Латинская площадь

Этот витраж в колледже Гонвилл и Кайус в Кембридже, изображающий латинский квадрат 7 × 7, был посвящен Рональду Фишеру , в чьем *«Плане экспериментов»* обсуждались латинские квадраты. Окно сэра Рональда Фишера было удалено в 2020 году из-за связи Фишера с евгеникой. ^[1]

В комбинаторике и в планировании экспериментов латинский квадрат представляет собой массив размером n × n , заполненный n различными символами, каждый из которых встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце. Пример латинского квадрата 3×3:

А	Б	С
С	А	Б
Б	С	А

Название «Латинский квадрат» было вдохновлено математическими работами Леонарда Эйлера (1707–1783), который использовал латинские символы в качестве символов. ^[2] но можно использовать любой набор символов: в приведенном выше примере алфавитную последовательность A, B, C можно заменить целочисленной последовательностью 1, 2, 3. Эйлер положил начало общей теории латинских квадратов.

История

Корейский математик Чхве Сок Чжон был первым, кто опубликовал пример латинских квадратов девятого порядка, чтобы построить магический квадрат в 1700 году, на 67 лет раньше Леонарда Эйлера. ^[3]

Уменьшенная форма

Латинский квадрат называется приведенным ( также нормализованным или в стандартной форме ), если его первая строка и первый столбец находятся в естественном порядке. ^[4] Например, латинский квадрат выше не сокращается, поскольку его первый столбец — A, C, B, а не A, B, C.

Любой латинский квадрат можно уменьшить, переставляя (то есть меняя порядок) строки и столбцы. Здесь переключение второй и третьей строк приведенной выше матрицы дает следующий квадрат:

А	Б	С
Б	С	А
С	А	Б

Этот латинский квадрат уменьшен; и его первая строка, и первый столбец расположены в алфавитном порядке A, B, C.

Характеристики

Представление ортогонального массива

Если каждую запись латинского квадрата размера n × n записать в виде тройки ( r , c , s ), где r — строка, c — столбец, а s — символ, мы получим набор из n ² тройки называются виде ортогонального массива представлением квадрата в . Например, представление латинского квадрата в ортогональном массиве

1	2	3
2	3	1
3	1	2

является

{ (1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 3, 2) },

где, например, тройка (2, 3, 1) означает, что в строке 2 и столбце 3 находится символ 1. Ортогональные массивы обычно записываются в форме массива, где тройки являются строками, например:

р	с	с
1	1	1
1	2	2
1	3	3
2	1	2
2	2	3
2	3	1
3	1	3
3	2	1
3	3	2

Определение латинского квадрата можно записать в терминах ортогональных массивов:

Латинский квадрат – это набор из n ² тройки ( r , c , s ), где 1 ⩽ r , c , s ⩽ n , такие, что все упорядоченные пары ( r , c ) различны, все упорядоченные пары ( r , s ) различны и все упорядоченные пары ( c , s ) различны.

Это означает, что н ² упорядоченные пары ( r , c ) — это все пары ( i , j ) с 1 ≤ i , j ≤ n по одному разу каждая. То же самое относится и к упорядоченным парам ( r , s ) и упорядоченным парам ( c , s ).

Представление ортогонального массива показывает, что строки, столбцы и символы играют довольно схожие роли, как будет показано ниже.

Классы эквивалентности латинских квадратов

Многие операции над латинским квадратом создают другой латинский квадрат (например, переворачивая его).

Если мы переставим строки, переставим столбцы или переставим названия символов латинского квадрата, мы получим новый латинский квадрат, который считается изотопным первому. Изотопизм — это отношение эквивалентности , поэтому множество всех латинских квадратов делится на подмножества, называемые изотопическими классами , так что два квадрата одного и того же класса являются изотопными, а два квадрата разных классов не являются изотопными.

