Первобытный премьер

В математике первичное простое число — это простое число формы p _n # ± 1, где p _n # — это простое число p n ₍ т. е. произведение первых n простых чисел). ^[1]

Тесты на простоту показывают, что:

p _n # − 1 является простым числом для n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... (последовательность A057704 в OEIS ).

p _n #+1 является простым числом для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 11,... (последовательность A014545 в OEIS ).

Первый член второй последовательности равен 0, поскольку p ₀ # = 1 — пустое произведение , и, следовательно, p ₀ # + 1 = 2, что является простым числом. Аналогично, первый член первой последовательности не равен 1, поскольку p ₁ # = 2, а 2 − 1 = 1 не является простым числом.

Первые несколько простых чисел: 2 , 3 , 5 , 7 , 29 , 31 , 211 , 2309 , 2311 , 30029, 200560490131, 304250263527209, 23768741896345550770650537601. 358309 (последовательность A228486 в OEIS ).

По состоянию на октябрь 2021 г. ^[ref]самое большое известное первичное простое число (формы p _n # − 1) равно 3267113# − 1 ( n = 234 725) с 1 418 398 цифрами, найденное проектом PrimeGrid . ^[2]^[3]

По состоянию на 2022 год ^[update], самое большое известное простое число формы p _n # + 1 — это 392113# + 1 ( n = 33 237) с 169 966 цифрами, найденное в 2001 году Дэниелом Хойером.

бесконечности Доказательство Евклида обычно простых чисел ошибочно интерпретируется как определение первоначальных простых чисел следующим образом: ^[4]

Предположим, что первые n последовательных простых чисел, включая 2, — единственные существующие простые числа. Если либо p _n # + 1, либо p _n # − 1 является первоначальным простым числом, это означает, что существуют простые числа большего размера, чем n- е простое число (если ни одно из них не является простым, это также доказывает бесконечность простых чисел, но менее прямо; каждое из этих двух чисел имеет остаток либо p − 1, либо 1 при делении на любое из первых n простых чисел, и, следовательно, все его простые делители больше p _n ).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик. «Первобытный Прайм» . Математический мир . Вольфрам . Проверено 18 марта 2015 г.
^ Primegrid.com ; анонс форума, 7 декабря 2021 г.
^ Колдуэлл, Крис К., Двадцатка лучших: Primorial ( Primor Pages )
^ Майкл Харди и Кэтрин Вудголд, «Prime Simplicity», Mathematical Intelligencer , том 31, номер 4, осень 2009 г., страницы 44–52.

См. также [ править ]

Борнинг А. Некоторые результаты для $k!+1$ и $2\cdot 3\cdot 5\cdot p+1$ « Math. Comput. 26 (1972): 567–570.
Крис Колдуэлл, Двадцатка лучших: Primorial на сайте Prime Pages .
Харви Дубнер, «Факториал и первичные простые числа». Дж. Рек. Математика. 19 (1987): 197–203.
Пауло Рибенбойм, Новая книга рекордов простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag (1989): 4.

Эта статья номере незавершена . о Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Вайсштейн, Эрик. «Первобытный Прайм» . Математический мир . Вольфрам . Проверено 18 марта 2015 г.

[2] Primegrid.com ; анонс форума, 7 декабря 2021 г.

[3] Колдуэлл, Крис К., Двадцатка лучших: Primorial ( Primor Pages )

[4] Майкл Харди и Кэтрин Вудголд, «Prime Simplicity», Mathematical Intelligencer , том 31, номер 4, осень 2009 г., страницы 44–52.

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers