Энергетическое состояние

В релятивистских классических теориях гравитации в , особенно общей теории относительности , условие энергии является обобщением утверждения «плотность энергии области пространства не может быть отрицательной» в релятивистской математической формулировке. Существует множество возможных альтернативных способов выразить такое условие, которые можно применить к содержанию теории. Тогда есть надежда, что любая разумная теория материи будет удовлетворять этому условию или, по крайней мере, сохранит это условие, если ему удовлетворяют начальные условия.

Энергетические условия не являются физическими ограничениями как таковыми , а скорее математически налагаемыми граничными условиями, которые пытаются уловить убеждение, что «энергия должна быть положительной». Известно, что многие энергетические условия не соответствуют физической реальности — например, хорошо известно, что наблюдаемые эффекты темной энергии нарушают условие сильной энергии.

В общей теории относительности энергетические условия часто используются (и требуются) в доказательствах различных важных теорем о черных дырах, таких как теорема об отсутствии волос или законы термодинамики черных дыр .

Мотивация

В общей теории относительности и родственных теориях распределение массы, импульса и напряжения, обусловленное материей и любыми негравитационными полями, описывается тензором энергии-импульса (или тензором материи ). $T^{ab}$. Однако уравнение поля Эйнштейна само по себе не определяет, какие состояния материи или негравитационных полей допустимы в модели пространства-времени. Это одновременно и сильная сторона, поскольку хорошая общая теория гравитации должна быть максимально независимой от любых предположений, касающихся негравитационной физики, и слабость, поскольку без какого-либо дополнительного критерия уравнение поля Эйнштейна допускает предполагаемые решения со свойствами, которые большинство физиков считают нефизическими . то есть слишком странно, чтобы даже приблизительно напоминать что-либо в реальной вселенной.

Энергетические условия представляют собой такие критерии. Грубо говоря, они грубо описывают свойства, общие для всех (или почти всех) состояний материи и всех негравитационных полей, которые хорошо известны в физике, но при этом достаточно сильны, чтобы исключить многие нефизические «решения» уравнения поля Эйнштейна.

С математической точки зрения наиболее очевидной отличительной особенностью энергетических условий является то, что они, по сути, представляют собой ограничения на собственные значения и собственные векторы тензора материи. Более тонкая, но не менее важная особенность состоит в том, что они накладываются событийно , на уровне касательных пространств . Поэтому у них нет надежды исключить нежелательные глобальные особенности , такие как замкнутые времениподобные кривые .

наблюдаемые

Чтобы понять формулировки различных энергетических условий, необходимо знать физическую интерпретацию некоторых скалярных и векторных величин, построенных из произвольных времениподобных или нулевых векторов и тензора материи.

Во-первых, единичное времяподобное векторное поле ${\vec {X}}$можно интерпретировать как определение мировых линий некоторого семейства (возможно, неинерциальных) идеальных наблюдателей. Тогда скалярное поле

$\rho =T_{ab}X^{a}X^{b}$

можно интерпретировать как полную массы-энергии плотность (материи плюс энергия поля любых негравитационных полей), измеряемую наблюдателем из нашей семьи (при каждом событии на его мировой линии). Аналогично векторное поле с компонентами $-{T^{a}}_{b}X^{b}$ представляет (после проекции) импульс, измеренный нашими наблюдателями.

Во-вторых, учитывая произвольное нулевое векторное поле ${\vec {k}},$ скалярное поле

$\nu =T_{ab}k^{a}k^{b}$

можно рассматривать как своего рода предельный случай плотности массы-энергии.

В-третьих, в случае общей теории относительности для произвольного времениподобного векторного поля ${\vec {X}}$, снова интерпретируемый как описание движения семейства идеальных наблюдателей, скаляр Райчаудхури представляет собой скалярное поле, полученное путем взятия следа приливного тензора , соответствующего этим наблюдателям в каждом событии:

${E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}=R_{ab}X^{a}X^{b}$

Эта величина играет решающую роль в уравнении Райчаудхури . Тогда из уравнения поля Эйнштейна сразу получаем

${\frac {1}{8\pi }}{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}={\frac {1}{8\pi }}R_{ab}X^{a}X^{b}=\left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b},$

где $T={T^{m}}_{m}$ — след тензора материи.

