Ортогональность (математика)

Чтобы узнать о других значениях, см. Ортогональность .

В математике ортогональность линейную — это обобщение геометрического понятия перпендикулярности на алгебру билинейных форм .

Два элемента u и v векторного пространства билинейной формы $B$ ортогональны , когда $B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0$. В зависимости от билинейной формы векторное пространство может содержать ненулевые самоортогональные векторы. В случае функциональных пространств семейства ортогональных функций используются для формирования ортогонального базиса .

Эта концепция использовалась в контексте ортогональных функций , ортогональных полиномов и комбинаторики .

Ортогональность и вращение систем координат сравниваются слева: евклидово пространство через круговой угол φ , справа: в пространстве-времени Минковского через гиперболический угол φ (красные линии, отмеченные буквой c, обозначают мировые линии светового сигнала, вектор ортогонален сам себе, если он лежит на этом линия).

Определения

• В геометрии два евклидовых вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны , т. е. образуют прямой угол .
• Два вектора u и v в пространстве внутреннего произведения $V$ ортогональны , если их внутренний продукт $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$ равен нулю. Это отношение обозначается $\mathbf {u} \perp \mathbf {v}$.
• Ортогональная матрица — это матрица , векторы-столбцы которой ортонормированы друг к другу.
• Ортонормированный базис — это базис , векторы которого одновременно ортогональны и нормализованы (они являются единичными векторами ).
• Конформное линейное преобразование сохраняет углы и соотношения расстояний, а это означает, что преобразование ортогональных векторов с помощью одного и того же конформного линейного преобразования сохранит ортогональность этих векторов .
• Два векторных подпространства $A$ и $B$ внутреннего пространства продукта $V$ называются ортогональными подпространствами, если каждый вектор из $A$ ортогонален каждому вектору в $B$. Самое большое подпространство $V$ ортогональное данному подпространству является его ортогональным дополнением .
• Учитывая модуль $M$ и его двойственность $M^{*}$, элемент $m'$ из $M^{*}$ и элемент $m$ из $M$ ортогональны , если их естественное спаривание равно нулю, т.е. $\langle m',m\rangle =0$. Два комплекта $S'\subseteq M^{*}$ и $S\subseteq M$ ортогональны, если каждый элемент $S'$ ортогонален каждому элементу $S$.
• Система переписывания терминов называется ортогональной, если она леволинейна и однозначна. Системы переписывания ортогональных терминов конфлюэнтны .

Набор векторов в пространстве внутреннего произведения называется попарно ортогональным, если каждая пара из них ортогональна. Такое множество называется ортогональным множеством .

В некоторых случаях слово «нормальный» используется для обозначения ортогонального , особенно в геометрическом смысле, например, нормали к поверхности . Например, ось Y перпендикулярна кривой $y=x^{2}$ в начале. Однако нормальный может также относиться к величине вектора. В частности, набор называется ортонормированным (ортогональным плюс нормальным), если он представляет собой ортогональный набор единичных векторов . использования термина «нормальный» В результате часто избегают в значении «ортогональный». Слово «нормальный» также имеет другое значение в теории вероятности и статистике .

Векторное пространство билинейной формы обобщает случай скалярного произведения. Когда билинейная форма, примененная к двум векторам, дает ноль, тогда они ортогональны . В случае псевдоевклидовой плоскости используется термин гиперболическая ортогональность . На диаграмме оси x' и t' гиперболически-ортогональны для любого заданного $\phi$.

Евклидовы векторные пространства

В евклидовом пространстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. они составляют угол 90° ( ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ радианы ), или один из векторов равен нулю. Следовательно, ортогональность векторов является расширением понятия перпендикулярных векторов на пространства любой размерности.

Ортогональное дополнение подпространства — это пространство всех векторов, ортогональных каждому вектору в подпространстве. В трехмерном евклидовом векторном пространстве ортогональным дополнением прямой, проходящей через начало координат, является плоскость, проходящая через начало координат, перпендикулярная ей, и наоборот.

Обратите внимание, что геометрическая концепция двух перпендикулярных плоскостей не соответствует ортогональному дополнению, поскольку в трех измерениях пара векторов, по одному от каждой из пары перпендикулярных плоскостей, может встретиться под любым углом.

В четырехмерном евклидовом пространстве ортогональное дополнение прямой является гиперплоскостью и наоборот, а дополнением плоскости является плоскость.

Ортогональные функции

Основная статья: Ортогональные функции

Используя интегральное исчисление обычно используют следующее: , для определения внутреннего продукта двух функций $f$ и $g$ относительно неотрицательной весовой функции $w$ за интервал $[a,b]$:

$\langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.$

В простых случаях $w(x)=1$.

Мы говорим, что функции $f$ и $g$ ортогональны , если их внутренний продукт (эквивалентно значению этого интеграла) равен нулю:

$\langle f,g\rangle _{w}=0.$

Ортогональность двух функций по отношению к одному внутреннему продукту не означает ортогональности по отношению к другому внутреннему продукту.

Мы запишем норму относительно этого внутреннего продукта как

$\|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}$

Члены набора функций ${f_{i}\mid i\in \mathbb {N} }$ ортогональны ​ относительно $w$ на интервале $[a,b]$ если

$\langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=0\mid i\neq j.$

Члены такого набора функций ортонормированы относительно $w$ на интервале $[a,b]$ если

$\langle f_{i},f_{j}\rangle _{w}=\delta _{ij},$

где

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&&i=j\\0,&&i\neq j\end{matrix}}\right.$

это дельта Кронекера .

