Неприкасаемый номер

В математике неприкосновенное число — это целое положительное число , которое нельзя выразить как сумму всех собственных делителей любого положительного целого числа. То есть эти числа не входят в образ функции суммы аликвот . Их исследование восходит, по крайней мере, к Абу Мансуру аль-Багдади (около 1000 г. н.э.), который заметил, что и 2, и 5 являются неприкасаемыми. ^[1]

Примеры [ править ]

Число 4 не является неприкасаемым, так как оно равно сумме собственных делителей 9: 1 + 3 = 4.
Число 5 неприкосновенно, так как оно не является суммой собственных делителей любого положительного целого числа: 5 = 1 + 4 — единственный способ записать 5 как сумму различных положительных целых чисел, включая 1, но если 4 делит число, 2 тоже, поэтому 1 + 4 не может быть суммой всех собственных делителей любого числа (поскольку список множителей должен содержать и 4, и 2).
Число 6 не является неприкосновенным, так как оно равно сумме собственных делителей самого числа 6: 1 + 2 + 3 = 6.

Первые несколько неприкасаемых чисел:

2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246, 248 , 262 , 268 , 276 , 288 , 290 , , 304 , 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (последовательность A005114 в OEIS ).

Свойства [ править ]

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли нечетные неприкасаемые числа, кроме 5?

(еще нерешенные задачи по математике)

Считается, что число 5 — единственное нечетное неприкосновенное число, но это не доказано. Это следовало бы из несколько более сильной версии гипотезы Гольдбаха , поскольку сумма собственных делителей pq (с p , q различными простыми числами) равна 1 + p + q . Таким образом, если число n можно записать в виде суммы двух различных простых чисел, то n + 1 не является неприкосновенным числом. Ожидается, что каждое четное число больше 6 представляет собой сумму двух различных простых чисел, поэтому, вероятно, ни одно нечетное число больше 7 не является неприкосновенным числом, и $1=\sigma (2)-2$ , $3=\sigma (4)-4$ , $7=\sigma (8)-8$ , поэтому только 5 может быть нечетным неприкасаемым числом. ^[2]Таким образом, оказывается, что, кроме 2 и 5, все неприкосновенные числа являются составными числами (поскольку все четные числа, кроме 2, являются составными). Ни одно совершенное число не является неприкасаемым, поскольку оно, по крайней мере, может быть выражено как сумма собственных делителей . Точно так же ни одно из дружественных или общительных чисел не является неприкасаемым. Кроме того, ни одно из чисел Мерсенна не является неприкосновенным, поскольку M _n = 2 ^н − 1 равно сумме собственных делителей 2 ^н.

Никакое неприкасаемое число не может быть на единицу больше, чем простое число , поскольку если p простое, то сумма собственных делителей p ² равно p + 1. Кроме того, ни одно неприкосновенное число не на три больше простого числа, за исключением 5, поскольку если p — нечетное простое число, то сумма собственных делителей 2 p равна p + 3.

Бесконечность [ править ]

Неприкасаемых чисел бесконечно много, и этот факт доказал Пауль Эрдеш . ^[3] По мнению Чена и Чжао, их естественная плотность составляет не менее d > 0,06. ^[4]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Сесиано, Дж. (1991), «Две проблемы теории чисел в исламские времена», Архив истории точных наук , 41 (3): 235–238, doi : 10.1007/BF00348408 , JSTOR 41133889 , MR 1107382 , S2CID 115235810
^ Более сильная версия получается путем добавления к гипотезе Гольдбаха дополнительного требования, чтобы два простых числа были различны - см. Адамс-Уоттерс, Фрэнк и Вайсштейн, Эрик В. «Неприкасаемое число» . Математический мир .
^ П. Эрдос, О числах формы. $\sigma (n)-n$ и $n-\phi (n)$ . Элементы математики 28 (1973), 83–86.
^ Юн-Гао Чен и Цин-Цин Чжао, Неаликвотные числа, Publ. Math. 78:2 (2011), стр. 439-442.

Ричард К. Гай , Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer Verlag , 2004 г. ISBN 0-387-20860-7 ; раздел Б10.

Внешние ссылки [ править ]

Последовательность OEIS A070015 (наименьшее m такое, что сумма аликвотных частей m равна n или 0, если такого числа не существует)

[1] Сесиано, Дж. (1991), «Две проблемы теории чисел в исламские времена», Архив истории точных наук , 41 (3): 235–238, doi : 10.1007/BF00348408 , JSTOR 41133889 , MR 1107382 , S2CID 115235810

[2] Более сильная версия получается путем добавления к гипотезе Гольдбаха дополнительного требования, чтобы два простых числа были различны - см. Адамс-Уоттерс, Фрэнк и Вайсштейн, Эрик В. «Неприкасаемое число» . Математический мир .

[3] П. Эрдос, О числах формы. $\sigma (n)-n$ и $n-\phi (n)$ . Элементы математики 28 (1973), 83–86.

[4] Юн-Гао Чен и Цин-Цин Чжао, Неаликвотные числа, Publ. Math. 78:2 (2011), стр. 439-442.

[1]

[2]

[3]

[4]

v т Это Наборы целых чисел на основе делимости
Overview	Integer factorization Divisor Unitary divisor Divisor function Prime factor Fundamental theorem of arithmetic
Factorization forms	Prime Composite Semiprime Pronic Sphenic Square-free Powerful Perfect power Achilles Smooth Regular Rough Unusual
Constrained divisor sums	Perfect Almost perfect Quasiperfect Multiply perfect Hemiperfect Hyperperfect Superperfect Unitary perfect Semiperfect Practical Erdős–Nicolas
With many divisors	Abundant Primitive abundant Highly abundant Superabundant Colossally abundant Highly composite Superior highly composite Weird
Aliquot sequence-related	Untouchable Amicable (Triple) Sociable Betrothed
Base-dependent	Equidigital Extravagant Frugal Harshad Polydivisible Smith
Other sets	Arithmetic Deficient Friendly Solitary Sublime Harmonic divisor Descartes Refactorable Superperfect