Вариационное неравенство

В математике вариационное неравенство — это неравенство , содержащее функционал , который необходимо решить для всех возможных значений данной переменной , принадлежащей обычно выпуклому множеству . Математическая энергии теория вариационных неравенств изначально была разработана для решения задач равновесия , а именно проблемы Синьорини : в этой модельной задаче задействованный функционал был получен как первая вариация задействованной потенциальной . Поэтому она имеет вариационное происхождение , напоминающее название общей абстрактной задачи. С тех пор сфера применения теории была расширена и теперь включает проблемы экономики , финансов , оптимизации и теории игр .

История

Первой проблемой, связанной с вариационным неравенством, была проблема Синьорини , поставленная Антонио Синьорини в 1959 году и решенная Гаэтано Фичерой в 1963 году, согласно ссылкам ( Antman 1983 , стр. 282–284) и ( Fichera 1995 ): первые статьи теории были ( Fichera 1963 ) и ( Fichera 1964a ), ( Fichera 1964b ). Позже Гвидо Стампаккья доказал свое обобщение теоремы Лакса-Милграма в ( Stampacchia 1964 ) для изучения проблемы регулярности в уравнений частных производных и придумал название «вариационное неравенство» для всех проблем, связанных с неравенствами такого типа. Жорж Дюво призвал своих аспирантов изучать и расширять работу Фичеры после посещения конференции в Бриксене в 1965 году, где Фишера представил свое исследование проблемы Синьорини, как Antman 1983 , p. 283 доклада: таким образом теория стала широко известна по всей Франции . Также в 1965 году Стампаккья и Жак-Луи Лионс расширили более ранние результаты ( Стампаккья, 1964 ), объявив их в статье ( Lions & Stampacchia 1965 ): полные доказательства их результатов появились позже в статье ( Lions & Stampacchia 1967 ).

Определение

Следуя Антману (1983 , стр. 283), определение вариационного неравенства следующее.

Определение 1. Учитывая банахово пространство ${\boldsymbol {E}}$, подмножество ${\boldsymbol {K}}$ из ${\boldsymbol {E}}$и функционал $F\colon {\boldsymbol {K}}\to {\boldsymbol {E}}^{\ast }$ от ${\boldsymbol {K}}$ в двойное пространство ${\boldsymbol {E}}^{\ast }$ пространства ${\boldsymbol {E}}$, проблема вариационного неравенства это проблема решения для переменной $x$ принадлежащий ${\boldsymbol {K}}$ следующее неравенство :

$\langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in {\boldsymbol {K}}$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon {\boldsymbol {E}}^{\ast }\times {\boldsymbol {E}}\to \mathbb {R}$ это пара двойственности .

проблема вариационного неравенства может быть сформулирована в любом конечно- или бесконечномерном В общем , банаховом пространстве . Тремя очевидными шагами в изучении проблемы являются следующие:

1. Докажите существование решения: этот шаг подразумевает математическую корректность задачи, показывая, что по крайней мере решение существует.
2. Докажите единственность данного решения: этот шаг подразумевает физическую корректность задачи, показывая, что решение можно использовать для представления физического явления. Это особенно важный шаг, поскольку большинство проблем, моделируемых вариационными неравенствами, имеют физическое происхождение.
3. Найдите решение или докажите его регулярность.

Примеры

Задача нахождения минимального значения вещественной функции действительной переменной

Это стандартный пример проблемы, о которой сообщил Антман (1983 , стр. 283): рассмотрим задачу нахождения минимального значения . дифференцируемой функции $f$ в течение закрытого интервала $I=[a,b]$. Позволять $x^{\ast }$ быть точкой в $I$ где встречается минимум. Могут возникнуть три случая:

1. если $a<x^{\ast }<b,$ затем $f^{\prime }(x^{\ast })=0;$
2. если $x^{\ast }=a,$ затем $f^{\prime }(x^{\ast })\geq 0;$
3. если $x^{\ast }=b,$ затем $f^{\prime }(x^{\ast })\leq 0.$

Эти необходимые условия можно резюмировать как проблему нахождения $x^{\ast }\in I$ такой, что

$f^{\prime }(x^{\ast })(y-x^{\ast })\geq 0\quad$ для $\quad \forall y\in I.$

Абсолютный минимум необходимо искать между решениями (если их больше одного) предыдущего неравенства : обратите внимание, что решение является действительным числом , следовательно, это конечномерное вариационное неравенство.

