Обратные простые числа

обратные простым числам интересовали математиков по разным причинам. Они не имеют конечной суммы , как Леонард Эйлер доказал в 1737 году.

Подобно рациональным числам , обратные простым числам имеют повторяющиеся десятичные представления. В последние годы своей жизни Джордж Салмон (1819–1904) интересовался повторяющимися периодами этих десятичных представлений обратных простых чисел. ^[1]

Одновременно с этим Уильям Шэнкс (1812–1882) рассчитал многочисленные обратные числа простых чисел и их повторяющиеся периоды и опубликовал в 1873 году две статьи «О периодах в обратных числах простых чисел». ^[2] и 1874. ^[3] В 1874 году он также опубликовал таблицу простых чисел и периодов их обратных величин до 20 000 (с помощью и «сообщенных преподобным Джорджем Сэлмоном») и указал на ошибки в предыдущих таблицах трех других авторов. ^[4]

Последняя часть таблицы простых чисел и их повторяющихся периодов, составленной Шанксом в 1874 году. В верхнем ряду 6952 должно быть 6592 (ошибку легко обнаружить, поскольку период простого числа

p

должен делить

p - 1

). В своем отчете, расширяющем таблицу до 30 000 в том же году, Шанкс не сообщил об этой ошибке, но сообщил, что в том же столбце, напротив 19841, 1984 год должен быть 64. *Еще одна ошибка, которая, возможно, была исправлена после публикации его работы. напротив 19423, обратное число повторяется каждые 6474 цифры, а не каждые 3237.

Правила расчета периодов повторяющихся десятичных дробей из рациональных дробей были даны Джеймсом Уитбридом Ли Глейшером в 1878 году. ^[5] Для простого числа $p$ период обратного числа делит $p - 1$ . ^[6]

Последовательность периодов повторения обратных простых чисел (последовательность A002371 в OEIS ) появляется в Справочнике целочисленных последовательностей 1973 года.

Список обратных простых чисел

Основной ( п )	Период длина	Взаимный (1/ п )
2	0	0.5
3	† 1	0. 3
5	0	0.2
7	* 6	0. 142857
11	† 2	0. 09
13	6	0. 076923
17	* 16	0. 0588235294117647
19	* 18	0. 052631578947368421
23	* 22	0. 0434782608695652173913
29	* 28	0. 0344827586206896551724137931
31	15	0. 032258064516129
37	† 3	0. 027
41	5	0. 02439
43	21	0. 023255813953488372093
47	* 46	0. 0212765957446808510638297872340425531914893617
53	13	0. 0188679245283
59	* 58	0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661
61	* 60	0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459
67	33	0. 014925373134328358208955223880597
71	35	0. 01408450704225352112676056338028169
73	8	0. 01369863
79	13	0. 0126582278481
83	41	0. 01204819277108433734939759036144578313253
89	44	0. 01123595505617977528089887640449438202247191
97	* 96	0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567
101	† 4	0. 0099
103	34	0. 0097087378640776699029126213592233
107	53	0. 00934579439252336448598130841121495327102803738317757
109	* 108	0. 009174311926605504587155963302752293577981651376146788990825688073394495412844036697247706422018348623853211
113	* 112	0. 0088495575221238938053097345132743362831858407079646017699115044247787610619469026548672566371681415929203539823
127	42	0. 007874015748031496062992125984251968503937

* Полные повторяющиеся простые числа выделены курсивом.
† Уникальные простые числа выделены.

Премиум отчет

Полная повторная премьера , полная повторная премьера , следующая премьера ^[7]^: 166 или длинное простое число по основанию b — это нечетное простое число p такое, что частное Ферма

q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}

(где p не делит b ) дает циклическое число с p − 1 цифрами. Следовательно, по основанию b разложение $1/p$ повторяет цифры соответствующего циклического числа бесконечно.

Уникальные простые числа

Простое число p (где p ≠ 2, 5 при работе с основанием 10) называется уникальным, если не существует другого простого числа q такого, что длина периода десятичного разложения его обратного числа 1/ p равна длине периода обратное q , 1/ q . ^[8] Например, 3 — единственное простое число с периодом 1, 11 — единственное простое число с периодом 2, 37 — единственное простое число с периодом 3, 101 — единственное простое число с периодом 4, поэтому они являются уникальными простыми числами. Следующее большее уникальное простое число — 9091 с периодом 10, хотя следующий больший период — 9 (его простое число — 333667). Уникальные простые числа были описаны Сэмюэлем Йейтсом в 1980 году. ^[9] Простое число p уникально тогда и только тогда, когда существует n такое, что

{\frac {\Phi _{n}(10)}{\gcd(\Phi _{n}(10),n)}}

является степенью p , где $\Phi _{n}(b)$ обозначает $n$ круговой полином, оцененный в $b$ . Тогда значение n будет периодом десятичного разложения 1/ p . ^[10]

более пятидесяти десятичных уникальных простых или вероятных простых чисел В настоящее время известно . Однако существует только двадцать три уникальных простых числа ниже 10. ¹⁰⁰.

Десятичные уникальные простые числа:

3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, ... (последовательность A040017 в OEIS ).

