Проектируемая динамическая система

Проектируемые динамические системы — это математическая теория, исследующая поведение динамических систем , решения которых ограничены набором ограничений. Эта дисциплина имеет общие связи и приложения как со статическим миром задач оптимизации и равновесия , так и с динамическим миром обыкновенных дифференциальных уравнений . Проектируемая динамическая система задается потоком к проектируемому дифференциальному уравнению

${\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x(t),-F(x(t)))$

где K — наш набор ограничений. Дифференциальные уравнения такого вида отличаются наличием разрывного векторного поля.

История проектируемых динамических систем

Проектируемые динамические системы возникли из-за желания динамически моделировать поведение нестатических решений в задачах равновесия по некоторому параметру, которым обычно является время. Эта динамика отличается от динамики обычных дифференциальных уравнений тем, что решения по-прежнему ограничены любым набором ограничений, над которым работала основная проблема равновесия, например, неотрицательность инвестиций в финансовое моделирование, выпуклых многогранников наборы в исследовании операций и т. д. Один особенно важный класс равновесия Проблемой, которая способствовала появлению прогнозируемых динамических систем, была проблема вариационных неравенств .

Формализация проектируемых динамических систем началась в 1990-х годах в разделе 5.3 статьи Дюпюи и Исии. Однако аналогичные концепции можно найти в математической литературе, предшествовавшей этому, особенно в связи с вариационными неравенствами и дифференциальными включениями.

Проекции и конусы

Любое решение нашего прогнозируемого дифференциального уравнения должно оставаться внутри нашего набора ограничений K. всегда Этот желаемый результат достигается за счет использования операторов проектирования и двух особо важных классов выпуклых конусов . Здесь мы возьмем K в качестве замкнутого выпуклого подмножества некоторого пространства X. гильбертова

Нормальный конус множества K в точке x в K определяется выражением

$N_{K}(x)=\{p\in V|\langle p,x-x^{*}\rangle \geq 0,\forall x^{*}\in K\}.$

Касательный конус (или контингентный конус ) к множеству K в точке x определяется выражением

$T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\frac {1}{h}}(K-x)}}.$

Оператор проекции (или отображение ближайшего элемента ) точки x из X в K задается точкой $P_{K}(x)$ в K такой, что

$\|x-P_{K}(x)\|\leq \|x-y\|$

для каждого y в K .

Оператор векторного проектирования вектора v в X в точке x в K определяется выражением

$\Pi _{K}(x,v)=\lim _{\delta \to 0^{+}}{\frac {P_{K}(x+\delta v)-x}{\delta }}.$

Это просто производная Гато, вычисленная в направлении векторного поля.

Прогнозируемые дифференциальные уравнения

Учитывая замкнутое выпуклое подмножество K гильбертова пространства X и векторное поле -F , которое переводит элементы из K в X , проецируемое дифференциальное уравнение, связанное с K и -F, определяется как

${\frac {dx(t)}{dt}}=\Pi _{K}(x(t),-F(x(t))).$

Внутри решения ведут себя так же , K . как если бы система была обыкновенным дифференциальным уравнением без ограничений Однако, поскольку векторное поле разрывно по границе множества, проектированные дифференциальные уравнения относятся к классу разрывных обыкновенных дифференциальных уравнений. Хотя это делает большую часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений неприменимой, известно, что, когда -F является липшицевым непрерывным векторным полем, единственное абсолютно непрерывное решение существует через каждую начальную точку x(0)=x0 _в K на интервале $[0,\infty )$.

Это дифференциальное уравнение можно альтернативно охарактеризовать как

${\frac {dx(t)}{dt}}=P_{T_{K}(x(t))}(-F(x(t)))$

или

${\frac {dx(t)}{dt}}=-F(x(t))-P_{N_{K}(x(t))}(-F(x(t))).$

Условность обозначения векторного поля -F отрицательным знаком обусловлена ​​особой связью проектируемых динамических систем с вариационными неравенствами. В литературе принято называть векторное поле положительным в вариационном неравенстве и отрицательным в соответствующей проектируемой динамической системе.

См. также

• Дифференциальное вариационное неравенство
• Теория динамических систем
• Обыкновенное дифференциальное уравнение
• Вариационное неравенство
• Дифференциальное включение
• Теория дополнительности

Ссылки

• Генри, К., «Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью для процедур планирования», J. Econom. Теория , 4:545-551, 1972.
• Генри К., «Теорема существования класса дифференциальных уравнений с многозначной правой частью», J. Math. Анальный. Прил. , 41:179-186, 1973.
• Обен Дж. П. и Челлина А. Дифференциальные включения , Springer-Verlag, Берлин (1984).
• Дюпюи П. и Исии Х. О липшицевой непрерывности отображения решения задачи Скорохода с приложениями , Stochastics and Stochastics Reports, 35, 31-62 (1991).
• Нагурни А. и Чжан Д. Проецируемые динамические системы и вариационные неравенства с приложениями , Kluwer Academic Publishers (1996).
• Кожокару М. и Йонкер Л. Существование решений проектируемых дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах , Proc. амер. Математика. Соц., 132(1), 183-193 (2004).
• Брольято Б., Данилидис А., Лемарешаль К. и Акари В., «Об эквивалентности между системами дополнительности, проецируемыми системами и дифференциальными включениями», Systems and Control Letters , том 55, стр. 45 -51 (2006)