Паракомпактное пространство

В математике паракомпактное пространство — это топологическое пространство , в котором каждое открытое покрытие имеет открытое уточнение , локально конечное . Эти пространства были введены Дьедонне (1944) . Всякий компакт паракомпактен. Всякое паракомпактное хаусдорфово пространство является нормальным , а хаусдорфово пространство является паракомпактным, если и только в том случае, если оно допускает разделы единства, подчиненные любому открытому покрову. Иногда паракомпактные пространства определяются так, чтобы они всегда были Хаусдорфовыми.

Каждое замкнутое подпространство паракомпактного пространства паракомпактно. Хотя компактные подмножества хаусдорфовых пространств всегда замкнуты, для паракомпактных подмножеств это неверно. Пространство такое, что каждое его подпространство является паракомпактным, называется наследственно паракомпактным . Это эквивалентно требованию, чтобы каждое открытое подпространство было паракомпактным.

Понятие паракомпактного пространства также изучается в бессмысленной топологии , где оно более корректно. Например, произведение любого количества паракомпактных локалей является паракомпактным локалем, но произведение двух паракомпактных пространств не может быть паракомпактным. Сравните это с теоремой Тихонова , которая утверждает, что произведение любого набора компактных топологических пространств компактно. Однако произведение паракомпакта и бикомпакта всегда паракомпактно.

Каждое метрическое пространство паракомпактно. Топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно является паракомпактным и локально метризуемым Хаусдорфовым пространством .

Определение

Обложка ​ набора ​ $X$ собой совокупность подмножеств представляет $X$ чей союз содержит $X$. В символах, если $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ представляет собой индексированное семейство подмножеств $X$, затем $U$ это обложка $X$ если

$X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.$

Покрытие топологического пространства $X$ открыто , если все его члены являются открытыми множествами . Доработка пространства покрытия $X$ является новым покрытием того же пространства, причем каждое множество в новом покрытии является подмножеством некоторого множества в старом покрытии. В символах обложка $V=\{V_{\beta }:\beta \in B\}$ это доработка обложки $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ тогда и только тогда, когда для каждого $V_{\beta }$ в $V$, существует некоторый $U_{\alpha }$ в $U$ такой, что $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$.

Открытое покрытие пространства $X$ , локально конечна если каждая точка пространства имеет окрестность , пересекающую лишь конечное число множеств покрытия. В символах, $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ локально конечна тогда и только тогда, когда для любого $x$ в $X$, существует некоторая окрестность $V$ из $x$ такой, что набор

$\left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V\neq \varnothing \right\}$

конечно. Топологическое пространство $X$ теперь называется паракомпактным, если каждое открытое покрытие имеет локально конечное открытое уточнение.

Это определение дословно распространяется на локали, за исключением локально конечных: открытое покрытие $U$ из $X$ локально конечно тогда и только тогда, когда множество открытий $V$ которые пересекаются лишь с конечным числом отверстий в $U$ также образуют крышку $X$. Обратите внимание, что открытое покрытие топологического пространства является локально конечным тогда и только тогда, когда оно является локально конечным покрытием лежащего в основе локали.

Примеры

• Всякий компакт паракомпактен.
• Всякое регулярное пространство Линделёфа паракомпактно. В частности, всякое локально компактное хаусдорфово счетное пространство паракомпактно.
• Линия Соргенфрея паракомпактна, хотя она не является ни компактной, ни локально компактной, ни счетной, ни метризуемой.
• Любой комплекс КС является паракомпактным.
• ( Теорема А. Х. Стоуна ) Каждое метрическое пространство паракомпактно. Ранние доказательства были несколько сложными, но элементарное было найдено М. Е. Рудиным . Существующие доказательства этого требуют аксиомы выбора для несепарабельного случая . Было показано, что теории ZF недостаточно, чтобы доказать это, даже после более слабой аксиомы зависимого выбора . добавления

Некоторые примеры пространств, которые не являются паракомпактными, включают:

• Самый известный контрпример — длинная линия , представляющая собой непаракомпактное топологическое многообразие . (Длинная линия локально компактна, но не счетна по секундам.)
• Другой контрпример — произведение числа бесчисленного копий бесконечного дискретного пространства . Любое бесконечное множество, несущее конкретную точечную топологию , не является паракомпактным; на самом деле это даже не метакомпакт .
• P Многообразие Прюфера является непаракомпактной поверхностью. (Легко найти несчетное открытое покрытие P без какого-либо уточнения.)
• Теорема о волынке показывает, что существует 2 ^{ℵ ₁} топологической классы эквивалентности непаракомпактных поверхностей.
• Плоскость Соргенфрея не является паракомпактной, несмотря на то, что она является произведением двух паракомпактных пространств.