Другой тип операции проще всего объяснить, используя представление латинского квадрата в виде ортогонального массива. Если систематически и последовательно переупорядочить три элемента в каждой тройке (то есть переставить местами три столбца в форме массива), то получится еще один ортогональный массив (и, следовательно, еще один латинский квадрат). Например, мы можем заменить каждую тройку ( r , c , s ) на ( c , r , s ), что соответствует транспонированию квадрата (размышляя о его главной диагонали), или мы можем заменить каждую тройку ( r , c , s ) by ( c , s , r ), что является более сложной операцией. Всего существует 6 возможностей, включая «ничего не делать», что дает нам 6 латинских квадратов, называемых сопряженными (также парастрофами ) исходного квадрата. ^[5]

Наконец, мы можем объединить эти две операции эквивалентности: два латинских квадрата называются паратопными , а также изотопными основного класса , если один из них изотопен сопряженному другому. Это снова отношение эквивалентности, классы эквивалентности называются основными классами , видами или паратопическими классами . ^[5] Каждый основной класс содержит до шести изотопических классов.

Количество $n \times n$ латинских квадратов

Неизвестна легко вычислимая формула для количества $n латинских$ L $квадратов n \times n$ с символами $1, 2, ..., n$ . Наиболее точные верхняя и нижняя границы, известные для больших $n,$ далеко друг от друга. Один классический результат ^[6] это что $\prod _{k=1}^{n}\left(k!\right)^{n/k}\geq L_{n}\geq {\frac {\left(n!\right)^{2n}}{n^{n^{2}}}}.$

Простая и явная формула количества латинских квадратов была опубликована в 1992 году, но ее до сих пор нелегко вычислить из-за экспоненциального увеличения количества членов. Эта формула для числа $L n$ латинских $n \times n$ квадратов имеет вид $L_{n}=n!\sum _{A\in B_{n}}^{}(-1)^{\sigma _{0}(A)}{\binom {\operatorname {per} A}{n}},$ где $B n$ — множество всех $n \times n$ {0, 1}-матриц, $σ 0 (A)$ количество нулевых элементов в матрице $A$ , а $per(A)$ — перманент матрицы $A.$ — ^[7]

В таблице ниже приведены все известные точные значения. Видно, что цифры растут чрезвычайно быстро. Для каждого $n$ общее количество латинских квадратов (последовательность A002860 в OEIS ) равно $n! (п - 1)!$ раз больше количества сокращенных латинских квадратов (последовательность A000315 в OEIS ).

Количество латинских квадратов разного размера
$н$	уменьшенные латинские квадраты размера $n$ (последовательность A000315 в OEIS )	все латинские квадраты размера $n$ (последовательность A002860 в OEIS )
1	1	1
2	1	2
3	1	12
4	4	576
5	56	161,280
6	9,408	812,851,200
7	16,942,080	61,479,419,904,000
8	535,281,401,856	108,776,032,459,082,956,800
9	377,597,570,964,258,816	5,524,751,496,156,892,842,531,225,600
10	7,580,721,483,160,132,811,489,280	9,982,437,658,213,039,871,725,064,756,920,320,000
11	5,363,937,773,277,371,298,119,673,540,771,840	776,966,836,171,770,144,107,444,346,734,230,682,311,065,600,000
12	1.62 × 10 ⁴⁴
13	2.51 × 10 ⁵⁶
14	2.33 × 10 ⁷⁰
15	1.50 × 10 ⁸⁶

Для каждого $n$ каждый изотопический класс (последовательность A040082 в OEIS ) содержит до $(n!) 3$ Латинские квадраты (точное количество варьируется), при этом каждый основной класс (последовательность A003090 в OEIS ) содержит либо 1, 2, 3 или 6 изотопических классов.

Классы эквивалентности латинских квадратов
$н$	основные классы (последовательность A003090 в OEIS )	изотопические классы (последовательность A040082 в OEIS )	структурно различные квадраты (последовательность A264603 в OEIS )
1	1	1	1
2	1	1	1
3	1	1	1
4	2	2	12
5	2	2	192
6	12	22	145,164
7	147	564	1,524,901,344
8	283,657	1,676,267
9	19,270,853,541	115,618,721,533
10	34,817,397,894,749,939	208,904,371,354,363,006
11	2,036,029,552,582,883,134,196,099	12,216,177,315,369,229,261,482,540

Число структурно различных латинских квадратов (т.е. квадраты невозможно сделать одинаковыми путем вращения, отражения и/или перестановки символов) для $n$ = 1 до 7 равно 1, 1, 1, 12, 192, 145164, 1524901344 соответственно (последовательность A264603 в OEIS ).

