Магический гиперкуб

В математике магический гиперкуб — ​​это k -мерное обобщение магических квадратов и магических кубов , то есть n × n × n ×...× n массив целых чисел размера такой, что суммы чисел на каждом столбе (вдоль любого оси), а также на главных диагоналях пространства одинаковы. Общая сумма называется магической константой гиперкуба и иногда обозначается M _k ( n ). Если магический гиперкуб состоит из чисел 1, 2, ..., n ^к , то у него есть магическое число

$M_{k}(n)={\frac {n(n^{k}+1)}{2}}$.

Для k = 4 магический гиперкуб можно назвать магическим тессерактом с последовательностью магических чисел, заданной OEIS : A021003 .

Длина стороны n магического гиперкуба называется его порядком . Четырех-, пяти-, шести-, семи- и восьмимерные магические гиперкубы третьего порядка были построены Дж. Р. Хендриксом .

Мариан Тренклер доказала следующую теорему:p -мерный магический гиперкуб порядка n существует тогда и только тогда, когда p > 1 и n отлично от 2 или p = 1. Из доказательства следует конструкция магического гиперкуба.

Язык программирования R включает модуль, library(magic), который создаст волшебные гиперкубы любого измерения с n, кратным 4.

Совершенные магические гиперкубы

См. также: Классы Magic Cube.

Если, кроме того, сумма чисел на каждой диагонали поперечного сечения также равна магическому числу гиперкуба, гиперкуб называется совершенным магическим гиперкубом ; иначе его называют полусовершенным магическим гиперкубом . Число n называется порядком магического гиперкуба.

Это определение «идеального» предполагает, что используется одно из старых определений идеальных магических кубов. Универсальная система классификации гиперкубов (Джон Р. Хендрикс) требует, чтобы для гиперкуба любого измерения все возможные линии суммировались правильно, чтобы гиперкуб считался совершенным волшебством. Из-за путаницы с термином идеальный» , насик теперь является предпочтительным термином для любого магического гиперкуба, где сумма всех возможных линий равна S. « Так Насик был определен К. Планком в 1905 году. Магический гиперкуб Насика имеет ⁠ 1 / 2 ⁠ (3 ^н − 1) строки из m чисел, проходящие через каждую из m ^н клетки.

Магические гиперкубы Насика

— Магический гиперкуб Насика это магический гиперкуб с дополнительным ограничением, согласно которому сумма всех возможных строк в каждой ячейке равна S = ⁠ м ( м ^н +1/2 m ⁠ n где S — магическая константа, — порядок, а — размерность гиперкуба.

Или, говоря более кратко, все пан- r -гогоны правильно суммируются при r = 1... n . Это определение совпадает с определением совершенства , данным Хендриксом , но отличается от определения Бойера/Трампа.

Термин насик будет применяться ко всем измерениям магических гиперкубов, в которых количество правильно суммируемых путей (линий) через любую ячейку гиперкуба равно P = ⁠ 3 ^н − 1 / 2 ⁠ .

Пандиагональный магический квадрат тогда был бы квадратом Насика , потому что через каждую из m проходят 4 магические линии. ² клетки. Это было первоначальное определение насика, данное А. Х. Фростом. Магический куб насика будет иметь 13 магических линий, проходящих через каждую его м. ³ клетки. (Этот куб также содержит 9 m пандиагональных магических квадратов порядка m .) Магический тессеракт насика будет иметь 40 линий, проходящих через каждый из m его квадратов. ⁴ клетки и так далее.

