Сильный псевдопростой

Сильное псевдопростое число — это составное число , которое проходит тест на простоту Миллера–Рабина .Все простые числа проходят этот тест, но небольшая часть составных чисел также проходит его, что делает их « псевдопростыми ».

В отличие от псевдопростых чисел Ферма , для которых существуют числа, которые являются псевдопростыми по всем взаимно простым основаниям ( числа Кармайкла ), не существует составных чисел, которые были бы сильными псевдопростыми числами по всем основаниям.

Мотивация и первые примеры

Допустим, мы хотим выяснить, является ли n = 31697 вероятным простым числом (PRP). Мы выбираем базу a = 3 и, вдохновленные малой теоремой Ферма , вычисляем:

$3^{31696}\equiv 1{\pmod {31697}}$

Это показывает, что 31697 — это PRP Ферма (основание 3), поэтому мы можем заподозрить, что это простое число. Теперь мы многократно уменьшаем показатель степени вдвое:

$3^{15848}\equiv 1{\pmod {31697}}$

$3^{7924}\equiv 1{\pmod {31697}}$

$3^{3962}\equiv 28419{\pmod {31697}}$

Первые пару раз не дают ничего интересного (результат по-прежнему был 1 по модулю 31697), но при показателе степени 3962 мы видим результат, который не равен ни 1, ни минус 1 (т.е. 31696) по модулю 31697. Это доказывает, что 31697 на самом деле является составным ( оно равно 29×1093). По модулю простого числа остаток 1 не может иметь других квадратных корней, кроме 1 и минус 1. Это показывает, что 31697 не является сильным псевдопростым числом по основанию 3.

В качестве другого примера выберите n = 47197 и рассчитайте таким же образом:

$3^{47196}\equiv 1{\pmod {47197}}$

$3^{23598}\equiv 1{\pmod {47197}}$

$3^{11799}\equiv 1{\pmod {47197}}$

В этом случае результат продолжает оставаться 1 (модуль 47197), пока мы не достигнем нечетного показателя степени. В этой ситуации мы говорим, что 47197 — сильное вероятное простое число по основанию 3. Поскольку оказывается, что этот PRP на самом деле является составным (это можно увидеть, выбрав другие основания, кроме 3), мы получаем, что 47197 — сильное псевдопростое число по основанию 3. .

Наконец, рассмотрим n = 74593, где мы получаем:

$3^{74592}\equiv 1{\pmod {74593}}$

$3^{37296}\equiv 1{\pmod {74593}}$

$3^{18648}\equiv 74592{\pmod {74593}}$

Здесь мы получаем минус 1 по модулю 74593, ситуация вполне возможна с простым числом. Когда это происходит, мы прекращаем вычисление (даже если показатель степени еще не нечетный) и говорим, что 74593 — сильное вероятное простое число (и, как оказывается, сильное псевдопростое число) по основанию 3.

Формальное определение

Нечетное составное число n = d · 2 ^с + 1, где d нечетно, называется сильным (ферма) псевдопростым числом по основанию a , если:

$a^{d}\equiv 1{\pmod {n}}$

или

$a^{d\cdot 2^{r}}\equiv -1{\pmod {n}}\quad {\mbox{ for some }}0\leq r<s.$

(Если число n удовлетворяет одному из вышеуказанных условий и мы еще не знаем, является ли оно простым, точнее называть его сильным вероятным простым числом для основания a . Но если мы знаем, что n не является простым, тогда мы можем использовать термин сильное псевдопростое число.)

Определение тривиально выполняется, если a ≡ ±1 (mod n ), поэтому эти тривиальные базы часто исключаются.

Гай ошибочно дает определение только с первым условием, которому удовлетворяют не все простые числа.

Свойства сильных псевдопростых чисел

Сильное псевдопростое число по основанию a всегда является псевдопростым числом Эйлера–Якоби , псевдопростым числом Эйлера. и псевдопростое число Ферма по этому основанию, но не все псевдопростые числа Эйлера и Ферма являются сильными псевдопростыми числами. Числа Кармайкла могут быть сильными псевдопростыми числами по некоторым основаниям (например, 561 является сильным псевдопростыми числами по основанию 50), но не по всем основаниям.

