Теорема выбора Майкла

В функциональном анализе , разделе математики, теорема выбора Майкла — это теорема выбора, названная в честь Эрнеста Майкла . В самой популярной форме он гласит следующее: ^[1]

Теорема выбора Майкла . Пусть X — паракомпактное пространство, а Y — банахово пространство . Позволять $F\colon X\to Y$ — полунепрерывная снизу многозначная функция с непустыми выпуклыми замкнутыми значениями. Тогда существует непрерывный выбор $f\colon X\to Y$ выключенный .

И наоборот , если любое полунепрерывное снизу мультиотображение из топологического пространства X в банахово пространство с непустыми выпуклыми замкнутыми значениями допускает непрерывный выбор , то X паракомпактно. Это дает еще одну характеристику паракомпактности .

Примеры

Функция, удовлетворяющая всем требованиям

Функция: $F(x)=[1-x/2,~1-x/4]$ , показанная серой областью на рисунке справа, является функцией с множеством значений от действительного интервала [0,1] до самого себя. Он удовлетворяет всем условиям Михаила и действительно имеет непрерывную выборку, например: $f(x)=1-x/2$ или $f(x)=1-3x/8$ .

Функция, не удовлетворяющая полунепрерывности снизу.

Функция

$F(x)={\begin{cases}3/4&0\leq x<0.5\\\left[0,1\right]&x=0.5\\1/4&0.5<x\leq 1\end{cases}}$

представляет собой многозначную функцию из действительного интервала [0,1] в себя. Он имеет непустые выпуклые замкнутые значения. Однако он не является геминепрерывным ниже 0,5. Действительно, теорема Майкла неприменима, и функция не имеет непрерывного выбора: любой выбор на уровне 0,5 обязательно является разрывным. ^[2]

Приложения

Теорему выбора Майкла можно применить, чтобы показать, что дифференциальное включение

{\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}

имеет букву С ¹ решение, когда F полунепрерывно снизу и F ( t , x ) является непустым замкнутым и выпуклым множеством для всех ( t , x ). Когда F однозначно, это классическая теорема существования Пеано .

Обобщения

Теорема Дойча и Кендерова обобщает теорему Мишеля о выборе до эквивалентности, связывая приблизительные выборы с почти нижней геминепрерывностью , где $F$ называется почти геминепрерывным снизу, если в каждом $x\in X$ , все районы $V$ из $0$ существует район $U$ из $x$ такой, что $\cap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset .$

А именно, теорема Дойча – Кендерова утверждает, что если $X$ является паракомпактным, $Y$ нормированное векторное пространство и $F(x)$ непусто и выпукло для каждого $x\in X$ , затем $F$ почти полунепрерывен снизу тогда и только тогда, когда $F$ имеет непрерывные приближенные выборки, т. е. для каждой окрестности $V$ из $0$ в $Y$ существует непрерывная функция $f\colon X\mapsto Y$ такой, что для каждого $x\in X$ , $f(x)\in F(X)+V$ . ^[3]

В заметке Сюй доказал, что теорема Дойча – Кендерова справедлива и в том случае, если $Y$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство . ^[4]

См. также

Ссылки

^ Майкл, Эрнест (1956). «Непрерывные выделения. I». Анналы математики . Вторая серия. 63 (2): 361–382. дои : 10.2307/1969615 . hdl : 10338.dmlcz/119700 . JSTOR 1969615 . МР 0077107 .
^ «Проверка доказательства — сведение теоремы Какутани о неподвижной точке к теореме Брауэра с помощью теоремы выбора» . Математический обмен стеками . Проверено 29 октября 2019 г.
^ Дойч, Франк; Кендеров, Петар (январь 1983 г.). «Непрерывный выбор и приблизительный выбор для множественных отображений и приложений к метрическим проекциям». SIAM Journal по математическому анализу . 14 (1): 185–194. дои : 10.1137/0514015 .
^ Сюй, Югуан (декабрь 2001 г.). «Заметки о непрерывной приближенной теореме выбора» . Журнал теории приближения . 113 (2): 324–325. дои : 10.1006/jath.2001.3622 .

Дальнейшее чтение

Реповш, Душан ; Семенов, Павел В. (2014). «Непрерывный выбор многозначных отображений». В Харте, КП; Ван Милл, Дж.; Саймон, П. (ред.). Недавний прогресс в общей топологии . Том. III. Берлин: Шпрингер. стр. 711–749. arXiv : 1401.2257 . Бибкод : 2014arXiv1401.2257R . ISBN 978-94-6239-023-2 .
Обен, Жан-Пьер; Челлина, Арриго (1984). Дифференциальные включения, многозначные отображения и теория жизнеспособности . Грундл. дер Мат. Висс. Том. 264. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13105-1 .
Обен, Жан Пьер; Франковска, Х. (1990). Многозначный анализ . Базель: Биркхойзер. ISBN 3-7643-3478-9 .
Даймлинг, Клаус (1992). Многозначные дифференциальные уравнения . Вальтер де Грюйтер. ISBN 3-11-013212-5 .
Реповш, Душан ; Семенов, Павел В. (1998). Непрерывные выборки многозначных отображений . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-5277-7 .
Реповш, Душан ; Семенов, Павел В. (2008). «Эрнест Майкл и теория непрерывного отбора». Топология и ее приложения . 155 (8): 755–763. arXiv : 0803.4473 . дои : 10.1016/j.topol.2006.06.011 .
Алипрантис, Хараламбос Д.; Бордер, Ким К. (2007). Бесконечный размерный анализ: Путеводитель для автостопом (3-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-540-32696-0 .
Ху, С.; Папагеоргиу, Н. Справочник по многозначному анализу . Том. И. Клювер. ISBN 0-7923-4682-3 .

[1] Майкл, Эрнест (1956). «Непрерывные выделения. I». Анналы математики . Вторая серия. 63 (2): 361–382. дои : 10.2307/1969615 . hdl : 10338.dmlcz/119700 . JSTOR 1969615 . МР 0077107 .

[2] «Проверка доказательства — сведение теоремы Какутани о неподвижной точке к теореме Брауэра с помощью теоремы выбора» . Математический обмен стеками . Проверено 29 октября 2019 г.

[3] Дойч, Франк; Кендеров, Петар (январь 1983 г.). «Непрерывный выбор и приблизительный выбор для множественных отображений и приложений к метрическим проекциям». SIAM Journal по математическому анализу . 14 (1): 185–194. дои : 10.1137/0514015 .

[4] Сюй, Югуан (декабрь 2001 г.). «Заметки о непрерывной приближенной теореме выбора» . Журнал теории приближения . 113 (2): 324–325. дои : 10.1006/jath.2001.3622 .

[1]

[2]

[3]

[4]