История

В 1866 и 1878 годах преподобный А.Х. Фрост ввёл термин Насик для обозначения типа магического квадрата, который мы обычно называем пандиагональным и часто называем идеальным . Затем он продемонстрировал эту концепцию на примере куба 7-го порядка, который мы теперь классифицируем как пандиагональный , и куба 8-го порядка, который мы классифицируем как пантриагональный . В другой статье 1878 года он показал еще один пандиагональный магический куб и куб, в котором все 13 -метровые линии суммируются правильно. т.е. Хендрикс идеален . Он назвал все эти кубики насиком в знак уважения к великому индийскому математику Д.Р. Капрекару, который родом из Деолали в Насик округе в Махараштре , Индия .В 1905 году доктор Планк расширил идею насика в своей «Теории путей Насика». Во введении к своей статье он написал;

Аналогия предполагает, что в высших измерениях нам следует использовать термин «насик», подразумевающий существование магических сумм, параллельных любой диагонали, а не ограничивать его диагоналями в сечениях, параллельных граням плоскости. В данной статье этот термин используется в этом более широком смысле.

- К. Планк, Массачусетс, MRCS, Теория путей Насик, 1905 г.

В 1917 году доктор Планк снова написал на эту тему.

Нетрудно догадаться, что если мы перенесем аналогию Насика на более высокие измерения, то число магических направлений через любую ячейку k-сложения должно составлять ½(3 ^к -1).

- У.С. Эндрюс, Магические квадраты и кубы, Dover Publ., 1917, стр. 366.

В 1939 году Б. Россер и Р. Дж. Уокер опубликовали серию статей о дьявольских (совершенных) магических квадратах и ​​кубах. Там особо упомянули, что в этих кубах 13 м ² правильно суммировать строки. У них также были 3 -метровые пандиагональные магические квадраты, параллельные граням куба, и 6 -метровые пандиагональные магические квадраты, параллельные пространственно-диагональным плоскостям.

Обозначения

для того, чтобы держать дело в руках, были разработаны специальные обозначения:

• $\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$: позиции внутри гиперкуба
• $\left\langle {}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right\rangle$: вектор через гиперкуб

Примечание. Обозначение позиции также можно использовать для значения этой позиции. Затем, где это уместно, к нему можно добавить размерность и порядок, образуя таким образом: ^н [ _к я ] _м

Как указано, k проходит через измерения, в то время как координата i проходит через все возможные значения, когда значения i выходят за пределы диапазона, она просто перемещается обратно в диапазон путем добавления или вычитания соответствующих кратных m , поскольку магический гиперкуб находится в n -мерное модульное пространство.

В скобках может быть несколько k , они не могут иметь одно и то же значение, хотя и в неопределенном порядке, что объясняет равенство:

$\left[{}_{1}i,{}_{k}j\right]=\left[{}_{k}j,{}_{1}i\right]$

Конечно, учитывая k, одно значение i также упоминается .

Когда упоминается конкретное значение координаты, другие значения могут быть приняты за 0, что особенно актуально, когда количество «k» ограничено с помощью pe. # k = 1 как в:

$\left[{}_{k}1;\ \#k=1\right]=\left[{}_{k}1\ \ {}_{j}0\ ;\ \#k=1;\ \#j=n-1\right]$("осевой"-сосед $\left[{}_{k}0\right]$ )

(#j=n-1 можно оставить неуказанным) j теперь проходит через все значения в [0..k-1,k+1..n-1].

Далее: без ограничений указанные 'k' и 'i' перебирают все возможные значения, в сочетаниях одни и те же буквы принимают одинаковые значения. Таким образом, можно указать конкретную линию внутри гиперкуба (см. r-агональ в разделе поиска пути).

Примечание: насколько мне известно, это обозначение еще не широко используется (?), Гиперкубы обычно не анализируются таким конкретным образом.

Далее: « perm(0..n-1) » определяет перестановку n чисел 0..n-1.