Свойства

Паракомпактность слабо наследственна, т. е. каждое замкнутое подпространство паракомпактного пространства паракомпактно. Это можно распространить F-сигмы . и на подпространства

• Регулярное пространство называется паракомпактным, если каждое открытое покрытие допускает локально конечное уточнение. (Здесь уточнение не обязательно должно быть открытым.) В частности, каждое регулярное пространство Линделёфа паракомпактно.
• ( Теорема Смирнова о метризации ) Топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно, хаусдорфово и локально метризуемо.
• Теорема выбора Майкла утверждает, что полунепрерывные снизу мультифункции из X в непустые замкнутые выпуклые подмножества банаховых пространств допускают непрерывный выбор тогда и только тогда, когда X паракомпактно.

Хотя произведение паракомпактных пространств не обязательно должно быть паракомпактным, верно следующее:

• Произведение паракомпактного пространства и компактного пространства паракомпактно.
• Произведение метакомпакта и компакта метакомпактно.

Оба этих результата можно доказать с помощью леммы о трубке , которая используется при доказательстве компактности произведения конечного числа компактов.

Паракомпактные хаусдорфовые пространства

Иногда требуется, чтобы паракомпактные пространства были также хаусдорфовыми, чтобы расширять свои свойства.

• ( Теорема Жана Дьедонне ) Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство нормально .
• Каждое паракомпактное хаусдорфово пространство является сжимающимся пространством , то есть каждое открытое покрытие паракомпактного хаусдорфова пространства имеет сжимающееся: другое открытое покрытие, индексированное тем же набором, такое, что замыкание каждого множества в новом покрытии лежит внутри соответствующего множества в старая обложка.
• В паракомпактных хаусдорфовых пространствах пучковые когомологии и когомологии Чеха равны.

Разделы единства

Важнейшей особенностью паракомпактных хаусдорфовых пространств является то, что они допускают разбиения единицы, подчиненные любому открытому покрытию. Это означает следующее: если X — паракомпактное хаусдорфово пространство с заданным открытым покрытием, то существует набор непрерывных функций на X со значениями в единичном интервале [0, 1] такой, что:

• для каждой функции f : X → R из набора существует открытое множество U из покрытия такое, что f содержится носитель в U ;
• для каждой точки x в X существует окрестность V точки x такая, что все функции в коллекции, кроме конечного числа, равны тождественно 0 в V а сумма ненулевых функций тождественно равна 1 в V. ,

Фактически пространство T ₁ является хаусдорфовым и паракомпактным тогда и только тогда, когда оно допускает разбиения единицы, подчиненные любому открытому покрытию (см. ниже ). Это свойство иногда используется для определения паракомпактов (по крайней мере, в случае Хаусдорфа).

Перегородки единства полезны тем, что часто позволяют распространить локальные конструкции на все пространство. Например, интеграл дифференциальных форм на паракомпактных многообразиях сначала определяется локально (где многообразие выглядит как евклидово пространство и интеграл хорошо известен), а затем это определение распространяется на все пространство через разбиение единицы.

что паракомпактные хаусдорфовы пространства допускают разбиения

показывать

(Нажмите «показать» справа, чтобы увидеть доказательство, или «скрыть», чтобы скрыть его.)

A Hausdorff space $X\,$ is paracompact if and only if it every open cover admits a subordinate partition of unity. The if direction is straightforward. Now for the only if direction, we do this in a few stages.

Lemma 1: If ${\mathcal {O}}\,$ is a locally finite open cover, then there exists open sets $W_{U}\,$ for each $U\in {\mathcal {O}}\,$, such that each ${\bar {W_{U}}}\subseteq U\,$ and $\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,$ is a locally finite refinement.

Lemma 2: If ${\mathcal {O}}\,$ is a locally finite open cover, then there are continuous functions $f_{U}:X\to [0,1]\,$ such that $\operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,$ and such that $f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,$ is a continuous function which is always non-zero and finite.

Theorem: In a paracompact Hausdorff space $X\,$, if ${\mathcal {O}}\,$ is an open cover, then there exists a partition of unity subordinate to it.

