Альтернативная алгебра

В абстрактной алгебре альтернативная алгебра — это алгебра , в которой умножение не обязательно должно быть ассоциативным , а только альтернативным . То есть нужно иметь

• $x(xy)=(xx)y$
• $(yx)x=y(xx)$

для всех x и y в алгебре.

Очевидно, что любая ассоциативная алгебра альтернативна, но альтернативными являются и некоторые строго неассоциативные алгебры, такие как октонионы .

Ассоциатор

Альтернативные алгебры названы так потому, что это алгебры, у ассоциатор знакопеременный которых . Ассоциатор представляет собой трилинейное отображение, заданное формулой

$[x,y,z]=(xy)z-x(yz)$.

По определению, полилинейное отображение является чередующимся, если оно исчезает всякий раз, когда два его аргумента равны. Левое и правое альтернативные тождества алгебры эквивалентны

$[x,x,y]=0$

$[y,x,x]=0.$

Обе эти идентичности вместе подразумевают, что

$[x,y,x]=[x,x,x]+[x,y,x]-[x,x+y,x+y]=[x,x+y,-y]=[x,x,-y]-[x,y,y]=0$

для всех $x$ и $y$. Это эквивалентно гибкой идентичности

$(xy)x=x(yx).$

Следовательно, ассоциатор альтернативной алгебры является чередующимся. И наоборот , любая алгебра, ассоциатор которой является знакопеременным, очевидно, альтернативна. По симметрии любая алгебра, удовлетворяющая любым двум из:

• левая альтернативная идентичность: $x(xy)=(xx)y$
• правильная альтернативная идентичность: $(yx)x=y(xx)$
• гибкая идентичность: $(xy)x=x(yx).$

альтернативна и, следовательно, удовлетворяет всем трем тождествам.

Альтернирующий ассоциатор всегда полностью кососимметричен. То есть,

$[x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]$

для любой перестановки $\sigma$. Обратное справедливо до тех пор, пока характеристика основного поля не равна 2.

Примеры

• Любая ассоциативная алгебра альтернативна.
• Октонионы размерности образуют неассоциативную альтернативную алгебру, нормированную алгебру с делением 8 над действительными числами .
• В более общем смысле любая алгебра октонионов альтернативна.

Непримеры

• Седенионы алгебры Кэли – и все высшие Диксона теряют альтернативность.

Характеристики

«Теорема Артина» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о теореме Артина о примитивных элементах, см. Теорему о примитивных элементах .

Теорема Артина утверждает, что в альтернативной алгебре подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна . И наоборот, любая алгебра, для которой это верно, явно альтернативна. Отсюда следует, что в альтернативной алгебре выражения, включающие только две переменные, можно однозначно записать без скобок. Обобщение теоремы Артина гласит, что всякий раз, когда три элемента $x,y,z$ в альтернативном алгебраическом ассоциате (т.е. $[x,y,z]=0$), подалгебра, порожденная этими элементами, ассоциативна.

Следствием степенно теоремы Артина является то, что альтернативные алгебры -ассоциативны , то есть подалгебра, порожденная одним элементом, ассоциативна. Обратное не обязательно справедливо: седенионы являются властно-ассоциативными, но не альтернативными.

Личности Муфанга

• $a(x(ay))=(axa)y$
• $((xa)y)a=x(aya)$
• $(ax)(ya)=a(xy)a$

справедливы в любой альтернативной алгебре.

В альтернативной алгебре с единицей мультипликативные обратные уникальны, если они существуют. Более того, для любого обратимого элемента $x$ и все $y$ у одного есть

$y=x^{-1}(xy).$

Это эквивалентно тому, что ассоциатор $[x^{-1},x,y]$ исчезает для всех таких $x$ и $y$.

Если $x$ и $y$ обратимы, то $xy$ также обратим с обратным $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$. Таким образом, множество всех обратимых элементов замкнуто относительно умножения и образует петлю Муфанга . Эта петля единиц в альтернативном кольце или алгебре аналогична группе единиц в ассоциативном кольце или алгебре.

Теорема Клейнфельда утверждает, что любое простое неассоциативное альтернативное кольцо является обобщенной алгеброй октонионов над своим центром . Структурная теория альтернативных колец изложена в книге Кольца почти ассоциативные» . Жевлакова, Слинько, Шестакова и Ширшова «

возникновение

Проективная плоскость над любым альтернативным телом является плоскостью Муфанга .

Каждая композиционная алгебра является альтернативной алгеброй, как показал Гай Роос в 2008 году: Композиционная алгебра A над полем K имеет норму n , которая является мультипликативным гомоморфизмом : $n(a\times b)=n(a)\times n(b)$ соединяя ( A , ×) и ( K , ×).

Определим форму ( _ : _ ): A × A → K по формуле $(a:b)=n(a+b)-n(a)-n(b).$ Тогда след a определяется как ( a :1), а сопряженный — как a * = ( a :1)e – a , где e — базисный элемент для 1. Ряд упражнений доказывает, что композиционная алгебра всегда является альтернативой. алгебра.

См. также

• Алгебра над полем
• Maltsev algebra
• Кольцо Цорна

Ссылки

• Шафер, Ричард Д. (1995). Введение в неассоциативные алгебры . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-68813-5 . Збл   0145.25601 .
• Жевлаков К.А.; Слинько А.М.; Шестаков, ИП; Ширшов, А.И. (1982) [1978]. Кольца, которые почти ассоциативны . Академическая пресса . ISBN  0-12-779850-1 . МР   0518614 . Збл   0487.17001 .

Внешние ссылки

• Жевлаков, К.А. (2001) [1994], «Альтернативные кольца и алгебры» , Энциклопедия математики , EMS Press