Строительство

Помимо более специфических конструкций, заметны еще два общих метода построения:

РыцарьПрыжковая конструкция

Данная конструкция обобщает движение шахматных коней (векторы $\langle 1,2\rangle ,\langle 1,-2\rangle ,\langle -1,2\rangle ,\langle -1,-2\rangle$) к более общим движениям (векторы $\langle {}_{k}i\rangle$). Метод начинается с позиции P ₀ и дальнейшие числа последовательно размещаются в позициях. $V_{0}$ далее до тех пор, пока (через m шагов) не будет достигнута позиция, которая уже занята, необходим дальнейший вектор для поиска следующей свободной позиции. Таким образом, метод определяется матрицей n на n+1:

$[P_{0},V_{0}\dots V_{n-1}]$

Это позиционирует число «k» в позиции:

$P_{k}=P_{0}+\sum _{l=0}^{n-1}((k\backslash m^{l})\ \%\ m)V_{l};\quad k=0\dots m^{n}-1.$

К. Планк приводит в своей статье 1905 года « Теория пути Насика » условия для создания с помощью этого метода «Пути Насика» (или современных {совершенных}) гиперкубов.

Латинская конструкция рецепта

(модульные уравнения).Этот метод также определяется матрицей размером n на n+1. Однако на этот раз он умножает вектор n+1 [x ₀ ,..,x _n-1 ,1]. После этого умножения результат берется по модулю m для получения n (латинских) гиперкубов:

LP  k  = (  l=0  Σ n-1  LP  k,l  x  l  + LP  k,n  ) % m 

чисел по системе счисления m (также называемых « цифрами »). На этих LP _k обычно применяется « изменение цифр » (т.е. базовые манипуляции) до того, как эти LP _k объединяются в гиперкуб:

н Ч  м  =  k=0  Σ n-1  ЛП  км ​ к 

Дж.Р.Хендрикс часто использует модульное уравнение, условия для создания гиперкубов различного качества можно найти на http://www.magichypercubes.com/Encyclepedia в нескольких местах (особенно в p-разделе).

Оба метода заполняют гиперкуб числами, прыжок конем гарантирует (при наличии соответствующих векторов), что присутствует каждое число. Латинское предписание только в том случае, если компоненты ортогональны (нет двух цифр, занимающих одну и ту же позицию).

Умножение

Среди различных способов сложения, умножение можно считать основным из этих методов. Основное умножение определяется следующим образом:

н Ч  м  1  * н Ч  м  2  : н [  k  я ]  м  1  м  2  знак равно н [ [[  k  я \ м  2  ]  м  1  м  1 н ]  м  2  + [  k  i % м  2  ]  м  2  ]  м  1  м  2 

Большинство методов соединения можно рассматривать как вариации вышеперечисленных. Поскольку большинство квалификаторов инвариантны при умножении, можно, например, разместить любой аспектуальный вариант ^н H _{m 2} в приведенном выше уравнении, кроме того, к результату можно применить манипуляцию для улучшения качества. Таким образом, можно указать на удвоение Дж. Р. Хендрикса/М. Тренклара. Эти вещи выходят за рамки данной статьи.

Аспекты

Гиперкуб знает ! 2 ^н Аспектные варианты, которые получаются путем отражения координат ([ _k i] --> [ _k (-i)]) и перестановок координат ([ _k i] --> [ _perm[k] i]), эффективно дающих аспектный вариант:

н Ч  м ~R перм(0..n-1) ; р =  к=0  Σ n-1  ((отражать(к)) ? 2 к  : 0) ; perm(0..n-1) перестановка 0..n-1 

Гдеreflect(k) истинно тогда и только тогда, когда координата k отражается, только тогда 2 ^к добавляется к Р.Как легко видеть, можно отобразить только n координат, объясняющих 2 ^н , затем! перестановка n координат объясняет другой фактор в общем количестве «Аспектных вариантов»!

Аспектные варианты обычно считаются равными. Таким образом, любой гиперкуб можно представить в «нормальном положении» следующим образом:

[  k  0] = min([  k  θ ; θ ε {-1,0}]) (путем отражения)[  к  1 ; #k=1] < [  k+1  1 ; #к=1] ; k = 0..n-2 (перестановкой координат) 

(здесь явно указано: [ _k 0] минимум всех угловых точек. Сосед по осям последовательно на основе номера оси)

Основные манипуляции

Помимо более конкретных манипуляций, следующие имеют более общий характер.

• #[perm(0..n-1)] : перестановка компонентов
• ^[perm(0..n-1)] : перестановка координат (n == 2: транспонирование)
• _2 ^ось [perm(0..m-1)] : моногональная перестановка (ось ε [0..n-1])
• =[perm(0..m-1)] : изменение цифры

Примечание. '#', '^', '_' и '=' являются важной частью обозначения и используются в качестве селекторов манипуляций.

Перестановка компонентов

Определяется как обмен компонентами, при этом варьируется коэффициент m ^к в м ^{пермь(к)} , поскольку существует n компонентных гиперкубов, перестановка происходит по этим n компонентам

Координатная перестановка

Обмен координаты [ _ki ] на [ _perm(k) i], поскольку для n координат требуется перестановка по этим n направлениям. Термин транспонирование (обычно обозначаемый ^т ) используется с двумерными матрицами, хотя, возможно, предпочтительнее может быть «перестановка координат».

Монагональная перестановка

Определяется как изменение [ _k i ] на [ _k perm(i) ] вдоль заданного «осевого» направления. Равные перестановки по различным осям можно объединить, сложив множители 2 ^ось . Тем самым определяя все виды r-угольных перестановок для любого r. Легко видеть, что все возможности задаются соответствующей перестановкой m чисел.

Следует отметить, что отражение является особым случаем:

~R = _R[n-1,..,0] 

Далее, когда все оси подвергаются одной и той же перестановке (R = 2 ^н -1) достигается n-угольная перестановка . В этом особом случае буква «R» обычно опускается, поэтому:

_[perm(0..n-1)] = _(2 н -1)[пермь(0..n-1)] 

Изменение цифр

Обычно применяется на уровне компонента и может рассматриваться как [ _ki ] в perm([ _ki ] ), поскольку компонент заполнен цифрами по системе счисления m, перестановка по m чисел является подходящим способом их обозначения.

Следопыты

Дж. Р. Хендрикс назвал направления внутри гиперкуба « путеводителями ». Эти направления проще всего обозначить в троичной системе счисления как:

Pf  p  где: p =  k=0  Σ n-1  (  к  я + 1) 3 к  <==> <  k  i> ; я ε {-1,0,1} 

Это дает 3 ^н направления. поскольку каждое направление пересекается в обе стороны, можно ограничиться верхней половиной [(3 ^н -1)/2,..,3 ^н -1)] полного диапазона.

С помощью этих указателей пути можно указать любую линию для суммирования (или r-угольную):

[  j  0  k  п  л  q ; #j=1 #k=r-1; k > j ] <  j  1  k  θ  л  0 ; θ ε {-1,1} > ; p,qε [0,..,m-1] 

который определяет все (сломанные) r-агоны, диапазоны p и q могут быть опущены из этого описания. Таким образом, основные (непрерывные) r-агоны получаются путем небольшой модификации предыдущего:

[  j  0  k  0  l  -1  с  п ; #j=1 #k+#l=r-1 ; k,l > j ] <  j  1  k  1  l  -1  с  0 > 

Квалификация

Гиперкуб ^н H _m с номерами в аналитическом диапазоне чисел [0..m ^н -1] имеет волшебную сумму:

н S  м  = м (м н  - 1) / 2. 

Помимо более конкретных требований, наиболее важными являются следующие: «суммирование», конечно, означает «правильное суммирование до волшебной суммы».

• { r-agonal } : суммируются все основные (неразрывные) r-угольники.
• { pan r-agonal } : суммируются все (целые и сломанные) r-угольники.
• { магия } : {1-угольная n-угольная}
• { идеально } : {панорама r-угольная; г = 1..n}

Примечание. Эта серия не начинается с 0, поскольку нуль-угольника не существует, цифры соответствуют обычным названиям: 1-угольник = моногональ, 2-угольник = диагональ, 3-угольник = тригонал и т. д. Помимо этого, число соответствует количеству «-1» и «1» в соответствующем поиске пути.

В случае, если гиперкуб также суммируется, когда все числа возведены в степень p, получаются p-мультимагические гиперкубы. Вышеупомянутые квалификаторы просто добавляются к квалификатору p-multimagic. Это определяет квалификацию как {r-агональную 2-магию}. Здесь также «2-» обычно заменяется на «би», «3-» на «три» и т. д. («1-магия» будет «мономагией», но «моно» обычно опускается). Сумма для p-Multimagic гиперкубов может быть найдена по формуле Фаульхабера и разделена на m. ^n-1 .

Также обычно предполагается «магия» (т.е. {1-угольный n-угольный}), куб Трампа/Бойера {диагональный} технически рассматривается как {1-угольный 2-угольный 3-угольный}.

Магический гиперкуб Насика дает аргументы в пользу использования { насик } как синонима { совершенному }. Однако странное обобщение понятия «квадрат» «идеально» до использования его как синонима {диагональ} в кубах также разрешается путем помещения квалификаторов в фигурные скобки, поэтому { совершенно } означает {панорама r-агональ; r = 1..n} (как упоминалось выше).

некоторые незначительные квалификации:

• { ^н компактный } : {все субгиперкубы порядка 2 в сумме дают 2 ^{н н} С _м /м}
• { ^н Complete } : {все пары делят пополам n-угольную сумму, равную (to (m ^н - 1)}

{ ^н компактный } можно записать так: _(k) Σ [ _j i + _k 1] = 2 ^{н н} С _м /м . { ^н Complete } можно просто записать как: [ _j i] + [ _j i + _k (m/2) ; #k=n ] = м ^н - 1 где:

_(k) Σ символично суммирует все возможные k, существует 2 ^н возможности для _k 1.

[ _j i + _k 1] выражает [ _j i] и всех его r-угольных соседей.

для {complete} дополнение к [ _j i] находится в позиции [ _j i + _k (m/2) ; #k=n].

для квадратов: { ² компактный ² Complete } — это «современная/альтернативная характеристика» того, что дама Кэтлин Оллереншоу назвала наиболее совершенным магическим квадратом , { ^н компактный ^н Complete} — это квалификатор функции в более чем двух измерениях.

Внимание: некоторые люди, похоже, приравнивают {compact} к { ² компактный} вместо { ^н компактный}. Поскольку эта вводная статья не место для обсуждения подобных вопросов, я поместил размерный предварительный индекс. ^н для обоих этих квалификаторов (которые определены, как показано) последствия { ^н компактный} заключается в том, что несколько фигур также суммируются, поскольку их можно сформировать путем сложения/вычитания субгиперкубов 2-го порядка. Подобные вопросы выходят за рамки данной статьи.

Магический гиперлуч

Магический гиперлуч ( n-мерный магический прямоугольник ) — это разновидность магического гиперкуба, где порядок вдоль каждого направления может быть разным. По существу, магический гиперлуч обобщает двухмерный магический прямоугольник и трехмерный магический луч , серию, которая имитирует серию магический квадрат , магический куб и магический гиперкуб. Эта статья будет очень подробно имитировать статью о магических гиперкубах , и она служит просто введением в тему.

Конвенции

принято обозначать Размер буквой «n», а порядки гипербалки — буквой «m» (к которой добавляется подстрочный номер направления, к которому он относится).

• ( n ) Размерность : количество направлений внутри гиперлуча.
• ( m _k ) Порядок : количество чисел вдоль k- го моногона k = 0, ..., n - 1.

Далее: В этой статье диапазон аналитических чисел [0.. _k=0 Π ^n-1 m _k -1] используется.