Составное число n является сильным псевдопростым числом не более чем для одной четверти всех оснований ниже n ; таким образом, не существует «сильных чисел Кармайкла», чисел, которые являются сильными псевдопростыми числами по всем основаниям. Таким образом, при случайном основании вероятность того, что число является сильным псевдопростым числом по отношению к этому основанию, составляет менее 1/4, что составляет основу широко используемого теста на простоту Миллера-Рабина . Истинная вероятность неудачи, как правило, значительно меньше. Пол Эрдос и Карл Померанс показали в 1986 году, что если случайное целое число n проходит тест на простоту Миллера-Рабина по случайному основанию b, то n почти наверняка является простым числом. Например, из первых 25 000 000 000 положительных целых чисел 1 091 987 405 являются вероятными простыми числами по основанию 2, но только 21 853 из них являются псевдопростыми числами, и еще меньше из них являются сильными псевдопростыми числами, поскольку последнее является подмножеством первых. Однако Арно дает 397-значное число Кармайкла, которое является сильным псевдопростым числом по любому основанию меньше 307.Один из способов уменьшить вероятность того, что такое число ошибочно будет объявлено вероятно простым, - это объединить сильный тест на вероятное простое число с тестом на вероятное простое число Лукаса , как в тесте на простоту Бэйли-ПСВ .

У любого основания существует бесконечно много сильных псевдопростых чисел.

Примеры

Первые сильные псевдопростые числа по основанию 2:

2047, 3277, 4033, 4681, 8321, 15841, 29341, 42799, 49141, 52633, 65281, 74665, 80581, 85489, 88357, 90751, ... (последовательность A001262 в OE ЕСТЬ ).

Первыми по основанию 3 являются

121, 703, 1891, 3281, 8401, 8911, 10585, 12403, 16531, 18721, 19345, 23521, 31621, 44287, 47197, 55969, 63139, 74593, 7900 3, 82513, 87913, 88573, 97567, ...( последовательность A020229 в OEIS ).

Первые по основанию 5 являются

781, 1541, 5461, 5611, 7813, 13021, 14981, 15751, 24211, 25351, 29539, 38081, 40501, 44801, 53971, 79381, ... (последовательность A020231 в OEIS ).

Для базы 4 см. OEIS : A020230 , а для базы от 6 до 100 см. OEIS : от A020232 до OEIS : A020326 .Проверяя приведенные выше условия на нескольких основаниях, можно получить несколько более мощные тесты на простоту, чем при использовании одного основания.Например, существует только 13 чисел меньше 25·10. ⁹ которые являются сильными псевдопростыми числами по основаниям 2, 3 и 5 одновременно.Они перечислены в Таблице 7. Наименьшее такое число — 25326001.Это означает, что если n меньше 25326001 и n — сильное вероятное простое число по основаниям 2, 3 и 5, то n — простое число.

Продолжая это дальше, 3825123056546413051 — это наименьшее число, которое является сильным псевдопростым числом по 9 основаниям: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23. Итак, если n меньше 3825123056546413051 и n — сильное вероятное простое число по этим 9 основаниям, то n — простое число.

Путем разумного выбора оснований, которые не обязательно являются простыми, можно построить еще лучшие тесты. Например, нет составного $<2^{64}$ это сильное псевдопростое число по всем семи основаниям 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504 и 1795265022.

Наименьшее сильное псевдопростое число, лежащее в править

а	Наименьший SPSP	а	Наименьший SPSP	а	Наименьший SPSP	а	Наименьший SPSP
1	9	33	545	65	33	97	49
2	2047	34	33	66	65	98	9
3	121	35	9	67	33	99	25
4	341	36	35	68	25	100	9
5	781	37	9	69	35	101	25
6	217	38	39	70	69	102	133
7	25	39	133	71	9	103	51
8	9	40	39	72	85	104	15
9	91	41	21	73	9	105	451
10	9	42	451	74	15	106	15
11	133	43	21	75	91	107	9
12	91	44	9	76	15	108	91
13	85	45	481	77	39	109	9
14	15	46	9	78	77	110	111
15	1687	47	65	79	39	111	55
16	15	48	49	80	9	112	65
17	9	49	25	81	91	113	57
18	25	50	49	82	9	114	115
19	9	51	25	83	21	115	57
20	21	52	51	84	85	116	9
21	221	53	9	85	21	117	49
22	21	54	55	86	85	118	9
23	169	55	9	87	247	119	15
24	25	56	55	88	87	120	91
25	217	57	25	89	9	121	15
26	9	58	57	90	91	122	65
27	121	59	15	91	9	123	85
28	9	60	481	92	91	124	25
29	15	61	15	93	25	125	9
30	49	62	9	94	93	126	25
31	15	63	529	95	1891	127	9
32	25	64	9	96	95	128	49