Главный обратный магический квадрат

Простой обратный магический квадрат — это магический квадрат, в котором используются десятичные цифры обратного числа простого .

Формулировка

Основы

В десятичных , единичных дробях ${\tfrac {1}{2}}$ и ${\tfrac {1}{5}}$ не имеют повторяющейся десятичной дроби , в то время как ${\tfrac {1}{3}}$ повторяет $0.3333\dots$ на неопределенный срок. Оставшаяся часть ${\tfrac {1}{7}}$, с другой стороны, повторяется более шести цифр, как, $$0.{\mathbf {1}}42857{\mathbf {1}}42857{\mathbf {1}}\dots$$

Следовательно, числа, кратные одной седьмой, демонстрируют циклические перестановки этих шести цифр:

$${\begin{aligned}1/7&=0.142857\dots \\2/7&=0.285714\dots \\3/7&=0.428571\dots \\4/7&=0.571428\dots \\5/7&=0.714285\dots \\6/7&=0.857142\dots \end{aligned}}$$

Если цифры расположены в виде квадрата , сумма каждой строки и столбца равна $1+4+2+8+5+7=27.$ Это дает наименьший ненормальный простой обратный магический квадрат с основанием 10.

$1$	$4$	$2$	$8$	$5$	$7$
$2$	$8$	$5$	$7$	$1$	$4$
$4$	$2$	$8$	$5$	$7$	$1$
$5$	$7$	$1$	$4$	$2$	$8$
$7$	$1$	$4$	$2$	$8$	$5$
$8$	$5$	$7$	$1$	$4$	$2$

В отличие от строк и столбцов, сумма диагоналей этого квадрата не равна 27; однако их среднее значение равно 27, поскольку одна диагональ добавляет 23, а другая — 31.

Все простые обратные числа по любой базе с $p-1$ period будет генерировать магические квадраты, в которых все строки и столбцы образуют магическую константу , и только несколько избранных будут заполнены , так что их диагонали, строки и столбцы в совокупности дают равные суммы.

Десятичные расширения

В полном или ином простом обратном магическом квадрате с $p-1$ период, четное число $k$−ые строки в квадрате располагаются кратно $1/p$ — не обязательно последовательно — где можно получить магическую константу.

Например, четный повторяющийся цикл из нечетного простого обратного числа $p$ который разделен на $n$−digit strings создает пары дополнительных последовательностей цифр, которые при сложении дают строки из девяток (9):

$${\begin{aligned}1/7=&{\text{ }}0.142\;857\dots \\+&{\text{ }}0.857\;142\ldots =6/7\\&------------\\&{\text{ }}0.999\;999\ldots \\\\1/13=&{\text{ }}0.076\;923\;076\;923\dots \\+&{\text{ }}0.923\;076\;923\;076\ldots =12/13\\&------------\\&{\text{ }}0.999\;999\;999\;999\ldots \\\\1/19=&{\text{ }}0.052631578\;947368421\dots \\+&{\text{ }}0.947368421\;052631578\ldots =18/19\\&------------\\&{\text{ }}0.999999999\;999999999\dots \\\end{aligned}}$$

Это результат теоремы Миди . Эти дополнительные последовательности генерируются между кратными простыми обратными числами , которые в сумме дают 1.

Точнее, фактор $n$ в числителе обратного простого числа $p$ соответственно сместит десятичные знаки своего десятичного расширения,

$${\begin{aligned}1/23&=0.04347826\;08695652\;173913\ldots \\2/23&=0.08695652\;17391304\;347826\ldots \\4/23&=0.17391304\;34782608\;695652\ldots \\8/23&=0.34782608\;69565217\;391304\ldots \\16/23&=0.69565217\;39130434\;782608\ldots \\\end{aligned}}$$

В этом случае коэффициент 2 перемещает повторяющуюся десятичную дробь ${\tfrac {1}{23}}$ на восемь мест.

Равномерное решение простого обратного магического квадрата, независимо от того, полное оно или нет, будет содержать строки с последовательными числами, кратными $1/p$. Могут быть построены и другие магические квадраты, строки которых не представляют собой последовательные кратные числа. $1/p$, которые, тем не менее, генерируют волшебную сумму.

Магическая константа

Магические квадраты, основанные на обратных простых числах $p$ в базах $b$ с периодами $p-1$ иметь магические суммы, равные,

$$M=(b-1)\times {\frac {p-1}{2}}.$$

В таблице ниже перечислены некоторые простые числа, которые генерируют магические квадраты простых чисел в заданных основаниях.