Обозначения

для того, чтобы держать дело в руках, были разработаны специальные обозначения:

• [ _к я; к=[0..n-1]; i=[0..m _k -1] ] : позиции внутри гиперлуча
• ⟨⟩ : векторы через гиперлуч

Примечание. Обозначение позиции также можно использовать для значения этой позиции. Там, где это необходимо, к нему можно добавить размерность и заказы, образовав таким образом: ^н [ _k i] _{m 0 ,..,m n-1}

Строительство

Базовый

Здесь можно было бы разместить описание более общих методов, я не часто создаю гиперлучи, поэтому не знаю, подойдет ли здесь Knightjump или Latin Prescription.В тех случаях, когда мне нужен гиперлуч, достаточно других, более специальных методов.

Умножение

Среди различных способов сложения, умножение можно считать основным из этих методов. Основное умножение определяется следующим образом:

^н Б _{(м..) 1} * ^н Б _{(м..) 2} : ^н [ _k i] _{(м..) 1 (м..) 2} = ^н [ [[ _k i \ m _k2 ]] _{(м..) 1 k=0} Π ^n-1 m _k1 ] _{(м..) 2} + [ _k i % m _k2 ] _{(м..) 2} ] _{(м..) 1 (м..) 2}

(м..) сокращает: m ₀ ,..,m _n-1 . (м..) ₁ (м..) ₂ сокращенно: м _{0 1} м _{0 2} ,..,м _{н-1 1} м _{н-1 2} .

Курьезы

все порядки либо четные, либо нечетные

Факт, который легко увидеть, поскольку волшебные суммы таковы:

S _k = m _k ( _j=0 Π ^n-1 м _ж - 1)/2

Когда любой из порядков m _k четен, произведение четно, и, таким образом, единственный способ, которым S _k окажется целым, — это когда все m _k четны. Итак, достаточно: все m _k либо четны, либо нечетны.

Конечно , за исключением m _k =1, который допускает общие тождества, такие как:

• Н· _м ^т = Н _м,1 * Н _1,м
• Н _м = Н _1,м * Н _м,1

Что выходит за рамки этой вводной статьи.

Только одно направление с заказом = 2

поскольку любое число имеет только одно дополнение, только одно из направлений может иметь m _k = 2.

Аспекты

Гиперлуч знает 2 ^н Аспектные варианты, полученные путем координатного отражения ([ _k i] → [ _k (-i)]), фактически дающие аспектный вариант:

н Б  (м  0  ..м  н-1  ) ~р  ; р =  к=0  Σ n-1  ((отражать(к)) ? 2 к  : 0) ; 

Гдеreflect(k) true тогда и только тогда, когда координата k отражается, только тогда 2 ^к добавляется к Р.

Если рассматривать разные ориентации луча как равные, можно увидеть количество аспектов n! 2 ^н так же, как и в случае с волшебными гиперкубами , направления с одинаковыми порядками вносят факторы, зависящие от порядков гиперлуча. Это выходит за рамки данной статьи.

Основные манипуляции

Помимо более конкретных манипуляций, следующие имеют более общий характер.

• ^[perm(0..n-1)] : перестановка координат (n == 2: транспонирование)
• _2 ^ось [perm(0..m-1)] : моногональная перестановка (ось ε [0..n-1])

Примечание. «^» и «_» являются важной частью обозначения и используются в качестве селекторов манипуляций.

Координатная перестановка

Замена координаты [ _k i] на [ _perm(k) i], поскольку для n координат требуется перестановка по этим n направлениям. Термин транспонирование (обычно обозначаемый ^т ) используется с двумерными матрицами, хотя, возможно, предпочтительнее может быть «перестановка координат».

Монагональная перестановка

Определяется как изменение [ _k i ] на [ _k perm(i) ] вдоль заданного «осевого» направления. Равные перестановки по разным осям с одинаковыми порядками можно объединить, сложив множители 2. ^ось . Тем самым определяя все виды r-угольных перестановок для любого r. Легко видеть, что все возможности задаются соответствующей перестановкой m чисел.

нормальное положение

В случае, если никакие ограничения на n-угольники не учитываются, магический гиперлуч может быть представлен в «нормальном положении» следующим образом:

[ _k i] < [ _k (i+1)] ; i = 0..m _k -2 (монагональной перестановкой)

Квалификация

Квалификационный гиперлуч менее развит, чем в магических гиперкубах, фактически только k-е моногональное направление должно суммироваться, чтобы:

S _k = m _k ( _j=0 Π ^n-1 м _ж - 1)/2

для всех k = 0..n-1, чтобы гиперлуч был квалифицирован { magic }

Когда порядки не являются относительно простыми, n-угольная сумма может быть ограничена:

S = lcm(m _i ; i = 0..n-1) ( _j=0 Π ^n-1 м _ж - 1)/2

когда все порядки относительно простые, это достигает максимума:

S _макс = _j=0 Π ^n-1 m _j ( _j=0 Π ^n-1 м _ж - 1)/2

Специальные гиперлучи

Следующие гиперлучи служат специальным целям:

«Обычный гиперлуч»

^н N _{m 0 ,..,m n-1} : [ _k i] = _k=0 Σ ^n-1 _{ок я} м _к ^к

Этот гиперлуч можно рассматривать как источник всех чисел. Процедура под названием «Динамическая нумерация» использует изоморфизм каждого гиперлуча с этим нормалем, меняя источник, меняя гиперлуч. Особую роль играют базовые умножения нормальных гиперлучов при «Динамической нумерации» магических гиперкубов порядка _k=0 Π. ^n-1 м ^к .

«Константа 1»

^н 1 _{м 0 ,..,м n-1} : [ _k i] = 1

Гиперлуч, который обычно добавляется для изменения используемого здесь «аналитического» диапазона чисел на «обычный» диапазон чисел. Другие постоянные гиперлучи, конечно, кратны этому.

См. также

• Классы магических кубов
• Волшебный куб
  • Идеальный волшебный куб
• Джон Р. Хендрикс

Дальнейшее чтение

• Томас Р. Хагедорн, О существовании магических n-мерных прямоугольников, Discrete Mathematics 207 (1999), 53–63.
• Томас Р. Хагедорн, Еще раз о магических прямоугольниках, Discrete Mathematics 207 (1999), 65–72.
• Харви Д. Хайнц и Джон Р. Хендрикс, Лексикон магического квадрата: иллюстрировано, опубликовано самостоятельно, 2000 г., ISBN   0-9687985-0-0 .
• Дж. Р. Хендрикс: Преобразование магических квадратов в тессеракт с помощью компьютера, самостоятельная публикация, 1998, 0-9684700-0-9
• Планк, К., Массачусетс, MRCS, Теория путей Насик, 1905 г., напечатано для частного обращения. Вступительное письмо к статье
• Мариан Тренклер, Волшебные прямоугольники, The Mathematical Gazette 83 (1999), 102–105.

Внешние ссылки

• Статьи Магической энциклопедии Але де Винкель
• Волшебные кубы и гиперкубы — ссылки, собранные Мэриан Тренклер
  • Алгоритм изготовления магических кубиков Мариан Тренклер
• multimagie.com Статьи Кристиана Бойера
• Magichypercube.com Генератор волшебных кубов
• История, определения и примеры совершенных магических кубов и других измерений.
• Альтернативное определение Perfect с историей недавних открытий.
• Подробнее об этом альтернативном определении.
• Энциклопедия Magic Hypercube с широким спектром материалов.
• Единая система классификации гиперкубов.
• Продолжающаяся амбициозная работа по классификации магических кубов и тессерактов.
• Разнообразие материалов Джона Р. Хендрикса, написанных под его руководством.
• http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia
• Мариан Тренклар Cube-Ref.html
• Мицутоши Накамура: Прямоугольники
• Куб Мира