Ссылки

^ «Уведомления о некрологе - Джордж Салмон» . Труды Лондонского математического общества . Вторая серия. 1 : xxii – xxviii. 1904 год . Проверено 27 марта 2022 г. ... была одна отрасль вычислений, которая его очень увлекала. Это было определение количества цифр в повторяющихся периодах в обратных простых числах.
^ Шанкс, Уильям (1873). «О периодах в обратных простых числах» . Вестник математики . II : 41–43 . Проверено 27 марта 2022 г.
^ Шанкс, Уильям (1874). «О периодах в обратных простых числах» . Вестник математики . III : 52–55 . Проверено 27 марта 2022 г.
^ Шанкс, Уильям (1874). «О количестве цифр в периоде, обратном каждому простому числу ниже 20 000» . Труды Лондонского королевского общества . 22 : 200–210 . Проверено 27 марта 2022 г.
^ Глейшер, JWL (1878). «О обращающихся десятичных дробях со специальной ссылкой на «Таблицу кругов» Генри Гудвина и «Табличную серию десятичных частных» » . Труды Кембриджского философского общества: Математические и физические науки . 3 (В): 185–206 . Проверено 27 марта 2022 г.
^ Кук, Джон Д. «Обратные простые числа» . johndcook.com . Проверено 6 апреля 2022 г.
^ Диксон, Леонард Э., 1952, История теории чисел, Том 1 , Chelsea Public. Ко.
^ Колдуэлл, Крис. «Уникальный премьер» . Главные страницы . Проверено 11 апреля 2014 г.
^ Йейтс, Сэмюэл (1980). «Периоды уникальных простых чисел». Математика. Маг . 53 :314. Збл 0445.10009 .
^ «Обобщенный уникальный» . Прайм страницы . Проверено 9 декабря 2023 г.

Внешние ссылки

Паркер, Мэтт (14 марта 2022 г.). «Обратные числа простых чисел — нумерофил» . Ютуб .

[proc-1] «Уведомления о некрологе - Джордж Салмон» . Труды Лондонского математического общества . Вторая серия. 1 : xxii – xxviii. 1904 год . Проверено 27 марта 2022 г. ... была одна отрасль вычислений, которая его очень увлекала. Это было определение количества цифр в повторяющихся периодах в обратных простых числах.

[2] Шанкс, Уильям (1873). «О периодах в обратных простых числах» . Вестник математики . II : 41–43 . Проверено 27 марта 2022 г.

[3] Шанкс, Уильям (1874). «О периодах в обратных простых числах» . Вестник математики . III : 52–55 . Проверено 27 марта 2022 г.

[shanks20000-4] Шанкс, Уильям (1874). «О количестве цифр в периоде, обратном каждому простому числу ниже 20 000» . Труды Лондонского королевского общества . 22 : 200–210 . Проверено 27 марта 2022 г.

[glaisher-5] Глейшер, JWL (1878). «О обращающихся десятичных дробях со специальной ссылкой на «Таблицу кругов» Генри Гудвина и «Табличную серию десятичных частных» » . Труды Кембриджского философского общества: Математические и физические науки . 3 (В): 185–206 . Проверено 27 марта 2022 г.

[cook-6] Кук, Джон Д. «Обратные простые числа» . johndcook.com . Проверено 6 апреля 2022 г.

[Dickson-7] Диксон, Леонард Э., 1952, История теории чисел, Том 1 , Chelsea Public. Ко.

[8] Колдуэлл, Крис. «Уникальный премьер» . Главные страницы . Проверено 11 апреля 2014 г.

[9] Йейтс, Сэмюэл (1980). «Периоды уникальных простых чисел». Математика. Маг . 53 :314. Збл 0445.10009 .

[top20gen-10] «Обобщенный уникальный» . Прайм страницы . Проверено 9 декабря 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v т и Классы простых чисел
По формуле	Ферма ( $2 2 н + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Вагстафф $(2 п + 1)/3$ Прот ( $k \cdot2 н + 1$ ) Факториал ( $n! \pm 1$ ) Первобытный ( $p n # \pm 1$ ) Евклид ( $p n # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 n + 1$ ) Пьерпон ( $2 м \cdot3 н + 1$ ) Квартан ( $х 4 + и 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 н \pm 1$ ) Каллен ( $n \cdot2 н + 1$ ) Вудалл ( $n \cdot2 н - 1$ ) Кубинский ( $х 3 - и 3)/(Икс - у$ ) Лейланд ( $x и + и х$ ) Сабит ( $3\cdot2 н - 1$ ) Уильямс ( $(b -1)\cdot b н - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 н ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман–Шэнкс–Уильямс Перрин
По свойству	Виферих ( пара ) Стена–Солнце–Солнце Вулстенхолм Уилсон Удачливый удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярная (эллиптическая кривая) Суперсингулярная (теория самогона) Хороший Супер Хиггс Высокий коэффициент Уникальный
Базово -зависимый	палиндромный Эмирп Репунит $(10 н - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Нежный Первобытный Полный отчет Уникальный Счастливый Себя Смарандаш-Веллин Стробограмматический двугранный тетрадный
Узоры	Твин ( $р, р + 2$ ) Двойная цепь ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Тройка ( $p, p +2 или p +4, p +6$ ) Четверка ( $р, р +2, р +6, р +8$ ) k -кортеж Двоюродный брат ( $п, р + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен/Сейф ( $п, 2п +1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательные p - n, p, p + n$ )
По размеру	Мега (1 000 000+ цифр) Самый крупный известный список
Комплексные числа	Айронстоун прайм Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопростой каталанский Эллиптический Эйлер Эйлер-Якоби Ферма Фробениус Лукас Перрин Сомер-Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупервоклассный Сфеническое число Интерпрайм Пагубный
Связанные темы	Вероятное простое число Промышленный класс Prime Незаконный премьер Формула простых чисел Премьер-разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел