Ассоциативный магический квадрат

Ассоциативный магический квадрат — это магический квадрат , в котором каждая пара чисел, симметрично противоположных центру, в сумме дает одно и то же значение. Для квадрата размера n × n , заполненного числами от 1 до n ², эта общая сумма должна быть равна n ² + 1. Эти квадраты также называются ассоциированными магическими квадратами , обычными магическими квадратами , регулярными магическими квадратами или симметричными магическими квадратами . ^[1]^[2]^[3]

Примеры

Например, квадрат Ло Шу – уникальный магический квадрат 3 × 3 – ассоциативен, поскольку каждая пара противоположных точек вместе с центральной точкой образует линию квадрата, поэтому сумма двух противоположных точек равна сумме линия минус значение центральной точки независимо от того, какие две противоположные точки выбраны. ^[4] Магический квадрат 4 × 4 с Альбрехта Дюрера 1514 года гравюры «Меленхолия I» , также встречающийся в письме Бенджамина Франклина 1765 года , также является ассоциативным: каждая пара противоположных чисел в сумме дает 17. ^[5]

Существование и перечисление

Число возможных ассоциативных магических квадратов n × n для n = 3,4,5,..., считая два квадрата одинаковыми, если они отличаются только вращением или отражением, равно:

1, 48, 48544, 0, 1125154039419854784, ... (последовательность A081262 в OEIS )

Число ноль для n = 6 является примером более общего явления: ассоциативных магических квадратов не существует для одночетных значений ( n модулю равных 2 по 4 ). ^[3] Каждый ассоциативный магический квадрат четного порядка образует сингулярную матрицу , но ассоциативные магические квадраты нечетного порядка могут быть сингулярными или несингулярными. ^[4]

Ссылки

^ Фриерсон, Л.С. (1917), «Заметки о пандиагональных и связанных с ними магических квадратах» , в Эндрюс, В.С. (редактор), Magic Squares and Cubes (2-е изд.), Open Court, стр. 229–244.
^ Белл, Джордан; Стивенс, Бретт (2007), «Построение ортогональных пандиагональных латинских квадратов и панмагических квадратов из модульных $n$ -ферзевые решения», Journal of Combinatorial Designs , 15 (3): 221–234, doi : 10.1002/jcd.20143 , MR 2311190 , S2CID 121149492
^ Jump up to: ^а ^б Нордгрен, Рональд П. (2012), «О свойствах специальных матриц магического квадрата», Линейная алгебра и ее приложения , 437 (8): 2009–2025, doi : 10.1016/j.laa.2012.05.031 , MR 2950468
^ Jump up to: ^а ^б Ли, Майкл З.; С любовью, Элизабет; Нараян, Шиварам К.; Вашер, Элизабет; Вебстер, Джордан Д. (2012), «О несингулярных регулярных магических квадратах нечетного порядка», Линейная алгебра и ее приложения , 437 (6): 1346–1355, doi : 10.1016/j.laa.2012.04.004 , MR 2942355
^ Паслес, Пол К. (2001), «Потерянные квадраты доктора Франклина: недостающие квадраты Бена Франклина и тайна магического круга», American Mathematical Monthly , 108 (6): 489–511, doi : 10.1080/00029890.2001. 11919777 , JSTOR 2695704 , MR 1840656 , S2CID 341378

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , «Ассоциативный магический квадрат» , MathWorld

[andrews-1] Фриерсон, Л.С. (1917), «Заметки о пандиагональных и связанных с ними магических квадратах» , в Эндрюс, В.С. (редактор), Magic Squares and Cubes (2-е изд.), Open Court, стр. 229–244.

[belste-2] Белл, Джордан; Стивенс, Бретт (2007), «Построение ортогональных пандиагональных латинских квадратов и панмагических квадратов из модульных $n$ -ферзевые решения», Journal of Combinatorial Designs , 15 (3): 221–234, doi : 10.1002/jcd.20143 , MR 2311190 , S2CID 121149492

[nordgren-3] Jump up to: ^а ^б Нордгрен, Рональд П. (2012), «О свойствах специальных матриц магического квадрата», Линейная алгебра и ее приложения , 437 (8): 2009–2025, doi : 10.1016/j.laa.2012.05.031 , MR 2950468

[llnww-4] Jump up to: ^а ^б Ли, Майкл З.; С любовью, Элизабет; Нараян, Шиварам К.; Вашер, Элизабет; Вебстер, Джордан Д. (2012), «О несингулярных регулярных магических квадратах нечетного порядка», Линейная алгебра и ее приложения , 437 (6): 1346–1355, doi : 10.1016/j.laa.2012.04.004 , MR 2942355

[pasles-5] Паслес, Пол К. (2001), «Потерянные квадраты доктора Франклина: недостающие квадраты Бена Франклина и тайна магического круга», American Mathematical Monthly , 108 (6): 489–511, doi : 10.1080/00029890.2001. 11919777 , JSTOR 2695704 , MR 1840656 , S2CID 341378

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Волшебные многоугольники
Типы	Магический круг Волшебный шестиугольник Магическая гексаграмма Магический квадрат Волшебная звезда Магический треугольник
Связанные фигуры	Альфа-магический квадрат Антимагический квадрат Геомагический квадрат Гетероквадрат Пандиагональный магический квадрат Главный обратный магический квадрат Самый совершенный магический квадрат
Формы более высоких измерений	Волшебный куб занятия Магический гиперкуб Магический гиперлуч
Классификация	Ассоциативный магический квадрат Пандиагональный магический квадрат Мультимагический квадрат
Связанные понятия	Латинская площадь Слово квадрат Числовой скрэббл Загадка «Восемь королев» Магическая константа Магический график Волшебная серия