конечномерное

Формулировка общей проблемы в $\mathbb {R} ^{n}$ заключается в следующем: учитывая подмножество $K$ из $\mathbb {R} ^{n}$ и отображение $F\colon K\to \mathbb {R} ^{n}$, конечномерная , проблема вариационного неравенства связанная с $K$ заключаются в поиске $n$-мерный вектор $x$ принадлежащий $K$ такой, что

$\langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in K$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ стандартное скалярное произведение в векторном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$.

задачи Синьорини

Классическая задача Синьорини : какова будет равновесная конфигурация оранжевого упругого тела сферической формы, покоящегося на синей жесткой без трения плоскости ?

В историческом обзоре ( Fichera 1995 ) Гаэтано Фичера описывает происхождение своего решения проблемы Синьорини : проблема заключалась в нахождении упругой равновесной конфигурации. ${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)$ анизотропного , неоднородного упругого тела лежащего в подмножестве $A$ трехмерного , евклидова пространства которого граница равна $\partial A$, покоящееся на твердой без трения поверхности и подчиняющееся только ее массовым силам . Решение $u$ задачи существует и единственна (при точных предположениях) на множестве перемещений допустимых ${\mathcal {U}}_{\Sigma }$ т.е. набор векторов перемещений, удовлетворяющих системе неоднозначных граничных условий , тогда и только тогда, когда

$B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})-F({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }$

где $B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})$ и $F({\boldsymbol {v}})$ это следующие функционалы , записано с использованием обозначений Эйнштейна

$B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\,\mathrm {d} x$,    $F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\,\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\,\mathrm {d} \sigma$,    ${\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }$

где для всех ${\boldsymbol {x}}\in A$,

• $\Sigma$ — это контактная поверхность контактов (или, в более общем смысле, набор ),
• ${\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)$ - это объемная сила, приложенная к телу,
• ${\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)$ поверхностная сила, приложенная к $\partial A\!\setminus \!\Sigma$,
• ${\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)$ – тензор бесконечно малых деформаций ,
• ${\boldsymbol {\sigma }}=\left(\sigma _{ik}\right)$ – тензор напряжений Коши , определяемый как

$\sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad \forall i,k=1,2,3$

где $W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}$ – упругая потенциальная энергия и ${\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\right)$ – тензор упругости .

См. также

• Теория дополнительности
• Дифференциальное вариационное неравенство
• Расширенное математическое программирование для задач равновесия
• Математическое программирование с равновесными ограничениями
• Проблема с препятствиями
• Проектируемая динамическая система
• Джентльмены, проблема
• Односторонний контакт

Ссылки

Исторические справки

• Антман, Стюарт (1983), «Влияние эластичности в анализе: современные разработки», Бюллетень Американского математического общества , 9 (3): 267–291, doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15185-6 , MR   0714990 , Збл   0533.73001 . Историческая статья о плодотворном взаимодействии теории упругости и математического анализа теории вариационных неравенств : создании Гаэтано Фичерой описана в §5, страницы 282–284.
• Дюво, Жорж (1971), «Односторонние проблемы в механике сплошных сред» , Труды Международного конгресса математиков, 1970 , ICM Proceedings , vol. Прикладная математика (E), история и преподавание (F) – Том 3, Париж : Готье-Виллар , стр. 71–78, заархивировано из оригинала (PDF) 25 июля 2015 г. , получено 25 июля 2015 г. Краткий исследовательский обзор, описывающий область вариационных неравенств, а именно подобласть задач механики сплошной среды с односторонними ограничениями.
• Фичера, Гаэтано (1995), «Рождение теории вариационных неравенств, вспоминаемое спустя тридцать лет», итало-испанское научное собрание. Рим, 21 октября 1993 г. , Proceedings of the Lincei Conferences (на итальянском языке), vol. 114, Рим : Национальная академия Линчеи , стр. 47–53 . «Рождение теории вариационных неравенств, вспоминаемое тридцать лет спустя » (английский перевод названия), представляет собой историческую статью, описывающую зарождение теории вариационных неравенств с точки зрения ее основателя.