Другими словами, каждая их пара (исключая спаривание функции сама с собой) ортогональна, и норма каждой равна 1. См., в частности, ортогональные многочлены .

Примеры

• Векторы $(1,3,2)^{\text{T}},(3,-1,0)^{\text{T}},(1,3,-5)^{\text{T}}$ ортогональны друг другу, так как $(1)(3)+(3)(-1)+(2)(0)=0\ ,$ $\ (3)(1)+(-1)(3)+(0)(-5)=0\ ,$ и $(1)(1)+(3)(3)+(2)(-5)=0$.
• Векторы $(1,0,1,0,\ldots )^{\text{T}}$и $(0,1,0,1,\ldots )^{\text{T}}$ортогональны друг другу. Скалярное произведение этих векторов равно нулю. Затем мы можем сделать обобщение, чтобы рассмотреть векторы в $\mathbb {Z} _{2}^{n}$: $$\mathbf {v} _{k}=\sum _{i=0 \atop ai+k<n}^{n/a}\mathbf {e} _{i}$$ для некоторого положительного целого числа $a$и для $1\leq k\leq a-1$, эти векторы ортогональны, например ${\begin{bmatrix}1&0&0&1&0&0&1&0\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}0&1&0&0&1&0&0&1\end{bmatrix}}$, ${\begin{bmatrix}0&0&1&0&0&1&0&0\end{bmatrix}}$ ортогональны.
• Функции $2t+3$ и $45t^{2}+9t-17$ ортогональны относительно единичной весовой функции на интервале от −1 до 1: $$\int _{-1}^{1}\left(2t+3\right)\left(45t^{2}+9t-17\right)\,dt=0$$
• Функции $1,\sin {(nx)},\cos {(nx)}\mid n\in \mathbb {N}$ ортогональны относительно интегрирования по Риману на интервалах $[0,2\pi ],[-\pi ,\pi ]$, или любой другой замкнутый интервал длины $2\pi$. Этот факт является центральным в ряду Фурье .

Ортогональные полиномы

Различные полиномиальные последовательности, названные в честь математиков прошлого, представляют собой последовательности ортогональных полиномов . В частности:

• Полиномы Эрмита ортогональны относительно распределения Гаусса с нулевым средним значением.
• Полиномы Лежандра ортогональны относительно равномерного распределения на интервале $[-1,1]$.
• Полиномы Лагерра ортогональны относительно экспоненциального распределения . Несколько более общие последовательности полиномов Лагерра ортогональны относительно гамма-распределений .
• Полиномы Чебышева первого рода ортогональны относительно меры ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$
• Полиномы Чебышева второго рода ортогональны относительно распределения полукруга Вигнера .

Комбинаторика

В комбинаторике два $n\times n$ Латинские квадраты называются ортогональными, если их наложение дает все возможные $n^{2}$ комбинации записей.

Полностью ортогональный

Две плоские плоскости $A$ и $B$ евклидова четырехмерного пространства называются вполне ортогональными тогда и только тогда, когда каждая прямая в $A$ ортогонален каждой строке в $B$. В этом случае самолеты $A$ и $B$ пересекаться в одной точке $O$, так что если строка в $A$ пересекается с прямой $B$, они пересекаются в $O$. $A$ и $B$ перпендикулярны и параллельны Клиффорду .

В четырехмерном пространстве через точку можно построить 4 перпендикулярные оси и 6 перпендикулярных плоскостей. Без ограничения общности мы можем принять их за оси и ортогональные центральные плоскости $(w,x,y,z)$ Декартова система координат. В 4 измерениях мы имеем одни и те же 3 ортогональные плоскости. $(xy,xz,yz)$ что у нас есть в 3-х измерениях, а также в 3-х других $(wx,wy,wz)$. Каждая из шести ортогональных плоскостей имеет общую ось с четырьмя другими и полностью ортогональна только одной из остальных: единственной, с которой она не имеет общей оси. Таким образом, имеется 3 пары полностью ортогональных плоскостей: $xy$ и $wz$ пересекаются только в начале координат; $xz$ и $wy$ пересекаются только в начале координат; $yz$ и $wx$ пересекаются только в начале координат.

В более общем смысле, два плоских подпространства $S_{1}$ и $S_{2}$ размеров $M$ и $N$ евклидова пространства $S$ по крайней мере $M+N$ измерения называются полностью ортогональными, если каждая прямая в $S_{1}$ ортогонален каждой строке в $S_{2}$. Если $\dim(S)=M+N$ затем $S_{1}$ и $S_{2}$ пересекаться в одной точке $O$. Если $\dim(S)>M+N$ затем $S_{1}$ и $S_{2}$ могут пересекаться, а могут и не пересекаться. Если $\dim(S)=M+N$ затем строка в $S_{1}$ и линия в $S_{2}$ могут пересекаться или не пересекаться; если они пересекаются, то они пересекаются в $O$.

См. также

• Мнимое число
• Ортогональное дополнение
• Ортогональная группа
• Ортогональная матрица
• Ортогональные полиномы
• Ортогональная траектория
• Ортогонализация
  • Процесс Грама – Шмидта
• Ортонормированный базис
• Ортонормальность
• Панортогональность возникает в кокватернионах.
• Вверх по курсу