Эластичная энергия

Упругая энергия — это механическая потенциальная энергия, запасенная в конфигурации материала или физической системы, поскольку она подвергается упругой деформации в результате работы выполняемой над ней . Упругая энергия возникает, когда объекты непостоянно сжимаются, растягиваются или вообще деформируются каким-либо образом. Теория упругости развивает прежде всего формализмы механики твёрдых тел и материалов. (Однако обратите внимание, что работа, совершаемая растянутой резиновой лентой, не является примером упругой энергии. Это пример энтропийной упругости .) Уравнение упругой потенциальной энергии используется в расчетах положений механического равновесия . Энергия является потенциальной, поскольку она будет преобразована в другие формы энергии, такие как кинетическая энергия и звуковая энергия , когда объекту будет позволено вернуться к своей первоначальной форме (преобразованию) за счет его упругости .

$$U={\frac {1}{2}}k\,\Delta x^{2}$$

Сущность эластичности – обратимость. Силы, приложенные к упругому материалу, передают энергию материалу, который, передав эту энергию окружающей среде, может восстановить свою первоначальную форму. Однако все материалы имеют пределы степени искажений, которые они могут выдержать, не нарушая или необратимо изменяя свою внутреннюю структуру. Следовательно, характеристики твердых материалов включают определение пределов упругости, обычно в терминах деформаций. За пределом упругости материал больше не сохраняет всю энергию механической работы, выполняемой над ним, в форме упругой энергии.

Упругая энергия вещества или внутри него — это статическая энергия конфигурации. Это соответствует энергии, запасаемой главным образом за счет изменения межатомных расстояний между ядрами. Тепловая энергия — это хаотичное распределение кинетической энергии внутри материала, приводящее к статистическим колебаниям материала относительно равновесной конфигурации. Однако некоторое взаимодействие существует. Например, для некоторых твердых объектов скручивание, изгиб и другие деформации могут генерировать тепловую энергию, вызывая повышение температуры материала. Тепловая энергия в твердых телах часто переносится внутренними упругими волнами, называемыми фононами . Упругие волны, большие по масштабам изолированного объекта, обычно вызывают макроскопические колебания.Хотя эластичность чаще всего связана с механикой твердых тел или материалов, даже в ранней литературе по классической термодинамике «упругость жидкости» определяется и используется способами, совместимыми с широким определением, данным во введении выше.

Твердые тела включают сложные кристаллические материалы с иногда сложным поведением. Напротив, поведение сжимаемых жидкостей, и особенно газов, демонстрирует сущность упругой энергии с незначительным усложнением. Простая термодинамическая формула: $dU=-P\,dV\ ,$ где dU — бесконечно малое изменение восстанавливаемой внутренней энергии U , P — однородное давление (сила на единицу площади), приложенное к интересующему образцу материала, а dV — бесконечно малое изменение объема, соответствующее изменению внутренней энергии. Знак минус появляется потому, что dV отрицательно при сжатии положительным приложенным давлением, которое также увеличивает внутреннюю энергию. При обращении работа, совершаемая системой , равна отрицательному изменению ее внутренней энергии, соответствующему положительному dV возрастающего объема. Другими словами, система теряет запасенную внутреннюю энергию при совершении работы над окружающей средой. Давление — это напряжение, а изменение объема соответствует изменению относительного расстояния между точками внутри материала. Соотношение напряжения-деформации-внутренней энергии приведенной выше формулы повторяется в формулировках для упругой энергии твердых материалов со сложной кристаллической структурой.

Упругая потенциальная энергия в механических системах

Компоненты механических систем сохраняют упругую потенциальную энергию , если они деформируются под действием сил, приложенных к системе. Энергия передается объекту посредством работы , когда внешняя сила смещает или деформирует объект. Количество передаваемой энергии представляет собой векторное скалярное произведение силы и смещения объекта. Когда к системе прикладывают силы, они распределяются внутри ее составных частей. Хотя некоторая часть переданной энергии может в конечном итоге сохраниться в виде кинетической энергии приобретённой скорости, деформация составных объектов приводит к накоплению упругой энергии.

Прототипом упругого компонента является спиральная пружина. Линейные упругие характеристики пружины параметризуются константой пропорциональности, называемой жесткостью пружины. Эта константа обычно обозначается как k (см. также Закон Гука ) и зависит от геометрии, площади поперечного сечения, недеформированной длины и природы материала, из которого изготовлена ​​катушка. В определенном диапазоне деформации k остается постоянным и определяется как отрицательное отношение смещения к величине возвращающей силы, создаваемой пружиной при этом смещении.

$$k=-{\frac {F_{r}}{L-L_{o}}}$$

Деформированная длина L может быть больше или меньше L _o , недеформированной длины, поэтому, чтобы k оставалось положительным, F _r должен быть задан как векторная составляющая восстанавливающей силы, знак которой отрицательный для L > L _o и положительный для Л < Л _о . Если перемещение сокращенно обозначать $$L-L_{o}=x,$$ то закон Гука можно записать в обычном виде $$F_{r}=-k\,x.$$

Энергия, поглощенная и удерживаемая пружиной, может быть получена с использованием закона Гука для расчета восстанавливающей силы как меры приложенной силы. Для этого необходимо предположение, достаточно правильное в большинстве случаев, о том, что в данный момент величина приложенной силы.

