Дифференциальное включение

В математике дифференциальные включения представляют собой обобщение понятия обыкновенного дифференциального уравнения вида

{\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),

где F — многозначное отображение , т.е. F ( t , x ) — множество , а не отдельная точка в $\mathbb {R} ^{d}$ . Дифференциальные включения возникают во многих ситуациях, включая дифференциальные вариационные неравенства , проектируемые динамические системы , процесс подметания Моро, динамические системы линейной и нелинейной дополнительности, разрывные обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы переключения и арифметику нечетких множеств . ^[1]

Например, основное правило кулоновского трения состоит в том, что сила трения имеет величину μN в направлении, противоположном направлению скольжения, где N — нормальная сила, а μ — константа (коэффициент трения). Однако, если скольжение равно нулю, сила трения может представлять собой любую силу в правильной плоскости с величиной, меньшей или равной µN . Таким образом, запись силы трения как функции положения и скорости приводит к заданной функции .

При дифференциальном включении мы не только берем многозначное отображение в правой части, но также можем взять подмножество евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{N}$ для некоторых $N\in \mathbb {N}$ следующим образом. Позволять $n\in \mathbb {N}$ и $E\subset \mathbb {R} ^{n\times n}\setminus \{0\}.$ Наша главная цель – найти $W_{0}^{1,\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ функция $u$ удовлетворяющее дифференциальному включению $Du\in E$ а и в $\Omega ,$ где $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ является открытым ограниченным множеством.

Теория

Теория существования обычно предполагает, что F ( t , x ) — полунепрерывная сверху функция от x , измеримая по t , и что F ( t , x ) — замкнутое выпуклое множество для всех t и x . Существование решений задачи начального значения

{\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}

для достаточно малого интервала времени [ t ₀ , t ₀ + ε ), ε тогда > 0.Глобальное существование может быть показано при условии, что F не допускает «разрыва» ( $\scriptstyle \Vert x(t)\Vert \,\to \,\infty$ как $\scriptstyle t\,\to \,t^{*}$ для конечного $\scriptstyle t^{*}$ ).

Теория существования дифференциальных включений с невыпуклыми F ( t , x ) является активной областью исследований.

Единственность решений обычно требует иных условий. Например, предположим $F(t,x)$ удовлетворяет одностороннему условию Липшица :

(x_{1}-x_{2})^{T}(F(t,x_{1})-F(t,x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}

для некоторого C для всех x ₁ и x ₂ . Тогда задача начального значения

{\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}

имеет единственное решение.

Это тесно связано с теорией максимальных монотонных операторов , разработанной Минти и Хаимом Брезисом .

Теория Филиппова допускает только разрывы в производной ${\frac {dx}{dt}}(t)$ , но не допускает разрывов в состоянии, т.е. $x(t)$ необходимо быть непрерывным. Шацман , а затем Моро (который дал ему ныне принятое название) расширили это понятие до измерения дифференциального включения (MDI), в котором включение оценивается путем принятия предела сверху для $x(t)$ . ^[2]^[3]

Приложения

Дифференциальные включения можно использовать для понимания и правильной интерпретации разрывных обыкновенных дифференциальных уравнений, например, возникающих при кулоновском трении в механических системах и идеальных переключателях в силовой электронике. Важный вклад внес А. Ф. Филиппов , изучавший регуляризации разрывных уравнений. В дальнейшем технику регуляризации использовал Н. Н. Красовский в теории дифференциальных игр .

Дифференциальные включения также лежат в основе анализа негладких динамических систем (НСДС). ^[4] который используется при аналоговом исследовании коммутационных электрических цепей с использованием идеализированных уравнений составляющих (например, с использованием идеализированных прямых вертикальных линий для резко экспоненциальных областей прямой и пробойной проводимости диодной характеристики ) ^[5] и при изучении некоторых негладких механических систем , таких как скачкообразные колебания в системах с сухим трением или динамика ударных явлений. ^[6] Существует программное обеспечение, решающее проблемы систем NSDS, например, INRIA компании Siconos .

В непрерывной функции, когда концепция нечеткого включения используется в дифференциальном включении, появляется новая концепция нечеткого дифференциального включения , которая находит применение в моделировании атмосферной дисперсии и кибернетике в медицинской визуализации .

См. также

Жесткость , которая влияет на ОДУ/ДАУ для функций с «резкими поворотами» и которая влияет на числовую сходимость.

Ссылки

^ Брольято, Бернар; Танвани, Анил (2020). «Динамические системы в сочетании с монотонными множественными операторами: формализмы, приложения, корректность и устойчивость». Обзор SIAM, том 62, № 1, стр. 3–129, доступно по адресу hal.inria.fr/hal-02379498.
^ Дэвид Э. Стюарт (2011). Динамика с неравенством: воздействия и жесткие ограничения . СИАМ. п. 125. ИСБН 978-1-61197-070-8 .
^ Бернар Брольято (2016). Негладкая механика. Модели, динамика и управление . Springer International Publishing Швейцария, 3-е изд. ISBN 978-3-319-28664-8 .
^ Маркус Кунце (2000). Негладкие динамические системы . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6 .
^ Винсент Акари; Оливье Боннефон; Бернар Брольято (2010). Негладкое моделирование и моделирование коммутируемых цепей . Springer Science & Business Media. стр. 3–4. ISBN 978-90-481-9681-4 .
^ Ремко И. Лейне; Хендрик Неймейер (2013). Динамика и бифуркации негладких механических систем . Springer Science & Business Media. п. В (предисловие). ISBN 978-3-540-44398-8 .

Обен, Жан-Пьер; Челлина, Арриго (1984). Дифференциальные включения, многозначные отображения и теория жизнеспособности . Грундл. дер Мат. Висс. Том. 264. Берлин: Шпрингер. ISBN 9783540131052 .
Обен, Жан-Пьер; Франковска, Хелен (1990). Многозначный анализ . Биркхойзер. ISBN 978-0817648473 .
Даймлинг, Клаус (1992). Многозначные дифференциальные уравнения . Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3110132120 .
Андрес, Дж.; Горневич, Лех (2003). Топологические принципы неподвижной точки для краевых задач . Спрингер. ISBN 978-9048163182 .
Филиппов, А.Ф. (1988). Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями . Группа академических издателей Kluwer. ISBN 90-277-2699-Х .

[Brogliato2020-1] Брольято, Бернар; Танвани, Анил (2020). «Динамические системы в сочетании с монотонными множественными операторами: формализмы, приложения, корректность и устойчивость». Обзор SIAM, том 62, № 1, стр. 3–129, доступно по адресу hal.inria.fr/hal-02379498.

[Stewart2011-2] Дэвид Э. Стюарт (2011). Динамика с неравенством: воздействия и жесткие ограничения . СИАМ. п. 125. ИСБН 978-1-61197-070-8 .

[Brogliato2016-3] Бернар Брольято (2016). Негладкая механика. Модели, динамика и управление . Springer International Publishing Швейцария, 3-е изд. ISBN 978-3-319-28664-8 .

[Kunze2000-4] Маркус Кунце (2000). Негладкие динамические системы . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-67993-6 .

[AcaryBonnefon2010-5] Винсент Акари; Оливье Боннефон; Бернар Брольято (2010). Негладкое моделирование и моделирование коммутируемых цепей . Springer Science & Business Media. стр. 3–4. ISBN 978-90-481-9681-4 .

[LeineNijmeijer2013-6] Ремко И. Лейне; Хендрик Неймейер (2013). Динамика и бифуркации негладких механических систем . Springer Science & Business Media. п. В (предисловие). ISBN 978-3-540-44398-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]