Конечное кольцо

В математике , точнее в абстрактной алгебре , конечное кольцо — это кольцо , имеющее конечное число элементов.Каждое конечное поле является примером конечного кольца, а аддитивная часть каждого конечного кольца является примером абелевой конечной группы , но концепция конечных колец сама по себе имеет более недавнюю историю.

Хотя кольца имеют большую структуру, чем группы, теория конечных колец проще, чем теория конечных групп. Например, классификация конечных простых групп стала одним из крупнейших прорывов математики 20-го века, ее доказательство заняло тысячи журнальных страниц. С другой стороны, с 1907 года было известно, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {F} _{q})$ – n на n матрицы размера над конечным полем порядка q (как следствие теорем Веддерберна, описанных ниже).

Количество колец с m элементами, где m — натуральное число, указано в разделе OEIS : A027623 в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей .

Конечное поле

Основные статьи: Конечное поле и арифметика конечных полей

Теория конечных полей , возможно, является наиболее важным аспектом теории конечных колец из-за ее тесной связи с алгебраической геометрией , теорией Галуа и теорией чисел . Важным, но достаточно старым аспектом теории является классификация конечных полей:

• Порядок или количество элементов конечного поля равен p ^н , где p — простое число, называемое характеристикой поля, а n — целое положительное число.
• Для каждого простого числа p и натурального числа n существует конечное поле с p ^н элементы.
• Любые два конечных поля одного и того же порядка изоморфны .

Несмотря на классификацию, конечные поля по-прежнему являются активной областью исследований, включая недавние результаты по гипотезе Какейи и открытые проблемы, касающиеся размера наименьших примитивных корней (в теории чисел).

Конечное поле F можно использовать для построения векторного пространства n-мерностей над F . Кольцо матриц A размера n × n с элементами из F используется в Галуа , при этом линейная группа служит мультипликативной группой A. геометрии проективная

Теоремы Веддерберна

Основные статьи: маленькая теорема Веддерберна и теорема Артина – Веддерберна.

Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что любое конечное тело обязательно коммутативно:

Если каждый ненулевой элемент r конечного кольца R имеет мультипликативный обратный, то R коммутативно (и, следовательно, конечное поле ).

Позже Натан Джейкобсон обнаружил еще одно условие, гарантирующее коммутативность кольца: если для каждого элемента r из R существует целое число n > 1 такое, что r  ^н = r , то R коммутативен. Известны и более общие условия, предполагающие коммутативность кольца.

Следствием еще одной теоремы Веддерберна является результат, демонстрирующий, что теория конечных простых колец относительно проста по своей природе. Более конкретно, любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {F} _{q})$, на n матрицы размера n над конечным полем порядка q . Это следует из двух теорем Джозефа Веддерберна, установленных в 1905 и 1907 годах (одна из которых — малая теорема Веддерберна).

Перечисление

(Предупреждение: перечисления в этом разделе включают кольца, которые не обязательно имеют мультипликативную идентичность, иногда называемые кольцами .) В 1964 году Дэвид Сингмастер следующую задачу предложил в American Mathematical Monthly : «(1) Каков порядок наименьшего не -тривиальное кольцо с единицей, не являющееся полем? Найдите два таких кольца такого минимального порядка. (2) Сколько существует колец четвертого порядка?Решение Д. М. Блума можно найти в двухстраничном доказательстве. что существует одиннадцать колец четвертого порядка, четыре из которых имеют мультипликативное тождество. Действительно, четырехэлементные кольца усложняют предмет. имеется три кольца Над циклической группой C4 _, восемь колец а над четырехгруппой Клейна — . представлена ​​интересная демонстрация инструментов различения ( нильпотенты , делители нуля , идемпотенты , левые и правые тождества). В конспектах лекций Грегори Дрездена

Возникновение некоммутативности в конечных кольцах было описано в ( Элдридж, 1968 ) в двух теоремах: Если порядок m конечного кольца с 1 имеет факторизацию без куба , то оно коммутативно . А если некоммутативное конечное кольцо с 1 имеет порядок простого куба, то кольцо изоморфно верхнетреугольному кольцу матриц размера 2 × 2 над полем Галуа простого числа.Изучение колец порядка куба простого числа получило дальнейшее развитие в работах ( Рагхавендран, 1969 ) и ( Гилмер и Мотт, 1973 ). Затем Флор и Вессенбауэр (1975) усовершенствовали случай простого куба. Окончательная работа по классам изоморфизма была опубликована ( Антипкин и Елизаров, 1982 ), в которой было доказано, что при p > 2 число классов равно 3 p + 50.