Для каждого бесконечно малого смещения dx приложенная сила равна просто kx , а произведением этих усилий является бесконечно малая передача энергии пружине dU . Таким образом, полная упругая энергия, вложенная в пружину от нулевого смещения до конечной длины L, представляет собой интеграл $$U=\int _{0}^{L-L_{o}}k\,x\,dx={\tfrac {1}{2}}k(L-L_{o})^{2}$$

Для материала с модулем Юнга Y (такой же, как модуль упругости λ ), площадью поперечного сечения A ₀ , начальной длиной l ₀ , растянутой на длину, $\Delta l$: $$U_{e}=\int {\frac {YA_{0}\Delta l}{l_{0}}}\,d\left(\Delta l\right)={\frac {YA_{0}{\Delta l}^{2}}{2l_{0}}}$$ где U _e – упругая потенциальная энергия.

Упругая потенциальная энергия на единицу объема определяется выражением: $${\frac {U_{e}}{A_{0}l_{0}}}={\frac {Y{\Delta l}^{2}}{2l_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}Y{\varepsilon }^{2}$$где $\varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}$ это деформация материала.

В общем случае упругая энергия определяется свободной энергией единицы объема f в зависимости от тензора деформаций компонент ε _ij $$f(\varepsilon _{ij})={\frac {1}{2}}\lambda \varepsilon _{ii}^{2}+\mu \varepsilon _{ij}^{2}$$где λ и µ — коэффициенты упругости Ламе, и мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании . Отмечая термодинамическую связь между компонентами тензора напряжений и компонентами тензора деформаций, $$\sigma _{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \varepsilon _{ij}}}\right)_{T},$$где нижний индекс T означает, что температура поддерживается постоянной, то мы обнаруживаем, что если закон Гука справедлив, мы можем записать плотность упругой энергии как $$f={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ij}\sigma _{ij}.$$

Системы континуума

Массивная материя может деформироваться разными способами: растягиваться, сдвигаться, изгибаться, скручиваться и т. д. Каждый вид искажения вносит свой вклад в упругую энергию деформируемого материала. Таким образом, в ортогональных координатах упругая энергия единицы объема, обусловленная деформацией, представляет собой сумму вкладов: $$U={\frac {1}{2}}C_{ijkl}\varepsilon _{ij}\varepsilon _{kl},$$где $C_{ijkl}$ — тензор 4-го ранга , называемый тензором упругости или тензором жесткости. которое является обобщением модулей упругости механических систем, и $\varepsilon _{ij}$ - тензор деформации ( обозначение суммирования Эйнштейна использовалось для обозначения суммирования по повторяющимся индексам). Значения $C_{ijkl}$ зависят от кристаллической структуры материала: в общем случае из-за симметричной природы $\sigma$ и $\varepsilon$тензор упругости состоит из 21 независимого коэффициента упругости. Это число можно еще уменьшить за счет симметрии материала: 9 для ромбического кристалла, 5 для гексагональной структуры и 3 для кубической симметрии. Наконец, для изотропного материала существует только два независимых параметра: $C_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)$, где $\lambda$ и $\mu$ – константы Ламе , а $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

Сам тензор деформации можно определить так, чтобы он отражал искажение любым способом, который приводит к инвариантности относительно полного вращения, но наиболее распространенное определение, в отношении которого обычно выражаются тензоры упругости, определяет деформацию как симметричную часть градиента смещения со всеми нелинейными членами. подавлено: $$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)$$где $u_{i}$ это перемещение в какой-то точке $i$-е направление и $\partial _{j}$ является частной производной в $j$-ое направление. Обратите внимание, что: $$\varepsilon _{jj}=\partial _{j}u_{j}$$где суммирование не предусмотрено. Хотя полные обозначения Эйнштейна суммируют по повышенным и пониженным парам индексов, значения компонентов тензора упругости и деформации обычно выражаются со всеми пониженными индексами. Таким образом, помните (как здесь), что в некоторых контекстах повторяющийся индекс не подразумевает превышение суммы этого индекса ( $j$ в данном случае), а всего лишь один компонент тензора.

См. также

• Заводной механизм
• Эластичность резины

Источники

• Эшелби, доктор юридических наук (ноябрь 1975 г.). «Тензор упругой энергии-импульса». Журнал эластичности . 5 (3–4): 321–335. дои : 10.1007/BF00126994 . S2CID   121320629 .