Основной	База	Волшебная сумма
19	10	81
53	12	286
59	2	29
67	2	33
83	2	41
89	19	792
211	2	105
223	3	222
307	5	612
383	10	1,719
397	5	792
487	6	1,215
593	3	592
631	87	27,090
787	13	4,716
811	3	810
1,033	11	5,160
1,307	5	2,612
1,499	11	7,490
1,877	19	16,884
2,011	26	25,125
2,027	2	1,013

Полные магические квадраты

The ${\mathbf {\tfrac {1}{19}}}$ магический квадрат с максимальным периодом 18 содержит общее число строк и столбцов 81, что также получается по обеим диагоналям. Это делает его первым полным, ненормальным простым обратным магическим квадратом с основанием 10, кратные числа которого помещаются внутри соответствующих чисел. $k$−ые строки:

$${\begin{aligned}1/19&=0.{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}{\color {red}1}\dots \\2/19&=0.1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}2\dots \\3/19&=0.1{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}6{\text{ }}3\dots \\4/19&=0.2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}{\color {red}3}{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4\dots \\5/19&=0.2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5\dots \\6/19&=0.3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6\dots \\7/19&=0.3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}{\color {red}1}{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7\dots \\8/19&=0.4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}{\color {red}3}{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8\dots \\9/19&=0.4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9\dots \\10/19&=0.5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0\dots \\11/19&=0.5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}{\color {red}6}{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1\dots \\12/19&=0.6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}{\color {red}8}{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2\dots \\13/19&=0.6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}0}{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3\dots \\14/19&=0.7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4\dots \\15/19&=0.7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}{\color {red}4}{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}{\color {red}6}{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5\dots \\16/19&=0.8{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}2}{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}8{\text{ }}9{\text{ }}4{\text{ }}{\color {red}7}{\text{ }}3{\text{ }}6\dots \\17/19&=0.8{\text{ }}{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}{\color {red}5}{\text{ }}7\dots \\18/19&=0.{\color {red}9}{\text{ }}4{\text{ }}7{\text{ }}3{\text{ }}6{\text{ }}8{\text{ }}4{\text{ }}2{\text{ }}1{\text{ }}0{\text{ }}5{\text{ }}2{\text{ }}6{\text{ }}3{\text{ }}1{\text{ }}5{\text{ }}7{\text{ }}{\color {red}8}\dots \\\end{aligned}}$$

Первые несколько простых чисел в десятичном формате, обратные числа которых можно использовать для создания ненормального, полного простого обратного магического квадрата этого типа:

{19, 383, 32327, 34061, 45341, 61967, 65699, 117541, 158771, 405817, ...} (последовательность A072359 в OEIS ).

Наименьшее простое число, дающее такой магический квадрат в двоичном виде, равно 59 (111011 ₂ ), а в троичном - 223 (22021 ₃ ); они указаны под номерами A096339 и A096660 .

Вариации

А ${\tfrac {1}{17}}$ простой обратный магический квадрат с максимальным периодом 16 и магической константой 72 может быть построен там, где его строки представляют собой непоследовательные кратные одной семнадцатой:

$${\begin{aligned}1/17&=0.{\color {blue}0}{\text{ }}5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;9\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;{\color {blue}7}\dots \\5/17&=0.2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;0\;5\;8\;8\;2\;{\color {blue}3}\;5\dots \\8/17&=0.4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;9\;4\;1\;{\color {blue}1}\;7\;6\dots \\6/17&=0.3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;0\;{\color {blue}5}\;8\;8\;2\dots \\13/17&=0.7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;{\color {blue}2}\;9\;4\;1\;1\dots \\14/17&=0.8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\;{\color {blue}6}\;4\;7\;0\;5\;8\dots \\2/17&=0.1\;1\;7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;{\color {blue}8}\;2\;3\;5\;2\;9\;4\dots \\10/17&=0.5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;{\color {blue}4}\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;0\dots \\16/17&=0.9\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;{\color {blue}7}\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\dots \\12/17&=0.7\;0\;5\;8\;8\;2\;{\color {blue}3}\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\;6\;4\dots \\9/17&=0.5\;2\;9\;4\;1\;{\color {blue}1}\;7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\;2\;3\dots \\11/17&=0.6\;4\;7\;0\;{\color {blue}5}\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\;1\;7\dots \\4/17&=0.2\;3\;5\;{\color {blue}2}\;9\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\;8\;8\dots \\3/17&=0.1\;7\;{\color {blue}6}\;4\;7\;0\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\;4\;1\dots \\15/17&=0.8\;{\color {blue}8}\;2\;3\;5\;2\;9\;4\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;{\color {blue}0}\;5\dots \\7/17&=0.{\color {blue}4}\;1\;1\;7\;6\;4\;7\;0\;5\;8\;8\;2\;3\;5\;2\;{\color {blue}9}\dots \\\end{aligned}}$$

Таким образом, этот полный магический квадрат является первым в своем роде десятичным числом, который не допускает равномерного решения, когда последовательные кратные числа $1/p$ вписываются в соответствующие $k$−ые строки.

См. также

• Циклическое число
• Обратные простые числа