Дифференциальное вариационное неравенство

В математике дифференциальное вариационное неравенство (DVI) — это динамическая система , которая включает в себя обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационные неравенства или проблемы дополнительности .

DVI полезны для представления моделей, включающих как динамические ограничения, так и ограничения неравенства . Примеры таких задач включают, например, проблемы механического воздействия, электрические цепи с идеальными диодами , задачи кулоновского трения для контактирующих тел, а также динамические экономические и связанные с ними проблемы, такие как динамические сети дорожного движения и сети очередей (где ограничения могут быть либо верхними пределами, либо от длины очереди или что длина очереди не может стать отрицательной). DVI связаны с рядом других концепций, включая дифференциальные включения , прогнозируемые динамические системы , эволюционные неравенства и параболические вариационные неравенства .

Дифференциальные вариационные неравенства были впервые формально введены Пангом и Стюартом , определение которых не следует путать с дифференциальным вариационным неравенством, используемым Обином и Целлиной (1984).

Дифференциальные вариационные неравенства имеют вид, позволяющий найти $u(t)\in K$ такой, что

$\langle v-u(t),F(t,x(t),u(t))\rangle \geq 0$

для каждого $v\in K$ и почти все т ; K — замкнутое выпуклое множество, где

${\frac {dx}{dt}}=f(t,x(t),u(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}.$

С DVI тесно связаны проблемы динамической/дифференциальной дополнительности: если K — замкнутый выпуклый конус, то вариационное неравенство эквивалентно проблеме дополнительности :

$K\ni u(t)\quad \perp \quad F(t,x(t),u(t))\in K^{*}.$

Примеры

Механический контакт

Рассмотрим твердый шар радиуса $r$ падение с высоты на стол. Предположим, что силы, действующие на шар, — это гравитация и контактные силы стола, препятствующие проникновению. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее движение, имеет вид

$m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-mg+N(t)$

где $m$ это масса шара и $N(t)$ - контактная сила стола, а $g$ это гравитационное ускорение. Обратите внимание, что оба $y(t)$ и $N(t)$ неизвестны априори . Пока мяч и стол разделены, контактная сила отсутствует. Пробития быть не может (для жесткого шара и жесткого стола), поэтому $y(t)-r\geq 0$ для всех $t$. Если $y(t)-r>0$ затем $N(t)=0$. С другой стороны, если $y(t)-r=0$, затем $N(t)$ может принимать любое неотрицательное значение. (Мы не разрешаем $N(t)<0$ поскольку это соответствует некоторому типу клея.) Это можно резюмировать соотношением дополнительности

$0\leq y(t)-r\quad \perp \quad N(t)\geq 0.$

В приведенной выше формулировке мы можем положить $K=\{\,z\mid z\geq 0\,\}$, так что его двойной конус $K^{*}=K$ также является набором неотрицательных действительных чисел; это проблема дифференциальной дополнительности.

Идеальные диоды в электрических цепях

Идеальный диод — это диод, который проводит электричество в прямом направлении без сопротивления, если приложено прямое напряжение, но не пропускает ток в обратном направлении. Тогда, если обратное напряжение $v(t)$, а прямой ток $i(t)$, то между ними существует взаимодополняемость:

$0\leq v(t)\quad \perp \quad i(t)\geq 0$

для всех $t$. Если диод находится в цепи, содержащей элемент памяти, например конденсатор или катушку индуктивности, то схему можно представить в виде дифференциального вариационного неравенства.

Индекс

Понятие индекса ДВИ является важным и определяет многие вопросы существования и единственности решений ДВИ. Эта концепция тесно связана с концепцией индекса дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), который представляет собой количество раз, которое алгебраические уравнения ДАУ необходимо дифференцировать, чтобы получить полную систему дифференциальных уравнений для всех переменных. Это также понятие, близкое к относительной степени теории управления, которая, грубо говоря, представляет собой количество раз, когда «выходная» переменная должна быть дифференцирована, чтобы «входная» переменная явно появлялась в теории управления. Это используется для получения каноническая форма пространства состояний, которая включает в себя так называемую «нулевую динамику», фундаментальную концепцию управления). Для DVI индекс — это количество дифференцирований F ( t , x , u ) = 0, необходимых для локальной однозначной идентификации u как функции t и x .

Этот индекс можно рассчитать для приведенных выше примеров. Для примера механического воздействия, если мы дифференцируем $y(t)$ как только у нас будет $dy/dt(t)$, что еще явно не предполагает $N(t)$. Однако, если мы продифференцируем еще раз, мы можем использовать дифференциальное уравнение, чтобы получить $d^{2}y/dt^{2}=(1/m)[-mg+N(t)]$, что явно включает в себя $N(t)$. Кроме того, если $d^{2}y/dt^{2}=b(t)$, мы можем явно определить $N(t)$ с точки зрения $b(t)$.

Для идеальных диодных систем вычисления значительно сложнее, но при соблюдении некоторых общезначимых условий можно показать, что дифференциальное вариационное неравенство имеет индекс один.

Дифференциальные вариационные неравенства с индексом больше двух, как правило, не имеют смысла, но определенные условия и интерпретации могут сделать их значимыми (см. ссылки Акари, Брольято и Гулевена, а также Хемелса, Шумахера и Вейланда ниже). Одним из важнейших шагов является определение подходящего пространства решений (распределения Шварца).

Ссылки

• Панг и Стюарт (2008) « Дифференциальные вариационные неравенства », Математическое программирование, том. 113, нет. 2, серия А, 345–424.
• Обен и Челлина (1984) Дифференциальные включения Springer-Verlag.
• Акари, Брольято и Голевен (2006) « Процесс развертки Моро высшего порядка. Математическая формулировка и числовая формулировка », Mathematical Programming A, 113, 133–217, 2008.
• Ави Мандельбаум (1989) «Проблемы динамической дополнительности», неопубликованная рукопись.
• Химелс, Шумахер и Вейланд (2000) « Системы линейной дополнительности », SIAM Journal on Applied Mathematics, vol. 60, нет. 4, 1234–1269.