Классы магических кубов

В математике куб волшебный порядка $n$ это $n\times n\times n$ сетка натуральных чисел, удовлетворяющая тому свойству, что числа в одной строке, одном столбце, одном столбце или одинаковой длины $n$ Диагонали в сумме дают одно и то же число. Это $3$ -мерное обобщение магического квадрата . Магический куб можно отнести к одному из шести классов магических кубов в зависимости от характеристик куба. Преимущество этой классификации в том, что она единообразна для всех порядков и всех измерений магических гиперкубов .

Шесть классов

Простой:

Минимальные требования для магического куба: все строки, столбцы, столбцы и 4 диагонали пространства должны в сумме иметь одно и то же значение. Простой магический куб не содержит магических квадратов или их недостаточно для перехода в следующий класс.
Самый маленький обычный простой магический куб имеет порядок 3. Минимальное необходимое правильное суммирование = 3 м. ² + 4

Диагональ:

Каждый из 3 -метровых плоских массивов должен представлять собой простой магический квадрат . 6 наклонных квадратов – это тоже простая магия. Наименьший магический куб с нормальной диагональю имеет порядок 5.
Эти квадраты были названы Гарднером и другими «идеальными». В то же время он назвал пандиагональный куб Лангмана 1962 года также «идеальным».
Кристиан Бойер и Уолтер Трамп теперь считают этот и следующие два класса идеальными . (См. «Альтернативный совершенный вариант» ниже).
А. Х. Фрост называл все, кроме простого класса, кубиками Насика .
Наименьший магический куб по нормальной диагонали имеет порядок 5; см. Диагональный магический куб . Требуется минимальное правильное суммирование = 3 м. ² + 6 m + 4

Пантриагональный:

Все 4 м ² Пантригоны должны суммироваться правильно (то есть 4 односегментных, 12( m −1) двухсегментных и 4 ( m −2) ( m −1) трёхсегментных). Может быть несколько простых пандиагональных магических квадратов И/ИЛИ, но их недостаточно, чтобы удовлетворить любую другую классификацию.
Наименьший нормальный пантриугольный магический куб имеет порядок 4; см. Пантригональный магический куб .
Требуется минимальное правильное суммирование = 7 м. ². Все пан- r -угольники суммируются правильно для r = 1 и 3.

ПантриагДиаг:

Куб этого класса был впервые построен в конце 2004 года Мицутоши Накамурой. Этот куб представляет собой комбинацию пантриагонального магического куба и диагонального магического куба . Следовательно, все основные и ломаные диагонали пространства суммируются правильно, и оно содержит 3 м плоских простых магических квадратов . Кроме того, все 6 наклонных квадратов являются пандиагональными магическими квадратами . Единственный такой куб, построенный на данный момент, - это порядок 8. Какие еще порядки возможны, неизвестно; см. магический куб Пантриагдиаг . Требуется минимальное правильное суммирование = 7 м. ² + 6 m

Пандиагональный:

Все 3 -метровые плоские массивы должны быть пандиагональными магическими квадратами . 6 косых квадратов всегда магические (обычно простые магические). Некоторые из них могут быть пандиагональной магией.Гарднер также назвал этот (пандиагональ Лэнгмана) «идеальным» кубом, по-видимому, не осознавая, что это более высокий класс, чем куб Майера. См. предыдущую заметку о Бойере и Трампе.
Наименьший нормальный пандиагональный магический куб имеет порядок 7; см. Пандиагональный магический куб .
Требуется минимальное правильное суммирование = 9 м. ² + 4. Все пан- r -угольники правильно суммируются при r = 1 и 2.

Идеальный:

Все 3 -метровые плоские массивы должны быть пандиагональными магическими квадратами . Кроме того, все пантриагоны должны суммироваться правильно. Эти два условия в совокупности дают 9 м пандиагональных магических квадратов.
Самый маленький нормальный идеальный магический куб имеет порядок 8; см . Совершенный магический куб .

Насик; А. Х. Фрост (1866) называл Насиком всех, кроме простого магического куба!
К. Планк (1905) переопределил Насика , назвав его магическим гиперкубом любого порядка и измерения, в котором все возможные линии суммируются правильно.
т.е. Насик является предпочтительным альтернативным и менее двусмысленным термином для идеального класса.
Требуется минимальное правильное суммирование = 13 м. ². Все пан- r -угольники суммируются правильно для r = 1, 2 и 3.

Альтернативный идеальный является относительно новым Обратите внимание, что приведенное выше определение . Примерно до 1995 года существовала большая путаница относительно того, что представляет собой идеальный магический куб (см. обсуждение в разделе «Диагональ »).
Ниже приведены ссылки и ссылки на обсуждения старого определения.
С ростом популярности персональных компьютеров стало легче изучать мельчайшие детали магических кубиков. Также все больше и больше работы проводилось с магическими гиперкубами более высоких измерений . Например, Джон Хендрикс построил первый в мире Насика магический тессеракт в 2000 году. По определению Хендрикса он классифицируется как идеальный магический тессеракт .

