Топология пространства-времени

Топология пространства-времени — это топологическая структура пространства -времени , тема, изучаемая в первую очередь в общей теории относительности . Эта физическая теория моделирует гравитацию как кривизну четырехмерного таким образом , лоренцева многообразия (пространства-времени), и концепции топологии, становятся важными при анализе локальных, а также глобальных аспектов пространства-времени. Изучение топологии пространства-времени особенно важно в физической космологии .

Типы топологии

Существует два основных типа топологии пространства- M. времени

Топология коллектора

Как и любое многообразие, пространство-время обладает естественной топологией многообразия . Здесь открытые множества являются образом открытых множеств в $\mathbb {R} ^{4}$ .

Топология пути или Зеемана

Определение : ^[1] Топология $\rho$ в котором подмножество $E\subset M$ открыт , если для каждой времениподобной кривой $c$ есть набор $O$ в топологии многообразия такая, что $E\cap c=O\cap c$ .

Это тончайшая топология , которая порождает ту же топологию, что и $M$ делает на времениподобных кривых. ^[2]

Характеристики

Строго тоньше , чем топология многообразия. Следовательно, оно хаусдорфово , сепарабельно , но не локально компактно .

Основой топологии являются множества вида $Y^{+}(p,U)\cup Y^{-}(p,U)\cup p$ в какой-то момент $p\in M$ и некоторая выпуклая нормальная окрестность $U\subset M$ .

( $Y^{\pm }$ обозначают хронологическое прошлое и будущее ).

Топология Александрова

Топология Александрова в пространстве-времени — это самая грубая топология , в которой оба $Y^{+}(E)$ и $Y^{-}(E)$ открыты для всех подмножеств $E\subset M$ .

Здесь базой открытых множеств топологии являются множества вида $Y^{+}(x)\cap Y^{-}(y)$ по некоторым пунктам $\,x,y\in M$ .

Эта топология совпадает с топологией многообразия тогда и только тогда, когда многообразие сильно причинно, но, вообще говоря, оно более грубое. ^[3]

Заметим, что в математике топологией Александрова частичного порядка обычно считается самая грубая топология, в которой только верхние множества $Y^{+}(E)$ обязаны быть открытыми. Эта топология восходит к Павлу Александрову .

В настоящее время правильным математическим термином для топологии Александрова в пространстве-времени (который восходит к Александру Д. Александрову ) будет интервальная топология , но когда Кронхаймер и Пенроуз ввели этот термин, эта разница в номенклатуре не была столь очевидной. ^{[ нужна ссылка ]}, а в физике продолжает использоваться термин топология Александрова.

Плоское пространство-время

События, связанные светом, имеют нулевое разделение. Полнота пространства-времени на плоскости разбита на четыре квадранта, каждый из которых имеет топологию R ². Разделительные линии представляют собой траектории входящих и исходящих фотонов в точке (0,0). Топологическая сегментация планарной космологии - это будущее F, прошлое P, пространство слева L и пространство справа D. Гомеоморфизм F с R ² представляет собой полярное разложение расщепленных комплексных чисел :

z=\exp(a+jb)=e^{a}(\cosh b+j\sinh b)\to (a,b),

так что

z\to (a,b)

— логарифм расщепленного комплекса и требуемый гомеоморфизм F → R ², Обратите внимание, что b — параметр быстроты относительного движения в F.

F находится в биективном соответствии с каждым из P, L и D при отображениях z → – z , z → j z и z → – j z , поэтому каждое из них приобретает одну и ту же топологию. Тогда объединение U = F ∪ P ∪ L ∪ D имеет топологию, почти покрывающую плоскость, исключая только нулевой конус на (0,0). Гиперболическое вращение плоскости не смешивает квадранты, фактически каждый из них представляет собой инвариантное множество относительно единичной группы гипербол .

См. также

Примечания

^ Веб-сайт Луки Бомбелли. Архивировано 16 июня 2010 г. в Wayback Machine.
^ * Зееман, EC (1967). «Топология пространства Минковского». Топология . 6 (2): 161–170. дои : 10.1016/0040-9383(67)90033-X .
^ Пенроуз, Роджер (1972), Методы дифференциальной топологии в теории относительности , Серия региональных конференций CBMS-NSF по прикладной математике, с. 34

Ссылки

Зееман, EC (1964). «Причинность подразумевает группу Лоренца». Журнал математической физики . 5 (4): 490–493. Бибкод : 1964JMP.....5..490Z . дои : 10.1063/1.1704140 .
Хокинг, Юго-Запад; Кинг, Арканзас; Маккарти, П.Дж. (1976). «Новая топология искривленного пространства-времени, включающая причинную, дифференциальную и конформную структуры» (PDF) . Журнал математической физики . 17 (2): 174–181. Бибкод : 1976JMP....17..174H . дои : 10.1063/1.522874 .

[Bombelli-1] Веб-сайт Луки Бомбелли. Архивировано 16 июня 2010 г. в Wayback Machine.

[2] * Зееман, EC (1967). «Топология пространства Минковского». Топология . 6 (2): 161–170. дои : 10.1016/0040-9383(67)90033-X .

[Penrose-3] Пенроуз, Роджер (1972), Методы дифференциальной топологии в теории относительности , Серия региональных конференций CBMS-NSF по прикладной математике, с. 34

[1]

[2]

[3]