Галуа в

В математике кольца Галуа представляют собой тип конечных коммутативных колец , которые обобщают как конечные поля , так и кольца целых чисел по модулю степени простой . Кольцо Галуа строится из кольца $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ аналогично тому, как конечное поле $\mathbb {F} _{p^{r}}$ построен из $\mathbb {F} _{p}$ . Это Галуа расширение $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ , когда понятие расширения Галуа обобщается за пределы контекста полей .

Кольца Галуа изучал Крулл (1924), ^[1] и независимо Януша (1966) ^[2] и Рагхавендраном (1969), ^[3] которые оба ввели название кольца Галуа . Они названы в честь Эвариста Галуа , аналогично полям Галуа , которые являются другим названием конечных полей. Кольца Галуа нашли применение в теории кодирования , где некоторые коды лучше всего понимать как линейные коды над $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ с использованием колец Галуа GR(4, r ). ^[4]^[5]

Определение

Кольцо Галуа — это коммутативное кольцо характеристики p ^н у которого есть п ^Нет. элементы, где p — простое число, а n и r — целые положительные числа. Обычно его обозначают GR( p ^н, р ). Его можно определить как факторкольцо

\operatorname {GR} (p^{n},r)\cong \mathbb {Z} [x]/(p^{n},f(x))

где $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$ — унитарный многочлен степени r , неприводимый по модулю p . ^[6]^[7] С точностью до изоморфизма кольцо зависит только от p , n и r , а не от выбора f, использованного при построении. ^[8]

Примеры

Простейшие примеры колец Галуа представляют собой важные частные случаи:

Кольцо Галуа GR( p ^н, 1) — кольцо целых чисел по модулю p ^н.
Кольцо Галуа GR( p , r ) — это конечное поле порядка p ^р.

Менее тривиальный пример — кольцо Галуа GR(4, 3). Он имеет характеристику 4 и имеет 4 ³ = 64 элемента. Одним из способов его создания является $\mathbb {Z} [x]/(4,x^{3}+2x^{2}+x-1)$ или, что то же самое, $(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )[\xi ]$ где $\xi$ является корнем многочлена $f(x)=x^{3}+2x^{2}+x-1$ . Хотя можно было бы использовать любой монический многочлен степени 3, неприводимый по модулю 2, такой выбор f оказывается удобным, поскольку

x^{7}-1=(x^{3}+2x^{2}+x-1)(x^{3}-x^{2}+2x-1)(x-1)

в $(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )[x]$ , что делает $\xi$ корень седьмой степени из единицы в GR(4, 3). Все элементы GR(4, 3) можно записать в виде $a_{2}\xi ^{2}+a_{1}\xi +a_{0}$ где 0 _каждый , 1 _из и 2 _{находится} в $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ . Например, $\xi ^{3}=2\xi ^{2}-\xi +1$ и $\xi ^{4}=2\xi ^{3}-\xi ^{2}+\xi =-\xi ^{2}-\xi +2$ . ^[4]

Структура

( п ^р – 1)-ые корни из единицы

Каждое кольцо Галуа GR( p ^н, r ) имеет примитив ( p ^р – 1 )-й корень из единицы . Это класс эквивалентности x в факторе $\mathbb {Z} [x]/(p^{n},f(x))$ когда f выбран примитивным полиномом . Это означает, что в $(\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} )[x]$ , полином $f(x)$ делит $x^{p^{r}-1}-1$ и не делит $x^{m}-1$ для всех m < p ^р – 1 . Такое f можно вычислить, начав с примитивного многочлена степени r над конечным полем $\mathbb {F} _{p}$ и используя лифтинг Hensel . ^[9]

Примитив ( p ^р – 1 )-й корень из единицы $\xi$ может использоваться для выражения элементов кольца Галуа в полезной форме, называемой p-адическим представлением . Каждый элемент кольца Галуа можно однозначно записать как