Proof (Lemma 1):

Let ${\mathcal {V}}\,$ be the collection of open sets meeting only finitely many sets in ${\mathcal {O}}\,$, and whose closure is contained in a set in ${\mathcal {O}}$. One can check as an exercise that this provides an open refinement, since paracompact Hausdorff spaces are regular, and since ${\mathcal {O}}\,$ is locally finite. Now replace ${\mathcal {V}}\,$ by a locally finite open refinement. One can easily check that each set in this refinement has the same property as that which characterised the original cover.

Now we define $W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,$. The property of ${\mathcal {V}}\,$ guarantees that every $A\in {\mathcal {V}}$ is contained in some $W_{U}$. Therefore $\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,$ is an open refinement of ${\mathcal {O}}\,$. Since we have $W_{U}\subseteq U$, this cover is immediately locally finite.

Now we want to show that each ${\bar {W_{U}}}\subseteq U\,$. For every $x\notin U$, we will prove that $x\notin {\bar {W_{U}}}$. Since we chose ${\mathcal {V}}$ to be locally finite, there is a neighbourhood $V[x]$ of $x$ such that only finitely many sets in ${\mathcal {V}}$ have non-empty intersection with $V[x]$, and we note $A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}$ those in the definition of $W_{U}$. Therefore we can decompose $W_{U}$ in two parts: $A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}$ who intersect $V[x]$, and the rest $A\in {\mathcal {V}}$ who don't, which means that they are contained in the closed set $C:=X\setminus V[x]$. We now have ${\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C$. Since ${\bar {A_{i}}}\subseteq U$ and $x\notin U$, we have $x\notin {\bar {A_{i}}}$ for every $i$. And since $C$ is the complement of a neighbourhood of $x$, $x$ is also not in $C$. Therefore we have $x\notin {\bar {W_{U}}}$.

$\blacksquare \,$ (Lem 1)

Proof (Lemma 2):

Applying Lemma 1, let $f_{U}:X\to [0,1]\,$ be continuous maps with $f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,$ and $\operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,$ (by Urysohn's lemma for disjoint closed sets in normal spaces, which a paracompact Hausdorff space is). Note by the support of a function, we here mean the points not mapping to zero (and not the closure of this set). To show that $f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,$ is always finite and non-zero, take $x\in X\,$, and let $N\,$ a neighbourhood of $x\,$ meeting only finitely many sets in ${\mathcal {O}}\,$; thus $x\,$ belongs to only finitely many sets in ${\mathcal {O}}\,$; thus $f_{U}(x)=0\,$ for all but finitely many $U\,$; moreover $x\in W_{U}\,$ for some $U\,$, thus $f_{U}(x)=1\,$; so $f(x)\,$ is finite and $\geq 1\,$. To establish continuity, take $x,N\,$ as before, and let $S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,$, which is finite; then $f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,$, which is a continuous function; hence the preimage under $f\,$ of a neighbourhood of $f(x)\,$ will be a neighbourhood of $x\,$.

$\blacksquare \,$ (Lem 2)

Proof (Theorem):

Take ${\mathcal {O}}^{*}\,$ a locally finite subcover of the refinement cover: $\{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,$. Applying Lemma 2, we obtain continuous functions $f_{W}:X\to [0,1]\,$ with $\operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,$ (thus the usual closed version of the support is contained in some $U\in {\mathcal {O}}\,$, for each $W\in {\mathcal {O}}^{*}\,$; for which their sum constitutes a continuous function which is always finite non-zero (hence $1/f\,$ is continuous positive, finite-valued). So replacing each $f_{W}\,$ by $f_{W}/f\,$, we have now — all things remaining the same — that their sum is everywhere $1\,$. Finally for $x\in X\,$, letting $N\,$ be a neighbourhood of $x\,$ meeting only finitely many sets in ${\mathcal {O}}^{*}\,$, we have $f_{W}\upharpoonright N=0\,$ for all but finitely many $W\in {\mathcal {O}}^{*}\,$ since each $\operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,$. Thus we have a partition of unity subordinate to the original open cover.

$\blacksquare \,$ (Thm)

с

Между определениями компактности и паракомпактности имеется сходство:Для паракомпактности слово «подпокрытие» заменяется на «открытое уточнение», а слово «конечный» заменяется на «локально конечное». Оба эти изменения существенны: если мы возьмем определение паракомпакта и заменим «открытое уточнение» обратно на «подпокрытие» или «локально конечное» обратно на «конечное», в обоих случаях мы получим компакты.

