Магическая константа

Информацию о безымянных числовых константах см. в разделе «Магическое число (программирование) § Безымянные числовые константы» .

Магическая константа или магическая сумма — магического квадрата это сумма чисел в любой строке, столбце или диагонали магического квадрата. Например, магический квадрат, показанный ниже, имеет магическую константу 15. Для обычного магического квадрата порядка n , то есть магического квадрата, который содержит числа 1, 2, ..., n ² – магическая константа $M=n\cdot {\frac {n^{2}+1}{2}}$.

Для обычных магических квадратов порядков n = 3, 4, 5, 6, 7 и 8 магическими константами являются соответственно: 15, 34, 65, 111, 175 и 260 (последовательность A006003 в OEIS ).Например, обычный квадрат 8 × 8 всегда будет равен 260 для каждой строки, столбца или диагонали.Нормальная магическая константа порядка n равна ⁠ n ³ + п / 2 ⁠ .Самая большая магическая константа обычного магического квадрата, которая также является:

• треугольное число равно 15 (решить диофантово уравнение x ² = и ³ + 16 y + 16, где y делится на 4);
• число квадратов равно 1 (решить диофантово уравнение x ² = и ³ + 4 y , где y четно);
• обобщенное пятиугольное число равно 171535 (решите диофантово уравнение x ² = и ³ + 144 y + 144, где y делится на 12);
• тетраэдрическое число 2925.

Обратите внимание, что 0 и 1 — единственные нормальные магические константы рационального порядка, которые также являются рациональными квадратами.

Однако существует бесконечно много рациональных треугольных чисел, рациональных обобщенных пятиугольных чисел и рациональных тетраэдрических чисел, которые также являются магическими константами рационального порядка.

Термин «магическая константа» или «магическая сумма» аналогичным образом применяется и к другим «магическим» фигурам, таким как волшебные звезды и магические кубы . Числовые фигуры на треугольной сетке, разделенные на равные области полиромба, содержащие равные суммы, дают магическую константу полиромба.

Волшебные звезды

Магическая константа n -конечной нормальной волшебной звезды равна $M=4n+2$.

Волшебная серия

В 2013 году Дирк Киннес нашел многогранник волшебной серии . Число уникальных последовательностей, образующих магическую константу, теперь известно с точностью до $n=1000$.

Момент инерции

В массовой модели значение в каждой ячейке определяет массу этой ячейки. Эта модель имеет два примечательных свойства. Во-первых, это демонстрирует сбалансированную природу всех магических квадратов. Если такую ​​модель подвешивать к центральной ячейке, конструкция уравновешивается. (рассмотрим магические суммы строк/столбцов... равная масса на равном расстоянии). Второе свойство, которое можно вычислить, — это момент инерции . Суммирование отдельных моментов инерции (квадрат расстояния от центра × значение ячейки) дает момент инерции магического квадрата, который зависит исключительно от порядка квадрата.

См. также

• Магическое число (физика)

Внешние ссылки

• 260 как магическая константа для задачи 8 ферзей и магического квадрата 8х8.
• Математические формулы гиперкуба