Дифференциальное включение
Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( декабрь 2014 г. ) |
В математике дифференциальные включения представляют собой обобщение понятия обыкновенного дифференциального уравнения вида
где F — многозначное отображение , т.е. F ( t , x ) — множество , а не отдельная точка в . Дифференциальные включения возникают во многих ситуациях, включая дифференциальные вариационные неравенства , проектируемые динамические системы , процесс подметания Моро, динамические системы линейной и нелинейной дополнительности, разрывные обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы переключения и арифметику нечетких множеств . [1]
Например, основное правило кулоновского трения состоит в том, что сила трения имеет величину μN в направлении, противоположном направлению скольжения, где N — нормальная сила, а μ — константа (коэффициент трения). Однако, если скольжение равно нулю, сила трения может представлять собой любую силу в правильной плоскости с величиной, меньшей или равной µN . Таким образом, запись силы трения как функции положения и скорости приводит к заданной функции .
При дифференциальном включении мы не только берем многозначное отображение в правой части, но также можем взять подмножество евклидова пространства. для некоторых следующим образом. Позволять и Наша главная цель – найти функция удовлетворяющее дифференциальному включению а и в где является открытым ограниченным множеством.
Теория
[ редактировать ]Теория существования обычно предполагает, что F ( t , x ) — полунепрерывная сверху функция от x , измеримая по t , и что F ( t , x ) — замкнутое выпуклое множество для всех t и x . Существование решений задачи начального значения
для достаточно малого интервала времени [ t 0 , t 0 + ε ), ε тогда > 0.Глобальное существование может быть показано при условии, что F не допускает «разрыва» ( как для конечного ).
Теория существования дифференциальных включений с невыпуклыми F ( t , x ) является активной областью исследований.
Единственность решений обычно требует иных условий. Например, предположим удовлетворяет одностороннему условию Липшица :
для некоторого C для всех x 1 и x 2 . Тогда задача начального значения
имеет единственное решение.
Это тесно связано с теорией максимальных монотонных операторов , разработанной Минти и Хаимом Брезисом .
Теория Филиппова допускает только разрывы в производной , но не допускает разрывов в состоянии, т.е. необходимо быть непрерывным. Шацман , а затем Моро (который дал ему ныне принятое название) расширили это понятие до измерения дифференциального включения (MDI), в котором включение оценивается путем принятия предела сверху для . [2] [3]
Приложения
[ редактировать ]Дифференциальные включения можно использовать для понимания и правильной интерпретации разрывных обыкновенных дифференциальных уравнений, например, возникающих при кулоновском трении в механических системах и идеальных переключателях в силовой электронике. Важный вклад внес А. Ф. Филиппов , изучавший регуляризации разрывных уравнений. В дальнейшем технику регуляризации использовал Н. Н. Красовский в теории дифференциальных игр .
Дифференциальные включения также лежат в основе анализа негладких динамических систем (НСДС). [4] который используется при аналоговом исследовании коммутационных электрических цепей с использованием идеализированных уравнений составляющих (например, с использованием идеализированных прямых вертикальных линий для резко экспоненциальных областей прямой и пробойной проводимости диодной характеристики ) [5] и при изучении некоторых негладких механических систем , таких как скачкообразные колебания в системах с сухим трением или динамика ударных явлений. [6] Существует программное обеспечение, решающее проблемы систем NSDS, например, INRIA компании Siconos .
В непрерывной функции, когда концепция нечеткого включения используется в дифференциальном включении, появляется новая концепция нечеткого дифференциального включения , которая находит применение в моделировании атмосферной дисперсии и кибернетике в медицинской визуализации .
См. также
[ редактировать ]- Жесткость , которая влияет на ОДУ/ДАУ для функций с «резкими поворотами» и которая влияет на числовую сходимость.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Брольято, Бернар; Танвани, Анил (2020). «Динамические системы в сочетании с монотонными множественными операторами: формализмы, приложения, корректность и устойчивость». Обзор SIAM, том 62, № 1, стр. 3–129, доступно по адресу hal.inria.fr/hal-02379498.
- ^ Дэвид Э. Стюарт (2011). Динамика с неравенством: воздействия и жесткие ограничения . СИАМ. п. 125. ИСБН 978-1-61197-070-8 .
- ^ Бернар Брольято (2016). Негладкая механика. Модели, динамика и управление . Springer International Publishing Швейцария, 3-е изд. ISBN 978-3-319-28664-8 .
- ^ Маркус Кунце (2000). Негладкие динамические системы . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6 .
- ^ Винсент Акари; Оливье Боннефон; Бернар Брольято (2010). Негладкое моделирование и моделирование коммутируемых цепей . Springer Science & Business Media. стр. 3–4. ISBN 978-90-481-9681-4 .
- ^ Ремко И. Лейне; Хендрик Неймейер (2013). Динамика и бифуркации негладких механических систем . Springer Science & Business Media. п. В (предисловие). ISBN 978-3-540-44398-8 .
- Обен, Жан-Пьер; Челлина, Арриго (1984). Дифференциальные включения, многозначные отображения и теория жизнеспособности . Грундл. дер Мат. Висс. Том. 264. Берлин: Шпрингер. ISBN 9783540131052 .
- Обен, Жан-Пьер; Франковска, Хелен (1990). Многозначный анализ . Биркхойзер. ISBN 978-0817648473 .
- Даймлинг, Клаус (1992). Многозначные дифференциальные уравнения . Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3110132120 .
- Андрес, Дж.; Горневич, Лех (2003). Топологические принципы неподвижной точки для краевых задач . Спрингер. ISBN 978-9048163182 .
- Филиппов, А.Ф. (1988). Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями . Группа академических издателей Kluwer. ISBN 90-277-2699-Х .