Клиффордская параллель

В эллиптической геометрии две прямые являются параллельными Клиффорда или паратактическими линиями, если расстояние по перпендикуляру между ними постоянно от точки к точке. Эта концепция была впервые изучена Уильямом Кингдоном Клиффордом в эллиптическом пространстве и появляется только в пространствах как минимум трех измерений. Поскольку параллельные линии обладают свойством равноудаленности, термин «параллельность» был заимствован из евклидовой геометрии , хотя «линии» эллиптической геометрии представляют собой геодезические кривые и, в отличие от линий евклидовой геометрии , имеют конечную длину.

Алгебра кватернионов обеспечивает описательную геометрию эллиптического пространства, в которой явно выражен клиффордовский параллелизм.

Введение

Клиффорда Два параллельных больших круга на трехмерной сфере, охватываемой скрученным кольцом . Они имеют общую центральную точку в 4-мерном евклидовом пространстве и могут лежать в полностью ортогональных плоскостях вращения.

Линии с 1 в эллиптическом пространстве описываются версорами с фиксированной осью r :

$\lbrace e^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace$

Для произвольной точки u проходят две клиффордовы параллели этой прямой в эллиптическом пространстве через u .Правая параллель Клиффорда:

$\lbrace ue^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace ,$

а левая параллель Клиффорда равна

$\lbrace e^{ar}u:\ 0\leq a<\pi \rbrace .$

Обобщенный параллелизм Клиффорда

Первоначальное определение Клиффорда заключалось в изогнутых параллельных линиях, но эта концепция распространяется на параллельные объекты Клиффорда более чем одного измерения. В 4-мерном евклидовом пространстве Клиффорда параллельные объекты 1, 2, 3 или 4 измерений связаны изоклиническими вращениями . Параллелизм Клиффорда и изоклинические вращения являются тесно связанными аспектами SO (4), симметрии которые характеризуют правильные 4-многогранники .

Поверхности Клиффорда

Вращение линии вокруг другой, которой она параллельна Клиффорду, создает поверхность Клиффорда.

Все параллели Клиффорда, проходящие через точки на поверхности, лежат на поверхности. Таким образом, поверхность Клиффорда является линейчатой ​​поверхностью, поскольку каждая точка лежит на двух прямых, каждая из которых содержится в поверхности.

Учитывая два квадратных корня минус один в кватернионах , записанных r и s , поверхность Клиффорда через них определяется выражением

$\lbrace e^{ar}e^{bs}:\ 0\leq a,b<\pi \rbrace .$

История

Параллели Клиффорда были впервые описаны в 1873 году английским математиком Уильямом Кингдоном Клиффордом .

В 1900 году Гвидо Фубини написал докторскую диссертацию о параллелизме Клиффорда в эллиптических пространствах .

В 1931 году Хайнц Хопф использовал параллели Клиффорда для построения карты Хопфа .

В 2016 году Ханс Гавличек показал, что существует взаимно однозначное соответствие между параллелизмами Клиффорда и плоскостями, внешними по отношению к квадрике Клейна .

См. также

• Тор Клиффорда
• 24-клеточные § параллельные многогранники Клиффорда
• Правильные 4-многогранники

Ссылки

• Тиррелл, Дж.А.; Семпл, Дж. Г. (1971). Обобщенный параллелизм Клиффорда . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-08042-8 .
• Лаптев, Б.Л. и Б.А. Розенфельд (1996) Математика XIX века: Геометрия , стр. 74, издательство Birkhäuser ISBN   3-7643-5048-2 .
• Дункан Соммервилль (1914) Элементы неевклидовой геометрии , стр. 108 Паратаксические линии, Джордж Белл и сыновья
• Фредерик С. Вудс (1917) Высшая геометрия , «Параллели Клиффорда», страница 255, через Интернет-архив.