Радикал целого числа

В чисел радикал n натурального числа , n определяется как произведение различных простых чисел делящих теории . Каждый простой множитель числа n встречается ровно один раз как множитель этого произведения:

$$\displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p$$

Радикал играет центральную роль в формулировке гипотезы abc .

Примеры

Радикальные числа для первых нескольких положительных целых чисел равны

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... (последовательность A007947 в OEIS ).

Например, $$504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7$$

и поэтому $$\operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42$$

Характеристики

Функция $\mathrm {rad}$ является мультипликативным (но не полностью мультипликативным ).

Радикал любого целого числа $n$ является наибольшим бесквадратным делителем $n$ и поэтому также описывается как бесквадратное ядро $n$. Не существует известного алгоритма с полиномиальным временем для вычисления свободной от квадратов части целого числа.

Определение обобщено на наибольшую величину. $t$-свободный делитель $n$, $\mathrm {rad} _{t}$, которые являются мультипликативными функциями, которые действуют на степени простых чисел как

$$\mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}$$

Случаи $t=3$ и $t=4$ сведены в таблицы OEIS : A007948 и OEIS : A058035 .

Понятие радикала возникает в гипотезе abc , которая утверждает, что для любого $\varepsilon >0$, существует конечное $K_{\varepsilon }$ такая, что для всех троек взаимно простых натуральных чисел $a$, $b$, и $c$ удовлетворяющий $a+b=c$,

$$c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }$$

Для любого целого числа $n$, нильпотентные элементы конечного кольца $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ все кратны $\operatorname {rad} (n)$.

Серия Дирихле — это

$\prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}$