Примеры

Приведем по одному примеру латинского квадрата из каждого основного класса до пятого порядка.

{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&4&1&3\\3&1&4&2\\4&3&2&1\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&5&1&4\\3&5&4&2&1\\4&1&2&5&3\\5&4&1&3&2\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&5&3\\3&5&4&2&1\\4&1&5&3&2\\5&3&2&1&4\end{bmatrix}}

В них представлены соответственно таблицы умножения следующих групп:

{0} – тривиальная 1-элементная группа
$\mathbb {Z} _{2}$ – бинарная группа
$\mathbb {Z} _{3}$ – циклическая группа порядка 3
$\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ – четверка Клейна
$\mathbb {Z} _{4}$ – циклическая группа порядка 4
$\mathbb {Z} _{5}$ – циклическая группа порядка 5
последний — пример квазигруппы , точнее цикла , который не является ассоциативным.

Трансверсали и радужные паросочетания

Трансверсаль в латинском квадрате — это выбор из n ячеек, где каждая строка содержит одну ячейку, каждый столбец — одну ячейку и по одной ячейке, содержащей каждый символ.

Латинский квадрат можно рассматривать как полный двудольный граф , в котором строки — вершины одной части, столбцы — вершины другой части, каждая ячейка — ребро (между своей строкой и столбцом), а символы — цвета. Правила латинских квадратов подразумевают, что это правильная раскраска ребер . Согласно этому определению, латинская трансверсаль — это паросочетание, в котором каждое ребро имеет свой цвет; такое сопоставление называется радужным сопоставлением .

Поэтому многие результаты о латинских квадратах/прямоугольниках содержатся в статьях с термином «радужное сопоставление» в названии, и наоборот. ^[8]

Некоторые латинские квадраты не имеют поперечных. Например, когда n четно, n латинский квадрат размером на n , в котором значение ячейки i , j равно ( i + j ) mod n, не имеет трансверсали. Вот два примера: ${\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{bmatrix}}$ В 1967 году Х. Дж. Райзер предположил, что, когда n нечетно , каждый n x латинский квадрат размером n имеет трансверсаль. ^[9]

В 1975 году С. К. Штейн и Бруальди предположили, что, когда n четно - , каждый n латинский квадрат размером n имеет частичную трансверсаль размера n - 1. ^[10]

Более общая гипотеза Штейна состоит в том, что трансверсаль размера n -1 существует не только в латинских квадратах, но и в любом n - х массиве n символов, если каждый символ появляется ровно n раз. ^[9]

Были доказаны некоторые более слабые версии этих гипотез:

Каждый n латинский квадрат размером x n имеет частичную трансверсаль размера 2 n /3. ^[11]
Каждый n латинский квадрат размером x n имеет частичную трансверсаль размера n − sqrt( n ). ^[12]
Каждый n латинский квадрат размером x n имеет частичную трансверсаль размера n − 11 log. ²
₂ ( н ). ^[13]
Каждый n латинский квадрат размером x n имеет частичную трансверсаль размера n − O(log n/loglog n). ^[14]
Каждый достаточно большой nxn квадрат размером латинский имеет частичную трансверсаль размера n −1. ^[15] (Препринт)

Алгоритмы

Для маленьких квадратов можно генерировать перестановки и проверять, соблюдается ли свойство латинского квадрата. Для больших квадратов алгоритм Джейкобсона и Мэтьюза позволяет осуществлять выборку из равномерного распределения по пространству n × n латинских квадратов. ^[16]

Приложения

Статистика и математика

В плане экспериментов латинские квадраты представляют собой частный случай планов строк и столбцов для двух блокирующих факторов . ^[17]^[18]
В алгебре латинские квадраты связаны с обобщениями групп ; в частности, латинские квадраты характеризуются как таблицы умножения ( таблицы Кэли ) квазигрупп . Говорят, что бинарная операция, таблица значений которой образует латинский квадрат, подчиняется свойству латинского квадрата .