Обобщено для всех измерений

Магический гиперкуб размерности n является совершенным, если все пан -n -угольники суммируются правильно. Тогда все содержащиеся в нем гиперкубы меньшей размерности также совершенны.
считается идеальным Для измерения 2 Пандиагональный магический квадрат уже много лет . Это согласуется с приведенными выше определениями идеального (Насика) куба. В этом измерении нет никакой двусмысленности, поскольку существует только два класса магических квадратов: простой и совершенный.
В случае с 4 измерениями, магическим тессерактом, Мицутоши Накамура определил, что существует 18 классов. Он определил их характеристики и построил примеры каждого.И в этом измерении Совершенный ( Насик ) магический тессеракт имеет все возможные линии, суммируемые правильно, и все кубы и квадраты, содержащиеся в нем, также являются магией Насик.

Еще определение и таблица

Правильный: Настоящий магический куб — это магический куб, принадлежащий одному из шести классов магических кубов, но содержащий в точности минимальные требования для этого класса куба. т.е. правильный простой или пантригональный магический куб не будет содержать магических квадратов, правильный диагональный магический куб будет содержать ровно 3 м + 6 простых магических квадратов и т. д. Этот термин был придуман Мицутоши Накамура в апреле 2004 года.

Минимальное количество линий (и магических квадратов), необходимое для каждого класса магического куба.
Класс магического куба	Самый маленький возможный заказ	Линии правильно суммируются с S (м(м ³+1)) / 2				Простой магические квадраты		Пандиагональный (Насик) магические квадраты
( r -угольный)		Орто. 1	Диаг. 2	Триаг. 3	Общий	Планарный	Косой	Планарный	Уникальный
Простой	3	3m ²	—	4	3m ² + 4	—	—	—	—
Диагональ	5	3m ²	6m	4	3m ² + 6m + 4	3m	6	—	—
Пантриагональный	4	3m ²	—	4m ²	7m ²	—	—	—	—
PantriagDiag	8 ?	3m ²	6m	4m ²	7m ² + 6m	3m	0	—	6
Пандиагональный	7	3m ²	6m ²	4	9m ² + 4	—	6	3m	—
Идеальный (Насик)	8	3m ²	6m ²	4m ²	13 м ²	—	—	3m	6m

Примечания к таблице

Для диагональных или пандиагональных классов один или, возможно, 2 из 6 наклонных магических квадратов могут быть пандиагональными магическими. Все косые квадраты, кроме шести, «сломаны». Это аналогично ломаным диагоналям в пандиагональном магическом квадрате. т.е. ломаные диагонали являются одномерными в двумерном квадрате; ломаные косые квадраты являются двумерными в трехмерном кубе.
В таблице указано минимальное количество линий или квадратов, необходимое для каждого класса (т.е. правильного). Обычно их больше, но одного типа недостаточно для перехода в следующий класс.

См. также

Дальнейшее чтение

Фрост, доктор А.Х., Об общих свойствах кубов Насика, QJM 15, 1878, стр. 93–123.
Планк, К., Теория путей Насика, Напечатано для частного обращения, А. Дж. Лоуренс, принтер, Регби (Англия), 1905 г.
Хайнц, Х.Д. и Хендрикс, младший, Лексикон магического квадрата: Иллюстрировано. Самостоятельная публикация, 2000, 0-9687985-0-0.
Хендрикс, Джон Р., Пан-4-угольный магический тессеракт, The American Mathematical Monthly, Vol. 75, № 4, апрель 1968 г., с. 384.
Хендрикс, Джон Р., Пан-3-угольный магический куб, Журнал рекреационной математики, 5:1, 1972, стр. 51–52.
Хендрикс, Джон Р., Пан-3-угольный магический куб порядка 5, JRM, 5:3, 1972, стр. 205–206.
Хендрикс, Джон Р., Преобразование магических квадратов в тессеракты с помощью компьютера, самостоятельная публикация, 1999 г. 0-9684700-0-9
Хендрикс, Джон Р., Совершенные n-мерные магические гиперкубы порядка 2n, самостоятельная публикация, 1999. 0-9684700-4-1
Клиффорд А. Пиковер (2002). Дзен магических квадратов, кругов и звезд . Принстонский университет. Пресс, 2002, 0-691-07041-5. стр. 101–121

Внешние ссылки

Классы куба

Идеальный куб

Классы Тессеракта

Классы Square, Cube и Tesseract.

v т и Волшебные многоугольники
Типы	Магический круг Волшебный шестиугольник Магическая гексаграмма Магический квадрат Волшебная звезда Магический треугольник
Связанные фигуры	Альфа-магический квадрат Антимагический квадрат Геомагический квадрат Гетероквадрат Пандиагональный магический квадрат Главный обратный магический квадрат Самый совершенный магический квадрат
Формы более высоких измерений	Волшебный куб занятия Магический гиперкуб Магический гиперлуч
Классификация	Ассоциативный магический квадрат Пандиагональный магический квадрат Мультимагический квадрат
Связанные понятия	Латинская площадь Слово квадрат Числовой скрэббл Загадка «Восемь королев» Магическая константа Магический график Волшебная серия