Магический график

Магический граф — это граф , ребра которого помечены первыми q положительными целыми числами , где q — количество ребер, так что сумма по ребрам, инцидентным любой вершине, одинакова, независимо от выбора вершины; или это граф с такой разметкой. Название «магия» иногда означает, что целые числа являются любыми положительными целыми числами; тогда граф и маркировка с использованием первых q положительных целых чисел называются супермагическими .

Граф является вершинно-магическим, если его вершины можно пометить так, чтобы сумма на любом ребре была одинаковой. Это настоящая магия , если его ребра и вершины можно пометить так, чтобы метка вершины плюс сумма меток на ребрах, инцидентных этой вершине, были константой.

Существует множество вариаций концепции магической разметки графа. Существует также большое разнообразие терминологии. Определения здесь, пожалуй, самые распространенные.

Подробные ссылки на магические маркировки и магические графики можно найти в Gallian (1998), Wallis (2001), Marr and Wallis (2013).

Магические квадраты

Диаграмма Эйлера требований некоторых типов магических квадратов 4 × 4. Ячейки одного цвета в сумме дают магическую константу. * В наиболее совершенных магических квадратах 4 × 4 любые 2 ячейки, находящиеся на расстоянии 2 ячеек по диагонали друг от друга (включая закругление), в сумме дают половину магической константы, следовательно, сумма любых 2 таких пар также равна магической константе.

Полумагический квадрат — это квадрат размером n × n с числами от 1 до n. ² в его ячейках, в которых суммы каждой строки и столбца одинаковы. Полумагический квадрат эквивалентен магической маркировке полного двудольного графа K _{n , n} . Два набора вершин K _{n , n} соответствуют строкам и столбцам квадрата соответственно, а метка на ребре r _is   представляет собой _j значение в строке i и столбце j полумагического квадрата.

Определение полумагических квадратов отличается от определения магических квадратов трактовкой диагоналей квадрата. Магические квадраты должны иметь диагонали с той же суммой, что и суммы строк и столбцов, но для полумагических квадратов это не требуется. Таким образом, каждый магический квадрат является полумагическим, но не наоборот.

Ссылки

• Нора Хартсфилд и Герхард Рингель (1994, 2003), «Жемчужины в теории графов» , исправленное издание. Dover Publications, Минеола, Нью-Йорк Раздел 6.1.
• У.Д. Уоллис (2001), Магические графики . Биркхойзер Бостон, Бостон, Массачусетс. ISBN   0-8176-4252-8
• Элисон М. Марр и У.Д. Уоллис (2013), Magic Graphs . Второе издание. Биркхойзер/Спрингер, Нью-Йорк. ISBN   978-0-8176-8390-0 ; 978-0-8176-8391-7
• Джозеф А. Галлиан (1998), Динамический обзор разметки графов. Электронный журнал комбинаторики , вып. 5, Динамическое обследование 6. Обновлялось много раз.