Антимагический квадрат

Антимагический квадрат порядка n — это расположение чисел от 1 до n. ² в квадрате так, что суммы n строк, n столбцов и двух диагоналей образуют последовательность из 2 n + 2 последовательных целых чисел . Наименьшие антимагические квадраты имеют порядок 4. Антимагические квадраты контрастируют с магическими квадратами , где каждая строка, столбец и диагональная сумма должны иметь одинаковое значение.

Примеры

Закажите 4 антимагических квадрата.

↙ 34  2 15 5 13 → 35 16 3 7 12 → 38 9 8 14 1 → 32 6 4 11 10 → 31 ↓ 33 ↓ 30 ↓ 37 ↓ 36 ↘  29

↙ 32  1 13 3 12 → 29 15 9 4 10 → 38 7 2 16 8 → 33 14 6 11 5 → 36 ↓ 37 ↓ 30 ↓ 34 ↓ 35 ↘   31

В обоих этих антимагических квадратах четвертого порядка сумма строк, столбцов и диагоналей дает десять различных чисел в диапазоне 29–38.

Закажите 5 антимагических квадратов.

5 8 20 9 22 19 23 13 10 2 21 6 3 15 25 11 18 7 24 1 12 14 17 4 16

21 18 6 17 4 7 3 13 16 24 5 20 23 11 1 15 8 19 2 25 14 12 9 22 10

В антимагическом квадрате пятого порядка слева сумма строк, столбцов и диагоналей дает числа от 60 до 71. В антимагическом квадрате справа строки, столбцы и диагонали в сумме дают числа в диапазоне 59–70.

Обобщения

Разреженный антимагический квадрат (SAM) — это квадратная матрица размера n на n из неотрицательных целых чисел, ненулевые элементы которой являются последовательными целыми числами. $1,\ldots ,m$ для некоторых $m\leq n^{2}$, и чьи суммы строк и суммы столбцов составляют набор последовательных целых чисел. Если диагонали включены в набор последовательных целых чисел, массив известен как разреженный полностью антимагический квадрат (STAM). Обратите внимание, что STAM не обязательно является SAM, и наоборот.

Заполнение квадрата n × n числами от 1 до n ² в квадрате, в котором суммы строк, столбцов и диагоналей дают разные значения, называется гетероквадратом . (Таким образом, это релаксация, при которой не требуются конкретные значения для сумм строки, столбца и диагонали.) Не существует гетероквадратов порядка 2, но гетероквадраты существуют для любого порядка n ≥ 3: если n нечетно , заполнение квадрат по спирали даст гетероквадрат, и если n четно n , гетероквадрат получается в результате записи чисел от 1 до . ² по порядку, затем меняя местами 1 и 2. Предполагается, что существует ровно 3120 существенно различных гетероквадратов третьего порядка.

См. также

• Магический квадрат
• J. A. Lindon

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Антимагический квадрат» . Математический мир .