Коды исправления ошибок

Наборы латинских квадратов, ортогональные друг другу, нашли применение в качестве кодов исправления ошибок в ситуациях, когда связь нарушается большим количеством типов шума, чем простой белый шум , например, при попытке передачи широкополосного Интернета по линиям электропередачи. ^[19]^[20]^[21]

Во-первых, сообщение отправляется с использованием нескольких частот или каналов — распространенный метод, который делает сигнал менее уязвимым к шуму на любой конкретной частоте. Буква в отправляемом сообщении кодируется путем отправки серии сигналов на разных частотах через последовательные промежутки времени. В приведенном ниже примере буквы от A до L кодируются путем отправки сигналов на четырех разных частотах в четырех временных интервалах. Например, буква С кодируется путем отправки сначала на частоте 3, затем 4, 1 и 2.

{\begin{matrix}A\\B\\C\\D\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\\\end{bmatrix}}\quad {\begin{matrix}E\\F\\G\\H\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&3&4&2\\2&4&3&1\\3&1&2&4\\4&2&1&3\\\end{bmatrix}}\quad {\begin{matrix}I\\J\\K\\L\\\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&4&2&3\\2&3&1&4\\3&2&4&1\\4&1&3&2\\\end{bmatrix}}

Кодировка двенадцати букв формируется из трех латинских квадратов, ортогональных друг другу. Теперь представьте, что на протяжении всей передачи в каналах 1 и 2 добавляется шум. Тогда буква А будет восприниматься как: ${\begin{matrix}12&12&123&124\end{matrix}}$

Другими словами, в первом слоте мы принимаем сигналы как с частоты 1, так и с частоты 2; в то время как третий слот имеет сигналы с частотами 1, 2 и 3. Из-за шума мы больше не можем сказать, были ли первые два слота 1,1 или 1,2, 2,1 или 2,2. Но случай 1,2 — единственный, который дает последовательность, соответствующую букве в приведенной выше таблице — букве А. Аналогичным образом мы можем представить всплеск помех на всех частотах третьего слота: ${\begin{matrix}1&2&1234&4\end{matrix}}$

Опять же, из таблицы кодировок мы можем сделать вывод, что должна была передаваться буква А. Количество ошибок, которые может обнаружить этот код, на единицу меньше количества временных интервалов. Также было доказано, что если число частот равно простому числу или степени простого числа, ортогональные латинские квадраты создают максимально эффективные коды обнаружения ошибок.

Математические головоломки

Проблема определения того, можно ли дополнить частично заполненный квадрат в латинский квадрат, является NP-полной . ^[22]

Популярные головоломки судоку представляют собой особый случай латинских квадратов; любое решение судоку — это латинский квадрат. Судоку накладывает дополнительное ограничение: девять конкретных смежных подквадратов размером 3×3 также должны содержать цифры 1–9 (в стандартной версии). См. также Математика судоку .

Более поздние головоломки KenKen и Strimko также являются примерами латинских квадратов.

Настольные игры

Латинские квадраты использовались в качестве основы для нескольких настольных игр, в частности, популярной абстрактной стратегической игры «Камисадо» .

Агрономические исследования

Латинские квадраты используются при планировании агрономических исследовательских экспериментов для минимизации экспериментальных ошибок. ^[23]

геральдика

Латинский квадрат также фигурирует на гербе Статистического общества Канады . ^[24] специально упоминается на его гербе . Также он присутствует на логотипе Международного биометрического общества . ^[25]

Обобщения

Латинский прямоугольник — это обобщение латинского квадрата, в котором есть n столбцов и n возможных значений, но количество строк может быть меньше n . Каждое значение по-прежнему появляется не более одного раза в каждой строке и столбце.
Греко -латинский квадрат — это пара двух латинских квадратов, при наложении одного на другой каждая упорядоченная пара символов появляется ровно один раз.
Латинский гиперкуб — это обобщение латинского квадрата из двух измерений в несколько измерений.