Есть более ранние ссылки на тему конечных колец, такие как Роберт Балье. и Зест.

Вот некоторые из известных фактов о количестве конечных колец (не обязательно с единицей) данного порядка (предположим, что p и q представляют собой различные простые числа):

• Имеются два конечных кольца порядка p .
• Имеется четыре конечных кольца порядка pq .
• Существует одиннадцать конечных колец порядка p. ² .
• Существует двадцать два конечных кольца порядка p. ² q .
• Существует пятьдесят два конечных кольца восьмого порядка.
• Существует 3 p + 50 конечных колец порядка p. ³ , р > 2.

Количество колец с n элементами равно (при a (0) = 1 )

1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, >18590, 4, 4, 4, 121, 2, 4, 4, 104, 2, 8, 2, 22, 22, 4, 2, 780, 11 , 22, ... (последовательность A027623 в OEIS )

См. также

• Кольцо Галуа , конечные коммутативные кольца, обобщающие Z / p ^н Z и конечные поля
• Проективная прямая над кольцом § Над дискретными кольцами

Ссылки

• Антипкин В.Г.; Елизаров В.П. (1982), «Кольца порядка р. ³ », Сибирский математический журнал , 23 (4): 457–464, doi : 10.1007/BF00968650 , S2CID   121484642
• Бини, Дж; Фламини, Ф. (2002), Конечные коммутативные кольца и их приложения , Kluwer, ISBN  978-1-4020-7039-6 , Збл   1095.13032
• Дрезден, Грегори (2005), Маленькие кольца , заархивировано из оригинала 1 мая 2017 г., исследовательский отчет о работе 13 студентов и профессора Зилера на Университета Вашингтона и Ли . уроках абстрактной алгебры (математика 322)
• Джейкобсон, Натан (1945), «Радикал и полупростота произвольных колец», American Journal of Mathematics , 67 : 300–320, doi : 10.2307/2371731 , ISSN   0002-9327 , MR   0012271
• Джейкобсон, Натан (1985). Основная алгебра I. У. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-1480-4 .
• Элдридж, К.Э. (май 1968 г.), «Порядки для конечных некоммутативных колец с единицей», American Mathematical Monthly , 75 (5): 512–4, doi : 10.2307/2314716 , JSTOR   2314716
• Гилмер, Роберт; Мотт, Джо (1973), «Ассоциативные кольца порядка p3», Proceedings of the Japan Academy , 49 (10): 795–9, doi : 10.3792/pja/1195519146
• Макдональд, Бернард А. (1974), Конечные кольца с идентичностью , Марсель Деккер, ISBN  978-0-8247-6161-5 , Збл   0294.16012
• Рагхавендран, Р. (1969), «Конечные ассоциативные кольца» , Compositio Mathematica , 21 (2): 195–229, Zbl   0179.33602
• Скорца, Гаэтано (1935). «Регулярные алгебры и связанные с ними многообразия Сегре». В Россетти, Павия (ред.). Математические сочинения, предложенные Луиджи Берзолари (на итальянском языке). Математический институт Королевского университета.
• Санига, Метод; Планат, Мишель; Киблер, Морис Р.; Пракна, Петр (2007), «Классификация проективных линий над маленькими кольцами», Chaos, Solitons & Fractals , 33 (4): 1095–1102, arXiv : math/0605301 , Bibcode : 2007CSF....33.1095S , doi : 10.1016/j.chaos.2007.01.008 , MR   2318902 , S2CID   8973277

Внешние ссылки

• Классификация конечных коммутативных колец