Дифференциальное вариационное неравенство
Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( июнь 2020 г. ) |
В математике дифференциальное вариационное неравенство (DVI) — это динамическая система , которая включает в себя обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационные неравенства или проблемы дополнительности .
DVI полезны для представления моделей, включающих как динамические ограничения, так и ограничения неравенства . Примеры таких задач включают, например, проблемы механического воздействия, электрические цепи с идеальными диодами , задачи кулоновского трения для контактирующих тел, а также динамические экономические и связанные с ними проблемы, такие как динамические сети дорожного движения и сети очередей (где ограничения могут быть либо верхними пределами, либо от длины очереди или что длина очереди не может стать отрицательной). DVI связаны с рядом других концепций, включая дифференциальные включения , прогнозируемые динамические системы , эволюционные неравенства и параболические вариационные неравенства .
Дифференциальные вариационные неравенства были впервые формально введены Пангом и Стюартом , определение которых не следует путать с дифференциальным вариационным неравенством, используемым Обином и Целлиной (1984).
Дифференциальные вариационные неравенства имеют вид, позволяющий найти такой, что
для каждого и почти все т ; K — замкнутое выпуклое множество, где
С DVI тесно связаны проблемы динамической/дифференциальной дополнительности: если K — замкнутый выпуклый конус, то вариационное неравенство эквивалентно проблеме дополнительности :
Примеры
[ редактировать ]Механический контакт
[ редактировать ]Рассмотрим твердый шар радиуса падение с высоты на стол. Предположим, что силы, действующие на шар, — это гравитация и контактные силы стола, препятствующие проникновению. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее движение, имеет вид
где это масса шара и - контактная сила стола, а это гравитационное ускорение. Обратите внимание, что оба и неизвестны априори . Пока мяч и стол разделены, контактная сила отсутствует. Пробития быть не может (для жесткого шара и жесткого стола), поэтому для всех . Если затем . С другой стороны, если , затем может принимать любое неотрицательное значение. (Мы не разрешаем поскольку это соответствует некоторому типу клея.) Это можно резюмировать соотношением дополнительности
В приведенной выше формулировке мы можем положить , так что его двойной конус также является набором неотрицательных действительных чисел; это проблема дифференциальной дополнительности.
Идеальные диоды в электрических цепях
[ редактировать ]Идеальный диод — это диод, который проводит электричество в прямом направлении без сопротивления, если приложено прямое напряжение, но не пропускает ток в обратном направлении. Тогда, если обратное напряжение , а прямой ток , то между ними существует взаимодополняемость:
для всех . Если диод находится в цепи, содержащей элемент памяти, например конденсатор или катушку индуктивности, то схему можно представить в виде дифференциального вариационного неравенства.
Индекс
[ редактировать ]Понятие индекса ДВИ является важным и определяет многие вопросы существования и единственности решений ДВИ. Эта концепция тесно связана с концепцией индекса дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), который представляет собой количество раз, которое алгебраические уравнения ДАУ необходимо дифференцировать, чтобы получить полную систему дифференциальных уравнений для всех переменных. Это также понятие, близкое к относительной степени теории управления, которая, грубо говоря, представляет собой количество раз, когда «выходная» переменная должна быть дифференцирована, чтобы «входная» переменная явно появлялась в теории управления. Это используется для получения каноническая форма пространства состояний, которая включает в себя так называемую «нулевую динамику», фундаментальную концепцию управления). Для DVI индекс — это количество дифференцирований F ( t , x , u ) = 0, необходимых для локальной однозначной идентификации u как функции t и x .
Этот индекс можно рассчитать для приведенных выше примеров. Для примера механического воздействия, если мы дифференцируем как только у нас будет , что еще явно не предполагает . Однако, если мы продифференцируем еще раз, мы можем использовать дифференциальное уравнение, чтобы получить , что явно включает в себя . Кроме того, если , мы можем явно определить с точки зрения .
Для идеальных диодных систем вычисления значительно сложнее, но при соблюдении некоторых общезначимых условий можно показать, что дифференциальное вариационное неравенство имеет индекс один.
Дифференциальные вариационные неравенства с индексом больше двух, как правило, не имеют смысла, но определенные условия и интерпретации могут сделать их значимыми (см. ссылки Акари, Брольято и Гулевена, а также Хемелса, Шумахера и Вейланда ниже). Одним из важнейших шагов является определение подходящего пространства решений (распределения Шварца).
Ссылки
[ редактировать ]- Панг и Стюарт (2008) « Дифференциальные вариационные неравенства », Математическое программирование, том. 113, нет. 2, серия А, 345–424.
- Обен и Челлина (1984) Дифференциальные включения Springer-Verlag.
- Акари, Брольято и Голевен (2006) « Процесс развертки Моро высшего порядка. Математическая формулировка и числовая формулировка », Mathematical Programming A, 113, 133–217, 2008.
- Ави Мандельбаум (1989) «Проблемы динамической дополнительности», неопубликованная рукопись.
- Химелс, Шумахер и Вейланд (2000) « Системы линейной дополнительности », SIAM Journal on Applied Mathematics, vol. 60, нет. 4, 1234–1269.