Математическое утверждение

Существует несколько широко используемых альтернативных источников энергии:

Состояние нулевой энергии

Условие нулевой энергии предполагает, что для каждого нулевого векторного поля, указывающего в будущее, ${\vec {k}}$,

$\nu =T_{ab}k^{a}k^{b}\geq 0.$

Каждый из них имеет усредненную версию, в которой отмеченные выше свойства должны сохраняться только в среднем вдоль линий тока соответствующих векторных полей. В противном случае эффект Казимира приводит к исключениям. Например, условие усредненной нулевой энергии гласит, что для каждой линии потока (интегральной кривой) $C$ нулевого векторного поля ${\vec {k}},$ мы должны иметь

$\int _{C}T_{ab}k^{a}k^{b}d\lambda \geq 0.$

Слабое энергетическое состояние

Условие слабой энергии гласит, что для любого времениподобного векторного поля ${\vec {X}},$ плотность материи, наблюдаемая соответствующими наблюдателями, всегда неотрицательна:

$\rho =T_{ab}X^{a}X^{b}\geq 0.$

Доминирующее энергетическое состояние

Условие доминирующей энергии предусматривает, что в дополнение к соблюдению условия слабой энергии для каждого направленного в будущее причинного векторного поля (времяподобного или нулевого) ${\vec {Y}},$ векторное поле $-{T^{a}}_{b}Y^{b}$должен быть причинным вектором, указывающим в будущее. То есть никогда нельзя наблюдать, чтобы масса-энергия текла быстрее света.

Сильное энергетическое состояние

Условие сильной энергии предполагает, что для любого времениподобного векторного поля ${\vec {X}}$, след приливного тензора, измеренный соответствующими наблюдателями, всегда неотрицательен:

$\left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}Tg_{ab}\right)X^{a}X^{b}\geq 0$

Существует множество классических конфигураций материи, которые нарушают условие сильной энергии, по крайней мере, с математической точки зрения. Например, скалярное поле с положительным потенциалом может нарушить это условие. Более того, наблюдения за темной энергией / космологической постоянной показывают, что условие сильной энергии не может описать нашу Вселенную, даже если усреднить ее по космологическим масштабам. Более того, оно сильно нарушается в любом космологическом инфляционном процессе (даже в том, который не обусловлен скалярным полем).

Идеальные жидкости

Влияние некоторых энергетических условий в случае идеальной жидкости

Совершенные жидкости обладают тензором материи вида

$T^{ab}=\rho u^{a}u^{b}+ph^{ab},$

где ${\vec {u}}$ – четырехскорость частиц вещества и где $h^{ab}\equiv g^{ab}+u^{a}u^{b}$- тензор проекции на элементы пространственной гиперплоскости, ортогональные четырехскорости, в каждом событии. (Обратите внимание, что эти элементы гиперплоскости не будут образовывать пространственный гиперсрез, если только скорость не является безвихревой , то есть безвихревой .) По отношению к системе отсчета , выровненной по движению частиц материи, компоненты тензора материи принимают диагональную форму

$T^{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\begin{bmatrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{bmatrix}}.$

Здесь, $\rho$ энергии плотность и $p$ это давление .

Затем энергетические условия можно переформулировать в терминах этих собственных значений:

• Условие нулевой энергии предполагает, что $\rho +p\geq 0.$
• Условие слабой энергии предполагает, что $\rho \geq 0,\;\;\rho +p\geq 0.$
• Доминирующее энергетическое условие предусматривает, что $\rho \geq |p|.$
• Условие сильной энергии предполагает, что $\rho +p\geq 0,\;\;\rho +3p\geq 0.$

Последствия этих условий показаны на рисунке справа. Обратите внимание, что некоторые из этих условий допускают отрицательное давление. Также обратите внимание, что, несмотря на названия, состояние сильной энергии не подразумевает условие слабой энергии даже в контексте идеальных жидкостей .

