Маленькая теорема Веддерберна

В математике каждое маленькая теорема Веддерберна утверждает, что конечное тело является полем . Другими словами, для конечных колец не существует различия между доменами , телами и полями.

Теорема Артина-Цорна обобщает теорему на альтернативные кольца : каждое конечное альтернативное тело является полем.

История

Оригинальное доказательство было дано Джозефом Веддерберном в 1905 году. который продолжил доказательство теоремы двумя другими способами. Еще одно доказательство было предоставлено Леонардом Юджином Диксоном вскоре после первоначального доказательства Веддерберна, и Диксон признал приоритет Веддерберна. Однако, как отмечено в ( Parshall 1983 ), первое доказательство Веддерберна было неверным – в нем был пробел – и его последующие доказательства появились только после того, как он прочитал правильное доказательство Диксона. На этом основании Паршалл утверждает, что Диксону следует приписать первое правильное доказательство.

Упрощенную версию доказательства позже дал Эрнст Витт . Доказательство Витта схематично представлено ниже. Альтернативно, эта теорема является следствием теоремы Скулема – Нётер по следующему аргументу. Позволять $D$ с конечным алгебра делением с центром $k$. Позволять $[D:k]=n^{2}$ и $q$ обозначим мощность $k$. Каждое максимальное подполе $D$ имеет $q^{n}$ элементы; поэтому они изоморфны и, следовательно, сопряжены Сколемом–Нётер. Но конечная группа (мультипликативная группа $D$ в нашем случае) не может быть объединением сопряженных собственной подгруппы; следовательно, $n=1$.

Более позднее « теоретико-групповое » доказательство было дано Тедом Качиньски в 1964 году. Это доказательство, первая опубликованная математическая работа Качиньского, представляло собой короткую двухстраничную заметку, в которой также признавались более ранние исторические доказательства.

Связь с группой Брауэра конечного поля

Теорема по существу эквивалентна утверждению, что группа Брауэра конечного поля тривиальна. Фактически, эта характеристика немедленно дает следующее доказательство теоремы: пусть K — конечное поле. Поскольку фактор Эрбрана обращается в нуль в силу конечности, $\operatorname {Br} (K)=H^{2}(K^{\text{al}}/K)$ совпадает с $H^{1}(K^{\text{al}}/K)$, которое, в свою очередь, исчезает по Гильберту 90 .

Тривиальность группы Брауэра также может быть получена непосредственным вычислением следующим образом. Позволять $|K|=q,$ и пусть $L/K$ быть конечным расширением степени $n,$ так что $|L|=q^{n}.$ Затем $\mathrm {Gal} (L/K)$ является циклической группой порядка $n,$ а стандартный метод вычисления когомологий конечных циклических групп показывает, что $$H^{2}(L/K)=K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times }),$$ где карта норм $N_{L/K}:L^{\times }\to K^{\times }$ дается $$N_{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \mathrm {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{\frac {q^{n}-1}{q-1}}.$$ принимая $\alpha$ быть генератором циклической группы $L^{\times },$ мы находим это $N_{L/K}(\alpha )$ имеет порядок $q-1,$ и, следовательно, это должен быть генератор $K^{\times }$. Это означает, что $N_{L/K}$ является сюръективным, и, следовательно, $H^{2}(L/K)$ тривиально.

Доказательство

Пусть A — конечная область. Для каждого ненулевого x в A две карты

$a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\to A$

инъективны по свойству отмены и, следовательно, сюръективны по счету. Это следует из элементарной теории групп что ненулевые элементы $A$ образуют группу при умножении. Таким образом, $A$ является телом .

Чтобы доказать, что каждое конечное тело является полем, мы используем сильную индукцию по размеру тела. Таким образом, пусть $A$ — тело, и предположим, что все тела, являющиеся собственными подмножествами $A$ являются поля. Поскольку центр $Z(A)$ из $A$ это поле, $A$ является векторным пространством над $Z(A)$ с конечным размером $n$. Тогда наша цель — показать $n=1$. Если $q$ это порядок $Z(A)$, затем $A$ имеет порядок ${q}^{n}$. Обратите внимание, что поскольку $Z(A)$ содержит отдельные элементы $0$ и $1$, $q>1$. Для каждого $x$ в $A$ что не в центре, то централизатор ${Z}_{x}$ из $x$ очевидно, является телом и, следовательно, полем по предположению индукции, и поскольку ${Z}_{x}$ можно рассматривать как векторное пространство над $Z(A)$ и $A$ можно рассматривать как векторное пространство над ${Z}_{x}$, у нас это есть ${Z}_{x}$ имеет порядок ${q}^{d}$ где $d$ делит $n$ и меньше, чем $n$. Просмотр ${Z(A)}^{*}$, $A^{*}$, и ${Z}_{x}^{*}$ как группы при умножении, мы можем написать уравнение класса

$q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}$

где сумма берется по классам сопряженности, не содержащимся в пределах ${Z(A)}^{*}$и $d$ определены так, что для каждого класса сопряженности порядок ${Z}_{x}^{*}$ для любого $x$ в классе есть ${q}^{d}-1$. ${q}^{n}-1$ и $q^{d}-1$ оба допускают полиномиальную факторизацию в терминах круговых многочленов

$\Phi _{f}(q).$

Круговые полиномы на $\mathbb {Q}$ находятся в $\mathbb {Z} [X]$ и уважайте следующие личности:

$x^{n}-1=\prod _{m|n}\Phi _{m}(x)$ и $x^{d}-1=\prod _{m|d}\Phi _{m}(x)$.

Потому что каждый $d$ является правильным делителем $n$,

$\Phi _{n}(x)$ делит оба ${x}^{n}-1$ и каждый ${x^{n}-1 \over x^{d}-1}$ в $\mathbb {Z} [X]$,

поэтому согласно приведенному выше уравнению класса, $\Phi _{n}(q)$ должен разделить $q-1$, и поэтому, приняв нормы

$|\Phi _{n}(q)|\leq q-1$.

Чтобы увидеть, что это заставляет $n$ быть $1$, мы покажем

$|\Phi _{n}(q)|>q-1$

для $n>1$ используя факторизацию комплексных чисел. В полиномиальном тождестве

$\Phi _{n}(x)=\prod (x-\zeta ),$

где $\zeta$ проходит через примитив $n$-ые корни из единицы, множество $x$ быть $q$ а затем принять абсолютные значения

$|\Phi _{n}(q)|=\prod |q-\zeta |.$

Для $n>1$, мы видим, что для каждого примитива $n$-й корень из единицы $\zeta$,

$|q-\zeta |>|q-1|$

из-за расположения $q$, $1$, и $\zeta$ в комплексной плоскости. Таким образом

$|\Phi _{n}(q)|>q-1.$

Ссылки

• Паршалл, К.Х. (1983). «В поисках теоремы алгебры с конечным делением и не только: Джозеф Х. М. Веддерберн, Леонард Диксон и Освальд Веблен». Архив международной истории науки . 33 : 274–99.
• Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для аспирантов по математике . Том. 131 (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-95183-0 .

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы Веддерберна в Planet Math
• системы Mizar Доказательство : http://mizar.org/version/current/html/weddwitt.html#T38