018-0003-3 , S2CID 51907500

[pasten-6] Jump up to: ^а ^б Пастен, Гектор (2017), «Определимость орбит Фробениуса и результат для множеств рациональных расстояний», Monthly Books for Mathematics , 182 (1): 99–126, doi : 10.1007/s00605-016-0973-2 , MR 3592123 , S2CID 7805117

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]