\alpha _{0}+\alpha _{1}p+\cdots +\alpha _{n-1}p^{n-1}

где каждый $\alpha _{i}$ есть в наборе $\{0,1,\xi ,\xi ^{2},...,\xi ^{p^{r}-2}\}$ . ^[7]^[9]

Идеалы, частные и подкольца

Каждое кольцо Галуа является локальным кольцом . Единственный максимальный идеал – это главный идеал $(p)=p\operatorname {GR} (p^{n},r)$ , состоящий из всех элементов, кратных p . Поле остатка $\operatorname {GR} (p^{n},r)/(p)$ изоморфно конечному полю порядка p ^р. Более того, $(0),(p^{n-1}),...,(p),(1)$ это все идеалы. ^[6]

Кольцо Галуа GR( p ^н, r ) содержит единственное подкольцо , изоморфное GR( p ^н, s ) для каждого s, делящего r . Это единственные подкольца GR( p ^н, р ). ^[10]

Группа юнитов

Единицами являются все кольца Галуа R элементы, которые не кратны p . Группа единиц, Р ^×, можно разложить в прямое произведение G ₁ × G ₂ следующим образом. Подгруппа G ₁ — это группа ( p ^р – 1 )-й корни из единицы. Это циклическая группа порядка p ^р – 1 . Подгруппа G2 _, — это 1+ pR состоящая из всех элементов, конгруэнтных 1 по модулю p . Это группа порядка p ^{р ( п -1)}, со следующей структурой:

если p нечетно или если p = 2 и n ≤ 2, то $G_{2}\cong (C_{p^{n-1}})^{r}$ , прямое произведение r копий циклической группы порядка p ^{п -1}
если p = 2 и n ≥ 3, то $G_{2}\cong C_{2}\times C_{2^{n-2}}\times (C_{2^{n-1}})^{r-1}$

Это описание обобщает структуру мультипликативной группы целых чисел по модулю p. ^н, что соответствует случаю r = 1. ^[11]

Автоморфизмы

Аналогично автоморфизмам конечного поля $\mathbb {F} _{p^{r}}$ , группа автоморфизмов кольца Галуа GR( p ^н, r ) циклическая группа порядка r . ^[12] Автоморфизмы можно описать явно, используя p -адическое представление. В частности, карта

\phi (\alpha _{0}+\alpha _{1}p+\cdots +\alpha _{n-1}p^{n-1})=\alpha _{0}^{p}+\alpha _{1}^{p}p+\cdots +\alpha _{n-1}^{p}p^{n-1}

(где каждый $\alpha _{i}$ есть в наборе $\{0,1,\xi ,\xi ^{2},...,\xi ^{p^{r}-2}\}$ ) — автоморфизм, который называется обобщенным автоморфизмом Фробениуса . Неподвижными точками обобщенного автоморфизма Фробениуса являются элементы подкольца $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ . Итерация обобщенного автоморфизма Фробениуса дает все автоморфизмы кольца Галуа. ^[13]

Группу автоморфизмов можно рассматривать как группу Галуа группы GR( p ^н, г ) над $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ , а кольцо GR( p ^н, r ) является Галуа расширением $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ . В более общем смысле, если r кратно s , GR( p ^н, r ) является расширением Галуа GR( p ^н, s ), с группой Галуа, изоморфной $\operatorname {Gal} (\mathbb {F} _{p^{r}}/\mathbb {F} _{p^{s}})$ . ^[14]^[13]