Научные работы

• Факкиней, Франциско; Панг, Чон-Ши (2003), Конечномерные вариационные неравенства и проблемы дополнительности, Vol. 1 , Серия Springer по исследованию операций, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN  0-387-95580-1 , Збл   1062,90001
• Факкиней, Франциско; Панг, Чон-Ши (2003), Конечномерные вариационные неравенства и проблемы дополнительности, Vol. 2 , Серия Springer по исследованию операций, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN  0-387-95581-Х , Збл   1062,90001
• Фичера, Гаэтано (1963), «Об упругостатической задаче Синьорини с неоднозначными граничными условиями» , Отчеты Национальной академии Линчеи, Класс физических, математических и естественных наук , 8 (на итальянском языке), 34 (2): 138– 142, МР   0176661 , Збл   0128.18305 . Краткая исследовательская заметка, анонсирующая и описывающая (без доказательств) решение проблемы Синьорини.
• Фичера, Гаэтано (1964a), «Эластостатические задачи с односторонними ограничениями: проблема Синьорини с неоднозначными граничными условиями», Мемуары Национальной академии наук Линчеи, Класс наук Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (на итальянском языке), 7 (2) : 91–140, Збл   0146.21204 . Первая статья, в которой доказана теорема существования и единственности задачи Синьорини.
• Фичера, Гаэтано (1964b), «Эластостатические задачи с односторонними ограничениями: проблема Синьорини с неоднозначными граничными условиями», Seminari dell'Istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Рим : Edizioni Cremonese, стр. 613–679 . Английский перевод ( Fichera 1964a ).
• Гловински, Роланд ; Львы, Жак-Луи ; Тремольер, Раймон (1981), Численный анализ вариационных неравенств. Перевод с французского , Исследования по математике и ее приложениям, т. 1, с. 8, Амстердам – Нью-Йорк – Оксфорд : Северная Голландия , стр. xxix+776, ISBN  0-444-86199-8 , МР   0635927 , Збл   0463.65046
• Киндерлерер, Дэвид ; Стампаккья, Гвидо (1980), Введение в вариационные неравенства и их приложения , Чистая и прикладная математика, том. 88, Бостон – Лондон – Нью-Йорк – Сан-Диего – Сидней – Токио – Торонто : Academic Press , ISBN  0-89871-466-4 , Збл   0457.35001 .
• Львы, Жак-Луи ; Стампаккья, Гвидо (1965), «Непринудительные вариационные неравенства» , Еженедельные отчеты сессий Академии наук , 261 : 25–27, Zbl   0136.11906 , доступно в Gallica . Объявления о результатах статьи ( Lions & Stampacchia, 1967 ).
• Львы, Жак-Луи ; Стампаккья, Гвидо (1967), «Вариационные неравенства» , Communications on Pure and Applied Mathematics , 20 (3): 493–519, doi : 10.1002/cpa.3160200302 , Zbl   0152.34601 , заархивировано из оригинала 05 января 2013 г. Важная статья, описывающая абстрактный подход авторов к теории вариационных неравенств.
• Рубичек, Томаш (2013), Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных с приложениями , ISNM. Международная серия по числовой математике, том. 153 (2-е изд.), Базель-Бостон-Берлин: Birkhäuser Verlag , стр. xx+476, doi : 10.1007/978-3-0348-0513-1 , ISBN  978-3-0348-0512-4 , МР   3014456 , Збл   1270.35005 .
• Стампаккья, Гвидо (1964), «Принудительные билинейные формы на выпуклых множествах» , Еженедельные отчеты сессий Академии наук , 258 : 4413–4416, Zbl   0124.06401 , доступно в Gallica . Статья, содержащая обобщение Стампаккья теоремы Лакса – Милгрэма .

Внешние ссылки

• Панагиотопулос, П.Д. (2001) [1994], «Вариационные неравенства» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Алессио Фигалли, О глобальных однородных решениях проблемы Синьорини ,