Форма Клиффорда – Клейна
В математике форма Клиффорда – Клейна представляет собой двойное смежное пространство.
- Г\ Г / Ч ,
где G — редуктивная группа Ли , H — замкнутая подгруппа в G и Γ — дискретная подгруппа в G, действующая собственно разрывно на однородном пространстве G / H . Подходящая дискретная подгруппа Γ может существовать, а может и не существовать для данных G и H . Если Γ существует, возникает вопрос, Γ\ G / H можно ли считать компактным пространством , называемым компактной формой Клиффорда–Клейна .
Когда H сама компактна, классические результаты показывают, что существует компактная форма Клиффорда – Клейна. В противном случае этого может и не быть, и есть ряд отрицательных результатов.
История
[ редактировать ]По словам Морица Эппла , формы Клиффорда-Клейна возникли, когда У. К. Клиффорд использовал кватернионы для искривления своего пространства. «Каждый поворот обладает семейством инвариантных линий, заполняющим пространство», — параллели Клиффорда . Они сформировали «особую структуру, встроенную в эллиптическое трехмерное пространство», поверхность Клиффорда , которая продемонстрировала, что «одна и та же локальная геометрия может быть связана с пространствами, которые глобально различны». Вильгельм Киллинг считал, что для свободного перемещения твердых тел существуют четыре пространства: евклидово, гиперболическое, эллиптическое и сферическое. Это пространства постоянной кривизны , но постоянная кривизна отличается от свободной подвижности: она локальна, другая одновременно локальна и глобальна. Вклад Киллинга в пространственные формы Клиффорда-Клейна включал формулировку в терминах групп , поиск новых классов примеров и рассмотрение научной значимости пространств постоянной кривизны. Он взялся за разработку физических теорий космических форм ЦК. Карл Шварцшильд написал «Допустимую меру кривизны пространства» и отметил в приложении, что физическое пространство на самом деле может быть нестандартным пространством постоянной кривизны.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Мориц Эппле (2003) От кватернионов к космологии: пространства постоянной кривизны ок. 1873—1925 , приглашение на Международный конгресс математиков.
- Киллинг, В. (1891). «О пространственных формах Клиффорда-Клейна» . Математические летописи . 39 (2): 257–278. дои : 10.1007/bf01206655 . S2CID 119473479 .
- Хопф, Хайнц (1926), «О пространственной проблеме Клиффорда-Клейна», Mathematical Annals , 95 (1): 313–339, doi : 10.1007/BF01206614 , ISSN 0025-5831