Ссылки

^ Крулл, Вольфганг (1924), «Алгебраическая теория разложимых колец (Алгебраическая теория колец III)» , Mathematical Annals , 92 : 183–213, doi : 10.1007/BF01448006 , JFM 50.0072.02 , S2CID 116728217
^ Януш, Г.Дж. (1966), «Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами», Труды Американского математического общества , 122 (2): 461–479, doi : 10.2307/1994561 , JSTOR 1994561 , Zbl 0141.03402
^ Рагхавендран 1969 , с. 206
^ Jump up to: ^а ^б ван Линт, Дж. Х. (1999), Введение в теорию кодирования (3-е изд.), Springer, Глава 8: Коды поверх $\mathbb {Z}$ ₄ , ISBN 978-3-540-64133-9
^ Хэммонс, Арканзас; Кумар, П.В.; Колдербанк, Арканзас; Слоан, Нью-Джерси; Соле, П. (1994), «Z_4-линейность Кердока, Препараты, Геталса и родственных кодов» (PDF) , IEEE Transactions on Information Theory , 40 : 301–319, doi : 10.1109/18.312154 , S2CID 7667081
^ Jump up to: ^а ^б Макдональд 1974 , с. 308
^ Jump up to: ^а ^б Бини и Фламини 2002 , стр. 1–11. 82–83
^ Рагхавендран 1969 , с. 207
^ Jump up to: ^а ^б Ван 2003 , с. 316, Теорема 14.8.
^ Бини и Фламини 2002 , с. 95, предложение 6.2.3
^ Ван 2003 , с. 319, Теорема 14.11.
^ Рагхавендран 1969 , с. 213
^ Jump up to: ^а ^б Ван 2003 , стр. 327–331, раздел 14.6.
^ Бини и Фламини 2002 , с. 105

Макдональд, Бернард А. (1974), Конечные кольца с идентичностью , Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-6161-5 , Збл 0294.16012
Бини, Дж; Фламини, Ф. (2002), Конечные коммутативные кольца и их приложения , Kluwer, ISBN 978-1-4020-7039-6 , Збл 1095.13032
Рагхавендран, Р. (1969), «Конечные ассоциативные кольца» , Compositio Mathematica , 21 (2): 195–229, Zbl 0179.33602
Ван, Чжэ-Сянь (2003), Лекции о конечных полях и кольцах Галуа , World Scientific, ISBN 981-238-504-5 , Збл 1028.11072

[1] Крулл, Вольфганг (1924), «Алгебраическая теория разложимых колец (Алгебраическая теория колец III)» , Mathematical Annals , 92 : 183–213, doi : 10.1007/BF01448006 , JFM 50.0072.02 , S2CID 116728217

[2] Януш, Г.Дж. (1966), «Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами», Труды Американского математического общества , 122 (2): 461–479, doi : 10.2307/1994561 , JSTOR 1994561 , Zbl 0141.03402

[3] Рагхавендран 1969 , с. 206

[van-lint-4] Jump up to: ^а ^б ван Линт, Дж. Х. (1999), Введение в теорию кодирования (3-е изд.), Springer, Глава 8: Коды поверх $\mathbb {Z}$ ₄ , ISBN 978-3-540-64133-9

[5] Хэммонс, Арканзас; Кумар, П.В.; Колдербанк, Арканзас; Слоан, Нью-Джерси; Соле, П. (1994), «Z_4-линейность Кердока, Препараты, Геталса и родственных кодов» (PDF) , IEEE Transactions on Information Theory , 40 : 301–319, doi : 10.1109/18.312154 , S2CID 7667081

[mcdonald-p308-6] Jump up to: ^а ^б Макдональд 1974 , с. 308

[bini-flamini-82-83-7] Jump up to: ^а ^б Бини и Фламини 2002 , стр. 1–11. 82–83

[8] Рагхавендран 1969 , с. 207

[wan-theorem-14-8-9] Jump up to: ^а ^б Ван 2003 , с. 316, Теорема 14.8.

[10] Бини и Фламини 2002 , с. 95, предложение 6.2.3

[11] Ван 2003 , с. 319, Теорема 14.11.

[12] Рагхавендран 1969 , с. 213

[wan-section-14-6-13] Jump up to: ^а ^б Ван 2003 , стр. 327–331, раздел 14.6.

[14] Бини и Фламини 2002 , с. 105

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]