Мультимагический квадрат

В математике P - мультимагический квадрат (также известный как сатанинский квадрат ) — это магический квадрат даже если все его числа заменены их k -ми степенями для 1 ≤ k ≤ P. , который остается магическим , 2-мультимагические квадраты называются бимагическими , 3-мультимагические квадраты называются тримагическими , 4-мультимагические квадраты тетрамагическими , а 5-мультимагические квадраты пентамагическими .

Константы для обычных квадратов

Если квадраты нормальные , константу для степенных квадратов можно определить следующим образом:

Итоги бимагических рядов для бимагических квадратов также связаны с квадратно-пирамидальной числовой последовательностью следующим образом:
Квадраты 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, .... (последовательность A000290 в OEIS )
Сумма квадратов 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, ... (последовательность A000330 в OEIS ) (количество единиц в пирамиде с квадратным основанием)
Бимагическая серия — это 1-я, 4-я, 9-я в этой серии (деленная на 1, 2, 3, n ) и т. д., поэтому значения для строк и столбцов в порядке-1, порядке-2, порядке-3 бимагических квадратов будут равны 1. , 15, 95, 374, 1105, 2701, 5775, 11180, ... (последовательность A052459 в OEIS )

Тримагический ряд будет таким же образом связан с гиперпирамидальной последовательностью вложенных кубов.
Кубы 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, ... (последовательность A000578 в OEIS )
Сумма кубов 0, 1, 9, 36, 100, ... (последовательность A000537 в OEIS )
Значение для тримагических квадратов 1, 50, 675, 4624, ... (последовательность A052460 в OEIS )

Аналогично тетрамагическая последовательность
4-степень 0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, ... (последовательность A000583 в OEIS )
Сумма 4-степени 0, 1, 17, 98, 354, 979, 2275, ... (последовательность A000538 в OEIS )
Суммы тетрамагических квадратов 0, 1, 177, ... (последовательность A052461 в OEIS )

Бимагический квадрат

Бимагический квадрат — это магический квадрат, который остается магическим, когда все его числа заменяются соответствующими квадратами .

Первый известный бимагический квадрат имеет порядок 8, магическую константу 260 и бимагическую константу 11180.

существует нетривиальных Бенсен и Якоби предположили, что не существуют бимагические квадраты порядка меньше 8. Это было показано для магических квадратов, содержащих элементы от 1 до n. ² Бойером и Трампом.

Однако в 1998 году Дж. Р. Хендрикс смог показать, что не существует бимагического квадрата третьего порядка, за исключением тривиального бимагического квадрата, содержащего одно и то же число девять раз. Доказательство довольно простое: пусть наш бимагический квадрат будет следующим.

а	б	с
д	и	ж
г	час	я

Хорошо известно, что свойство магических квадратов состоит в том, что $a+i=2e$. Сходным образом, $a^{2}+i^{2}=2e^{2}$. Поэтому, $(a-i)^{2}=2(a^{2}+i^{2})-(a+i)^{2}=4e^{2}-4e^{2}=0$. Отсюда следует, что $a=e=i$. То же самое справедливо для всех линий, проходящих через центр.

Для квадратов 4 × 4 Люк Пебоди смог аналогичными методами показать, что единственные бимагические квадраты 4 × 4 (с точностью до симметрии) имеют вид

а	б	с	д
с	д	а	б
д	с	б	а
б	а	д	с

или

а	а	б	б
б	б	а	а
а	а	б	б
б	б	а	а

Бимагический квадрат 8×8.

16	41	36	5	27	62	55	18
26	63	54	19	13	44	33	8
1	40	45	12	22	51	58	31
23	50	59	30	4	37	48	9
38	3	10	47	49	24	29	60
52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

Сейчас (2010 г.) известны нетривиальные бимагические квадраты любого порядка от восьми до 64. Ли Вэнь из Китая создал первые известные бимагические квадраты порядков 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 53, 58, 59, 61. , 62 заполняя пробелы в последних неизвестных заказах.

В 2006 году Ярослав Вроблевский построил ненормальный бимагический квадрат порядка 6. Ненормальный означает, что он использует непоследовательные целые числа .

Также в 2006 году Ли Моргенштерн построил несколько ненормальных бимагических квадратов 7-го порядка.

Тримагический квадрат

Тримагический квадрат — это магический квадрат, который остается магическим, когда все его числа заменены соответствующими кубами .

К настоящему времени открыты тримагические квадраты порядков 12, 32, 64, 81 и 128; единственный известный тримагический квадрат 12-го порядка, приведенный ниже, был найден в июне 2002 года немецким математиком Вальтером Трампом .

1	22	33	41	62	66	79	83	104	112	123	144
9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
55	27	95	135	130	89	56	15	10	50	118	90
132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94

Высший порядок

Первый 4-магический квадрат был построен Шарлем Девимо в 1983 году и имел квадрат 256 порядка.

4-магический квадрат порядка 512 был построен в мае 2001 года Андре Вириселем и Кристианом Бойером .

Первый 5-магический квадрат порядка 1024 прибыл примерно через месяц, снова в июне 2001 года, от Вирицеля и Бойера. В январе 2003 года они также представили меньший 4-магический квадрат порядка 256. Еще один 5-магический квадрат порядка 729 был построен в июне 2003 года Ли Вэнем.

См. также

• Магический квадрат
• Дьявольский квадрат
• Волшебный куб
• Мультимагический куб

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Бимагический квадрат» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Тримагический квадрат» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Тетрамагический квадрат» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Пентамагический квадрат» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Мультимагический квадрат» . Математический мир .

Внешние ссылки

• multimagie.com
• puzzled.nl