Рамануджан прайм

В математике простое число Рамануджана — это простое число , которое удовлетворяет результату, доказанному Шринивасой Рамануджаном в отношении функции подсчета простых чисел .

и определение Происхождение

В 1919 году Рамануджан опубликовал новое доказательство постулата Бертрана , которое, как он отмечает, впервые было доказано Чебышевым . ^[1] В конце опубликованной двухстраничной статьи Рамануджан получил обобщенный результат, а именно:

\pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 1,2,3,4,5,\ldots {\text{ for all }}x\geq 2,11,17,29,41,\ldots {\text{ respectively}}

ОЭИС : A104272

где $\pi (x)$ — функция подсчета простых чисел , равная количеству простых чисел, меньших или равных x .

Обратным этому результату является определение простых чисел Рамануджана:

е n- простое число Рамануджана — это наименьшее целое число R _n, для которого

\pi (x)-\pi (x/2)\geq n,

для всех x ≥ R _n . ^[2] Другими словами: простые числа Рамануджана — это наименьшие целые числа Rn _, для которых существует не менее простых чисел между x и x /2 для всех x ≥ Rn _n .

Таким образом, первые пять простых чисел Рамануджана — это 2, 11, 17, 29 и 41.

Обратите внимание, что целое число R _n обязательно является простым числом: $\pi (x)-\pi (x/2)$ и, следовательно, $\pi (x)$ должно увеличиться за счет получения еще одного простого числа в x = Rn _точке . С $\pi (x)-\pi (x/2)$ может увеличиться не более чем на 1,

\pi (R_{n})-\pi \left({\frac {R_{n}}{2}}\right)=n.

формула асимптотическая и Границы

Для всех $n\geq 1$ , границы

2n\ln 2n<R_{n}<4n\ln 4n

держать. Если $n>1$ , тогда также

p_{2n}<R_{n}<p_{3n}

где p _{n —} - е n простое число.

Поскольку n стремится к бесконечности, R _n асимптотически относится к 2 -му простому числу, т. е.

R _n ~ p _{2 n} ( n → ∞).

Все эти результаты были доказаны Сондоу (2009): ^[3] за исключением верхней оценки R _n < p _{3 n} , которая была выдвинута им и доказана Лайшрамом (2010). ^[4] Граница была улучшена Сондоу, Николсоном и Ноэ (2011). ^[5] к

R_{n}\leq {\frac {41}{47}}\ p_{3n}

что является оптимальной формой R _n ≤ c·p _{3 n,} поскольку это равенство для n = 5.

Ссылки [ править ]

^ Рамануджан, С. (1919), «Доказательство постулата Бертрана» , Журнал Индийского математического общества , 11 : 181–182.
^ Джонатан Сондоу . «Рамануджан Прайм» . Математический мир .
^ Сондоу, Дж. (2009), «Простые числа Рамануджана и постулат Бертрана», Amer. Математика. Ежемесячно , 116 (7): 630–635, arXiv : 0907.5232 , doi : 10.4169/193009709x458609
^ Лаишрам, С. (2010), «К гипотезе о простых числах Рамануджана» (PDF) , International Journal of Number Theory , 6 (8): 1869–1873, CiteSeerX 10.1.1.639.4934 , doi : 10.1142/s1793042110003848 .
^ Сондоу, Дж.; Николсон, Дж.; Ноэ, Т.Д. (2011), «Простые числа Рамануджана: границы, серии, близнецы и пробелы» (PDF) , Журнал целочисленных последовательностей , 14 : 11.6.2, arXiv : 1105.2249 , Bibcode : 2011arXiv1105.2249S

[1] Рамануджан, С. (1919), «Доказательство постулата Бертрана» , Журнал Индийского математического общества , 11 : 181–182.

[2] Джонатан Сондоу . «Рамануджан Прайм» . Математический мир .

[3] Сондоу, Дж. (2009), «Простые числа Рамануджана и постулат Бертрана», Amer. Математика. Ежемесячно , 116 (7): 630–635, arXiv : 0907.5232 , doi : 10.4169/193009709x458609

[4] Лаишрам, С. (2010), «К гипотезе о простых числах Рамануджана» (PDF) , International Journal of Number Theory , 6 (8): 1869–1873, CiteSeerX 10.1.1.639.4934 , doi : 10.1142/s1793042110003848 .

[5] Сондоу, Дж.; Николсон, Дж.; Ноэ, Т.Д. (2011), «Простые числа Рамануджана: границы, серии, близнецы и пробелы» (PDF) , Журнал целочисленных последовательностей , 14 : 11.6.2, arXiv : 1105.2249 , Bibcode : 2011arXiv1105.2249S

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Классы простых чисел
По формуле	Ферма ( $2 2 н + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Вагстафф $(2 п + 1)/3$ Прот ( $k \cdot2 н + 1$ ) Факториал ( $n! \pm 1$ ) Первобытный ( $p n # \pm 1$ ) Евклид ( $p n # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 n + 1$ ) Пьерпон ( $2 м \cdot3 н + 1$ ) Квартан ( $х 4 + и 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 н \pm 1$ ) Каллен ( $n \cdot2 н + 1$ ) Вудалл ( $n \cdot2 н - 1$ ) Кубинский ( $х 3 - и 3)/(Икс - у$ ) Лейланд ( $x и + и х$ ) Сабит ( $3\cdot2 н - 1$ ) Уильямс ( $(b -1)\cdot b н - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 н ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман–Шэнкс–Уильямс Перрин
По свойству	Виферих ( пара ) Стена–Солнце–Солнце Вулстенхолм Уилсон Удачливый удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Стерн Суперсингулярная (эллиптическая кривая) Суперсингулярная (теория самогона) Хороший Супер Хиггс Высокий коэффициент Уникальный
Базово -зависимый	палиндромный Эмирп Репунит $(10 н - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Нежный Первобытный Полный отчет Уникальный Счастливый Себя Смарандаш-Веллин Стробограмматический двугранный тетрадный
Узоры	Твин ( $р, р + 2$ ) Двойная цепь ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Тройка ( $p, p +2 или p +4, p +6$ ) Четверка ( $р, р +2, р +6, р +8$ ) k -кортеж Двоюродный брат ( $п, р + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен/Сейф ( $п, 2п +1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательные p - n, p, p + n$ )
По размеру	Мега (1 000 000+ цифр) Самый крупный известный список
Комплексные числа	Айронстоун прайм Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопростой каталанский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Перрин Сомер-Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупервоклассный Сфеническое число Интерпрайм Пагубный
Связанные темы	Вероятное простое число Промышленный класс Prime Незаконный премьер Формула простых чисел Премьер-разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел

и определение ​ Происхождение

формула асимптотическая и Границы

Ссылки [ править ]

и определение Происхождение