См. также

Блочный дизайн
Комбинаторный дизайн
Загадка «Восемь королев»
Футошики
Магический квадрат
Проблемы в латинских квадратах
Граф Рука которого являются латинские квадраты. — граф, раскраской
Площадь Сатор
Ведическая площадь
Слово квадрат

Примечания

^ Басби, Матта (27 июня 2020 г.). «Кембриджский колледж уберет окно, посвященное памяти евгеника» . Хранитель . Проверено 28 июня 2020 г.
^ Уоллис, штат Вашингтон; Джордж, Дж. К. (2011), Введение в комбинаторику , CRC Press, стр. 212, ISBN 978-1-4398-0623-4
^ Колборн, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (2 ноября 2006 г.). Справочник по комбинаторным планам (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 12. ISBN 9781420010541 . Проверено 28 марта 2017 г.
^ Денес и Кидуэлл 1974 , с. 128
^ Jump up to: ^а ^б Денес и Кидуэлл 1974 , с. 126
^ ван Линт и Уилсон 1992 , стр. 161-162.
^ Цзя-юй Шао; Ван-ди Вэй (1992). «Формула количества латинских квадратов» . Дискретная математика . 110 (1–3): 293–296. дои : 10.1016/0012-365x(92)90722-r .
^ Дьярфас, Андрас; Саркози, Габор Н. (2012). «Радужные паросочетания и частичные трансверсали латинских квадратов». arXiv : 1208.5670 [ CO math. СО ].
^ Jump up to: ^а ^б Ахарони, Рон; Бергер, Эли; Котлар, Дэни; Зив, Ран (04 января 2017 г.). «О догадке камня». Трактаты математического семинара Гамбургского университета . 87 (2): 203–211. дои : 10.1007/s12188-016-0160-3 . ISSN 0025-5858 . S2CID 119139740 .
^ Штейн, Шерман (1 августа 1975 г.). «Трансверсали латинских квадратов и их обобщения» . Тихоокеанский математический журнал . 59 (2): 567–575. дои : 10.2140/pjm.1975.59.567 . ISSN 0030-8730 .
^ Коксма, Клаас К. (1 июля 1969 г.). «Нижняя оценка порядка частичной трансверсали в латинском квадрате» . Журнал комбинаторной теории . 7 (1): 94–95. дои : 10.1016/s0021-9800(69)80009-8 . ISSN 0021-9800 .
^ Вулбрайт, Дэвид Э. (1 марта 1978 г.). «Латинский квадрат размера n × n имеет трансверсаль, содержащую как минимум n−n различных символов» . Журнал комбинаторной теории, серия А. 24 (2): 235–237. дои : 10.1016/0097-3165(78)90009-2 . ISSN 0097-3165 .
^ Хатами, Пуя; Шор, Питер В. (1 октября 2008 г.). «Нижняя оценка длины частичной трансверсали в латинском квадрате» . Журнал комбинаторной теории, серия А. 115 (7): 1103–1113. дои : 10.1016/j.jcta.2008.01.002 . ISSN 0097-3165 .
^ Киваш, Питер; Покровский, Алексей; Судаков, Бенни; Епремян, Лиана (15.04.2022). «Новые границы гипотезы Райзера и связанных с ней проблем» . Труды Американского математического общества, серия B. 9 (8): 288–321. дои : 10.1090/btran/92 . hdl : 20.500.11850/592212 . ISSN 2330-0000 .
^ Монтгомери, Ричард (2023). «Доказательство гипотезы Райзера-Бруальди-Стейна для больших четных n». arXiv : 2310.19779 [ math.CO ].
^ Джейкобсон, Монтана; Мэтьюз, П. (1996). «Генерация равномерно распределенных случайных латинских квадратов». Журнал комбинаторных проектов . 4 (6): 405–437. doi : 10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:6<405::aid-jcd3>3.0.co;2-j .
^ Бейли, Р.А. (2008), «6 схем строк и столбцов и еще 9 о латинских квадратах» , План сравнительных экспериментов , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68357-9 , МР 2422352
^ Шах, Кирти Р.; Синха, Бикас К. (1989), «Схемы с 4 строками и столбцами», Теория оптимальных планов , Конспекты лекций по статистике, том. 54, Springer-Verlag, стр. 66–84, ISBN. 0-387-96991-8 , МР 1016151
^ Колборн, CJ ; Клёве, Т.; Линг, ACH (2004). «Массивы перестановок для связи по линиям электропередачи». IEEE Транс. Инф. Теория . 50 : 1289–1291. дои : 10.1109/тит.2004.828150 . S2CID 15920471 .
↑ Революция Эйлера , New Scientist, 24 марта 2007 г., стр. 48–51.
^ Гучинская, Софи (2006). «ЛЭП и проблема 36 офицеров». Философские труды Королевского общества А. 364 (1849): 3199–3214. Бибкод : 2006RSPTA.364.3199H . дои : 10.1098/rsta.2006.1885 . ПМИД 17090455 . S2CID 17662664 .
^ К. Колборн (1984). «Сложность заполнения частичных латинских квадратов» . Дискретная прикладная математика . 8 : 25–30. дои : 10.1016/0166-218X(84)90075-1 .
^ Применение латинского квадрата в агрономических исследованиях.
^ «Патентные письма на получение оружия SSC» . ssc.ca. Архивировано из оригинала 21 мая 2013 г.
^ Международное биометрическое общество. Архивировано 7 мая 2005 г. в Wayback Machine.

Ссылки

Бейли, РА (2008). «6 конструкций строк-столбцов и еще 9 о латинских квадратах» . План сравнительных экспериментов . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-68357-9 . МР 2422352 .
Денес, Ж.; Кидуэлл, AD (1974). Латинские квадраты и их приложения . Нью-Йорк-Лондон: Академическая пресса. п. 547. ИСБН 0-12-209350-Х . МР 0351850 .
Шах, Кирти Р.; Синха, Бикас К. (1989). «Конструкции из 4 строк и столбцов». Теория оптимальных планов . Конспект лекций по статистике. Том. 54. Шпрингер-Верлаг. стр. 66–84. ISBN 0-387-96991-8 . МР 1016151 .
ван Линт, Дж. Х.; Уилсон, Р.М. (1992). Курс комбинаторики . Издательство Кембриджского университета. п. 157 . ISBN 0-521-42260-4 .

Дальнейшее чтение

Денес, Дж. Х.; Кидуэлл, AD (1991). Латинские квадраты: Новые достижения в теории и приложениях . Анналы дискретной математики. Том. 46. Пол Эрдеш (предисловие). Амстердам: Академическая пресса. ISBN 0-444-88899-3 . МР 1096296 .
Хинкельманн, Клаус; Кемпторн, Оскар (2008). Планирование и анализ экспериментов . Том. I, II (Второе изд.). Уайли. ISBN 978-0-470-38551-7 . МР 2363107 .
- Хинкельманн, Клаус; Кемпторн, Оскар (2008). Планирование и анализ экспериментов, Том I: Введение в планирование экспериментов (второе изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-72756-9 . МР 2363107 .
- Хинкельманн, Клаус; Кемпторн, Оскар (2005). Планирование и анализ экспериментов, Том 2: Расширенный план экспериментов (Первое изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-55177-5 . МР 2129060 .
Кнут, Дональд (2011). Искусство компьютерного программирования, Том 4А: Комбинаторные алгоритмы, Часть 1 . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-03804-0 .
Лейвин, Чарльз Ф.; Маллен, Гэри Л. (1998). Дискретная математика с использованием латинских квадратов . Серия Wiley-Interscience по дискретной математике и оптимизации. John Wiley & Sons, Inc. Нью-Йорк: ISBN 0-471-24064-8 . МР 1644242 .
Шах, КР; Синха, Бикас К. (1996). «Конструкции строк-столбцов». В С. Гоше и Ч.Р. Рао (ред.). Планирование и анализ экспериментов . Справочник по статистике. Том. 13. Амстердам: Издательство North-Holland Publishing Co., стр. 903–937. ISBN 0-444-82061-2 . МР 1492586 .
Рагхаварао, Дамараджу (1988). Конструкции и комбинаторные проблемы планирования экспериментов (исправленное переиздание издания Wiley 1971 года). Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-65685-3 . МР 1102899 .
Стрит, Энн Пенфолд ; Стрит, Дебора Дж. (1987). Комбинаторика планирования эксперимента . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853256-3 . МР 0908490 .
Бергер, Пол Д.; Маурер, Роберт Э.; Челли, Джована Б. (28 ноября 2017 г.). Экспериментальный дизайн с применением в менеджменте, технике и науке (2-е издание (28 ноября 2017 г.) изд.). Спрингер. стр. 267–282.

Внешние ссылки

[1] Басби, Матта (27 июня 2020 г.). «Кембриджский колледж уберет окно, посвященное памяти евгеника» . Хранитель . Проверено 28 июня 2020 г.

[2] Уоллис, штат Вашингтон; Джордж, Дж. К. (2011), Введение в комбинаторику , CRC Press, стр. 212, ISBN 978-1-4398-0623-4

[3] Колборн, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (2 ноября 2006 г.). Справочник по комбинаторным планам (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 12. ISBN 9781420010541 . Проверено 28 марта 2017 г.

[4] Денес и Кидуэлл 1974 , с. 128

[DK126-5] Jump up to: ^а ^б Денес и Кидуэлл 1974 , с. 126

[6] ван Линт и Уилсон 1992 , стр. 161-162.

[7] Цзя-юй Шао; Ван-ди Вэй (1992). «Формула количества латинских квадратов» . Дискретная математика . 110 (1–3): 293–296. дои : 10.1016/0012-365x(92)90722-r .

[8] Дьярфас, Андрас; Саркози, Габор Н. (2012). «Радужные паросочетания и частичные трансверсали латинских квадратов». arXiv : 1208.5670 [ CO math. СО ].

[:0-9] Jump up to: ^а ^б Ахарони, Рон; Бергер, Эли; Котлар, Дэни; Зив, Ран (04 января 2017 г.). «О догадке камня». Трактаты математического семинара Гамбургского университета . 87 (2): 203–211. дои : 10.1007/s12188-016-0160-3 . ISSN 0025-5858 . S2CID 119139740 .

[10] Штейн, Шерман (1 августа 1975 г.). «Трансверсали латинских квадратов и их обобщения» . Тихоокеанский математический журнал . 59 (2): 567–575. дои : 10.2140/pjm.1975.59.567 . ISSN 0030-8730 .

[11] Коксма, Клаас К. (1 июля 1969 г.). «Нижняя оценка порядка частичной трансверсали в латинском квадрате» . Журнал комбинаторной теории . 7 (1): 94–95. дои : 10.1016/s0021-9800(69)80009-8 . ISSN 0021-9800 .

[12] Вулбрайт, Дэвид Э. (1 марта 1978 г.). «Латинский квадрат размера n × n имеет трансверсаль, содержащую как минимум n−n различных символов» . Журнал комбинаторной теории, серия А. 24 (2): 235–237. дои : 10.1016/0097-3165(78)90009-2 . ISSN 0097-3165 .

[13] Хатами, Пуя; Шор, Питер В. (1 октября 2008 г.). «Нижняя оценка длины частичной трансверсали в латинском квадрате» . Журнал комбинаторной теории, серия А. 115 (7): 1103–1113. дои : 10.1016/j.jcta.2008.01.002 . ISSN 0097-3165 .

[14] Киваш, Питер; Покровский, Алексей; Судаков, Бенни; Епремян, Лиана (15.04.2022). «Новые границы гипотезы Райзера и связанных с ней проблем» . Труды Американского математического общества, серия B. 9 (8): 288–321. дои : 10.1090/btran/92 . hdl : 20.500.11850/592212 . ISSN 2330-0000 .