Неидеальные жидкости

Наконец, есть предложения по распространению энергетических условий на пространство-время, содержащее несовершенные жидкости, где второй закон термодинамики предоставляет естественную функцию Ляпунова для исследования как стабильности, так и причинности, где физическое происхождение связи между стабильностью и причинностью заключается в Связь между энтропией и информацией . Эти попытки обобщают теорему Хокинга-Эллиса о сохранении вакуума (согласно которой, если энергия может проникнуть в пустую область быстрее скорости света, то условие доминирующей энергии нарушается, и плотность энергии может стать отрицательной в некоторой системе отсчета). ) к пространствам-временям, содержащим неравновесную материю при конечной температуре и химическом потенциале.

Действительно, идея о том, что существует связь между нарушением причинности и нестабильностью жидкости, имеет долгую историю. Например, по словам У. Исраэля : «Если источник эффекта может быть задержан, система должна иметь возможность заимствовать энергию из своего основного состояния, а это подразумевает нестабильность». Можно показать, что это переформулировка теоремы Хокинга-Эллиса о сохранении вакуума при конечной температуре и химическом потенциале.

Попытки фальсификации энергетических условий

Хотя цель энергетических условий состоит в том, чтобы предоставить простые критерии, которые исключают многие нефизические ситуации, допуская при этом любую физически разумную ситуацию, на самом деле, по крайней мере, когда кто-то вводит эффективное полевое моделирование некоторых квантово-механических эффектов, некоторые возможные тензоры материи, которые известны быть физически разумными и даже реалистичными, поскольку они были экспериментально проверены , фактически не соответствуют различным энергетическим условиям. В частности, при эффекте Казимира в области между двумя проводящими пластинами, расположенными параллельно на очень малом расстоянии d , существует отрицательная плотность энергии.

$\varepsilon ={\frac {-\pi ^{2}}{720}}{\frac {\hbar }{d^{4}}}$

между пластинами. (Однако помните, что эффект Казимира является топологическим, поскольку знак энергии вакуума зависит как от геометрии, так и от топологии конфигурации. Будучи отрицательной для параллельных пластин, энергия вакуума положительна для проводящей сферы.) Однако , различные квантовые неравенства предполагают, что в таких случаях может выполняться подходящее условие усредненной энергии. В частности, условие усредненной нулевой энергии выполняется в эффекте Казимира. Действительно, для тензоров энергии-импульса, возникающих из эффективных теорий поля в пространстве-времени Минковского, условие усредненной нулевой энергии выполняется для обычных квантовых полей. Расширение этих результатов является открытой проблемой.

Условию сильной энергии подчиняется вся нормальная/ньютоновская материя, но ложный вакуум может его нарушить. Рассмотрим состояние линейного баротропного уравнения

$p=w\rho ,$

где $\rho$ – плотность энергии материи, $p$ давление материи, и $w$является константой. Тогда условие сильной энергии требует $w\geq -1/3$; но для состояния, известного как ложный вакуум, мы имеем $w=-1$.

См. также

• Конгруэнтность (общая теория относительности)
• Точные решения в общей теории относительности
• Поля кадра в общей теории относительности
• Теорема о положительной энергии
• Квантовые неравенства

Ссылки

• Хокинг, Стивен; Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-09906-4 . Энергетические условия обсуждаются в §4.3.
• Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста: математика механики черных дыр . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Бибкод : 2004rtmb.book.....P . ISBN  0-521-83091-5 . Различные энергетические условия (включая все упомянутые выше) обсуждаются в разделе 2.1 .
• Кэрролл, Шон М. (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Сан-Франциско: Аддисон-Уэсли . ISBN  0-8053-8732-3 . Различные энергетические условия обсуждаются в разделе 4.6 .
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета . ISBN  0-226-87033-2 . Общие энергетические условия обсуждаются в разделе 9.2 .
• Эллис, СКФ; Мартенс, Р.; МакКаллум, MAH (2012). Релятивистская космология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-38115-4 . Нарушения условия сильной энергии обсуждаются в разделе 6.1 .