Паракомпактность не имеет ничего общего с понятием компактности, а скорее связана с разбиением объектов топологического пространства на управляемые части.

Сравнение свойств с компактностью

Паракомпактность аналогична компактности в следующих отношениях:

• Любое замкнутое подмножество паракомпактного пространства паракомпактно.
• Каждое паракомпактное пространство нормально хаусдорфово .

Он отличается в следующих отношениях:

• Паракомпактное подмножество хаусдорфова пространства не обязательно должно быть замкнутым. Фактически, для метрических пространств все подмножества паракомпактны.
• Произведение паракомпактных пространств не обязательно должно быть паракомпактным. Квадрат вещественной прямой R в топологии нижнего предела является классическим примером этого.

Вариации

Существует несколько вариаций понятия паракомпактности. Чтобы определить их, нам сначала нужно расширить список терминов выше:

Топологическое пространство – это:

• метакомпактным , если каждое открытое покрытие имеет открытое точечно-конечное уточнение.
• ортокомпактным, если каждое открытое покрытие имеет открытое уточнение такое, что пересечение всех открытых множеств относительно любой точки этого уточнения открыто.
• полностью нормально , если каждая открытая крышка имеет уточнение открытой звезды , и полностью T _4, если она полностью нормальна, и T ₁ (см. аксиомы разделения ).

Наречие « счетно » можно добавить к любому из прилагательных «паракомпактный», «метакомпактный» и «полностью нормальный», чтобы требование распространялось только на счетные открытые крышки.

Всякое паракомпактное пространство метакомпактно, а всякое метакомпактное пространство ортокомпактно.

Определение соответствующих терминов для вариантов

• Учитывая покрытие и точку, звезда точки в покрытии представляет собой объединение всех множеств в покрытии, содержащих эту точку. В символах звезда x в U = { U _α : α в A } — это

$\mathbf {U} ^{*}(x):=\bigcup _{U_{\alpha }\ni x}U_{\alpha }.$

Обозначение звезды в литературе не стандартизировано, и это лишь одна из возможностей.

• Звездное уточнение покрытия пространства X — это такое покрытие того же пространства, что для любой точки пространства звезда точки в новом покрытии является подмножеством некоторого множества в старом покрытии. В символах V является звездным уточнением U = { U _α : α в A }, если для любого x в X существует U _α в U такой, что V ^* ( x ) содержится в U _α .
• Покрытие пространства X называется точечно-конечным (или точечно-конечным ), если каждая точка пространства принадлежит лишь конечному числу множеств покрытия. В символах U является точечно конечным, если для любого x в X множество $\left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}$ конечно.

Как следует из названий, полностью нормальное пространство является нормальным , а полностью T ₄ пространство — это T ₄ . Всякое пространство T ₄ паракомпактно. Фактически для хаусдорфовых пространств паракомпактность и полная нормальность эквивалентны. Таким образом, вполне Т4 _- пространство — это то же самое, что и паракомпактное хаусдорфово пространство.

Без свойства Хаусдорфа паракомпактные пространства не обязательно являются полностью нормальными. Примером может служить любое нерегулярное компактное пространство.

Историческая справка: полностью нормальные пространства были определены Джоном В. Тьюки до паракомпактных пространств в 1940 году. Доказать, что все метризуемые пространства вполне нормальны, несложно. Когда А. Х. Стоун доказал, что для хаусдорфовых пространств полная нормальность и паракомпактность эквивалентны, он неявно доказал, что все метризуемые пространства паракомпактны. Позже Эрнест Майкл дал прямое доказательство последнего факта и М. Е. Рудин дал еще одно элементарное доказательство.

См. также

• а-паракомпактное пространство
• Паранормальное пространство

Ссылки

• Дьедонне, Жан (1944), «Обобщение компактных пространств», Журнал чистой и прикладной математики , девятая серия, 23 : 65–76, ISSN   0021-7824 , MR   0013297
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший , Контрпримеры в топологии (2-е изд.) , Springer Verlag , 1978, ISBN   3-540-90312-7 . стр.23.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-486-43479-6 .
• Мэтью, Ахил. «Топология/Паракомпактность» .

Внешние ссылки

• «Паракомпактное пространство» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]