[15] Монтгомери, Ричард (2023). «Доказательство гипотезы Райзера-Бруальди-Стейна для больших четных n». arXiv : 2310.19779 [ math.CO ].

[16] Джейкобсон, Монтана; Мэтьюз, П. (1996). «Генерация равномерно распределенных случайных латинских квадратов». Журнал комбинаторных проектов . 4 (6): 405–437. doi : 10.1002/(sici)1520-6610(1996)4:6<405::aid-jcd3>3.0.co;2-j .

[17] Бейли, Р.А. (2008), «6 схем строк и столбцов и еще 9 о латинских квадратах» , План сравнительных экспериментов , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68357-9 , МР 2422352

[18] Шах, Кирти Р.; Синха, Бикас К. (1989), «Схемы с 4 строками и столбцами», Теория оптимальных планов , Конспекты лекций по статистике, том. 54, Springer-Verlag, стр. 66–84, ISBN. 0-387-96991-8 , МР 1016151

[CKL-19] Колборн, CJ ; Клёве, Т.; Линг, ACH (2004). «Массивы перестановок для связи по линиям электропередачи». IEEE Транс. Инф. Теория . 50 : 1289–1291. дои : 10.1109/тит.2004.828150 . S2CID 15920471 .

[NS-20] Революция Эйлера , New Scientist, 24 марта 2007 г., стр. 48–51.

[SH-21] Гучинская, Софи (2006). «ЛЭП и проблема 36 офицеров». Философские труды Королевского общества А. 364 (1849): 3199–3214. Бибкод : 2006RSPTA.364.3199H . дои : 10.1098/rsta.2006.1885 . ПМИД 17090455 . S2CID 17662664 .

[22] К. Колборн (1984). «Сложность заполнения частичных латинских квадратов» . Дискретная прикладная математика . 8 : 25–30. дои : 10.1016/0166-218X(84)90075-1 .

[23] Применение латинского квадрата в агрономических исследованиях.

[24] «Патентные письма на получение оружия SSC» . ssc.ca. Архивировано из оригинала 21 мая 2013 г.

[25] Международное биометрическое общество. Архивировано 7 мая 2005 г. в Wayback Machine.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

v т и Планирование экспериментов
Scientific method	Scientific experiment Statistical design Control Internal and external validity Experimental unit Blinding Optimal design: Bayesian Random assignment Randomization Restricted randomization Replication versus subsampling Sample size
Treatment and blocking	Treatment Effect size Contrast Interaction Confounding Orthogonality Blocking Covariate Nuisance variable
Models and inference	Linear regression Ordinary least squares Bayesian Random effect Mixed model Hierarchical model: Bayesian Analysis of variance (Anova) Cochran's theorem Manova (multivariate) Ancova (covariance) Compare means Multiple comparison
Designs Completely randomized	Factorial Fractional factorial Plackett–Burman Taguchi Response surface methodology Polynomial and rational modeling Box–Behnken Central composite Block Generalized randomized block design (GRBD) Latin square Graeco-Latin square Orthogonal array Latin hypercube Repeated measures design Crossover study Randomized controlled trial Sequential analysis Sequential probability ratio test
Glossary Category Mathematics portal Statistical outline Statistical topics

v т и Волшебные многоугольники
Types	Magic circle Magic hexagon Magic hexagram Magic square Magic star Magic triangle
Related shapes	Alphamagic square Antimagic square Geomagic square Heterosquare Pandiagonal magic square Prime reciprocal magic square Most-perfect magic square
Higher dimensional shapes	Magic cube classes Magic hypercube Magic hyperbeam
Classification	Associative magic square Pandiagonal magic square Multimagic square
Related concepts	Latin square Word square Number Scrabble Eight queens puzzle Magic constant Magic graph Magic series

Базы данных авторитетного контроля
National	France BnF data Germany
Other	IdRef