Ноль функции

График функции

\cos(x)

для

x

в

\left[-2\pi ,2\pi \right]

, с нулями в

-{\tfrac {3\pi }{2}},\;-{\tfrac {\pi }{2}},\;{\tfrac {\pi }{2}}

, и

{\tfrac {3\pi }{2}},

отмечено красным .

В математике ( — ноль также иногда называемый корнем ) действительной , комплексной или вообще векторной функции. $f$ , является членом $x$ области $f$ такой, что $f(x)$ исчезает в $x$ ; то есть функция $f$ достигает значения 0 при $x$ или, что то же самое, $x$ является решением уравнения $f(x)=0$ . ^[1] Таким образом, «ноль» функции — это входное значение, которое дает на выходе 0. ^[2]

Корнем является многочлена ноль соответствующей полиномиальной функции . ^[1] Основная теорема алгебры показывает, что любой ненулевой многочлен имеет число корней, не более чем равное его степени , и что число корней и степень равны, если рассматривать комплексные корни (или, в более общем смысле, корни в алгебраически замкнутое расширение ), считая со своими кратностями . ^[3] Например, полином $f$ второй степени, определяемой $f(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$ имеет два корня (или нуля) — 2 и 3 . $f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ and }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.$

Если функция отображает действительные числа в действительные числа, то ее нули являются $x$ -координаты точек пересечения его графика с x осью . Альтернативное название такой точки $(x,0)$ в этом контексте является $x$ -перехват .

Решение уравнения

Каждое уравнение с неизвестным $x$ можно переписать как

f(x)=0

перегруппировав все термины в левой части. Отсюда следует, что решения такого уравнения являются в точности нулями функции $f$ . Другими словами, «нуль функции» — это в точности «решение уравнения, полученное приравниванием функции к 0», а изучение нулей функций — это совершенно то же самое, что изучение решений уравнений.

Полиномиальные корни

Каждый действительный многочлен нечетной степени имеет нечетное количество действительных корней (с учетом кратностей ); аналогично действительный многочлен четной степени должен иметь четное количество действительных корней. Следовательно, действительные нечетные многочлены должны иметь хотя бы один действительный корень (поскольку наименьшее нечетное целое число равно 1), тогда как четные многочлены могут не иметь ни одного. Этот принцип можно доказать, ссылаясь на теорему о промежуточном значении : поскольку полиномиальные функции непрерывны , значение функции должно пересекать ноль в процессе перехода от отрицательного к положительному или наоборот (что всегда происходит для нечетных функций).

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры гласит, что каждый многочлен степени $n$ имеет $n$ сложные корни, посчитанные с учетом их кратностей. Невещественные корни многочленов с вещественными коэффициентами входят в сопряженные пары. ^[2] Формулы Виеты связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.

Вычисление корней

Вычисление корней функций, например полиномиальных функций , часто требует использования специализированных или аппроксимирующих методов (например, метода Ньютона ). Однако некоторые полиномиальные функции, в том числе все функции степени не выше 4, могут иметь все корни, выраженные алгебраически через их коэффициенты (подробнее см. «Алгебраическое решение »).

Нулевой набор

В различных областях математики нулевым множеством называется функции множество всех ее нулей. Точнее, если $f:X\to \mathbb {R}$ — вещественная функция (или, в более общем смысле, функция, принимающая значения в некоторой аддитивной группе ), ее нулевое множество есть $f^{-1}(0)$ , обратный образ $\{0\}$ в $X$ .

Согласно той же гипотезе о кодомене функции, множество уровня функции $f$ — нулевое множество функции $f-c$ для некоторых $c$ в кодомене $f.$

Нулевое множество линейной карты также известно как ее ядро .

Конулевое множество функции $f:X\to \mathbb {R}$ является дополнением нулевого множества $f$ (т.е. подмножество $X$ на котором $f$ не равно нулю).

Приложения

В алгебраической геометрии первое определение алгебраического многообразия осуществляется через нулевые множества. В частности, аффинное алгебраическое множество - это пересечение нулевых множеств нескольких многочленов в кольце многочленов . $k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]$ над полем . В этом контексте нулевое множество иногда называют нулевым локусом .

В анализе и геометрии любое замкнутое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ — нулевое множество гладкой функции, определенной на всех $\mathbb {R} ^{n}$ . Это распространяется на любое гладкое многообразие как следствие паракомпактности .

В дифференциальной геометрии нулевые множества часто используются для определения многообразий . Важным частным случаем является случай, когда $f$ является гладкой функцией от $\mathbb {R} ^{p}$ к $\mathbb {R} ^{n}$ . Если ноль является обычным значением $f$ , то нулевой набор $f$ представляет собой гладкое многообразие размерности $m=p-n$ по теореме о регулярном значении .