Счастливое число
В теории чисел счастливым числом называется натуральное число из множества, образованного неким « ситом ». Это решето похоже на решето Эратосфена , которое генерирует простые числа , но оно удаляет числа на основе их положения в оставшемся наборе, а не на их значении (или положении в исходном наборе натуральных чисел). [1]
Этот термин был введен в 1956 году в статье Гардинера, Лазаруса, Метрополиса и Улама . В той же работе они предложили назвать и другое решето «решетом Иосифа Флавия». [2] из-за ее сходства с игрой на счет в задаче Иосифа Флавия .
Счастливые числа имеют некоторые общие свойства с простыми числами, такие как асимптотическое поведение в соответствии с теоремой о простых числах ; версия гипотезы Гольдбаха кроме того, на них была распространена . Счастливых чисел бесконечно много. Счастливые числа-близнецы и простые числа-близнецы также встречаются с одинаковой частотой. Однако если обозначает Ln n - е счастливое число, а pn — - е n , то > Ln pn для простое число всех достаточно больших n . [3]
Из-за их очевидного сходства с простыми числами некоторые математики предположили, что некоторые из их общих свойств можно обнаружить и в других наборах чисел, порождаемых ситами определенной неизвестной формы, но для этой гипотезы мало теоретических оснований .
Процесс просеивания [ править ]
| Начните со списка целых чисел, начинающихся с 1: | ||||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| Каждое второе число (все четные числа ) в списке удаляется, остаются только нечетные целые числа: | ||||||||||||||||||||||||
| 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 | ||||||||||||
| Первое число, остающееся в списке после 1, равно 3, поэтому каждое третье число (начиная с 1), оставшееся в списке ( не каждое кратное 3), удаляется. Первого из них 5: | ||||||||||||||||||||||||
| 1 | 3 | 7 | 9 | 13 | 15 | 19 | 21 | 25 | ||||||||||||||||
| Следующее выживающее число теперь равно 7, поэтому каждое седьмое оставшееся число исключается. Первое из них — 19: | ||||||||||||||||||||||||
| 1 | 3 | 7 | 9 | 13 | 15 | 21 | 25 | |||||||||||||||||
Продолжайте удалять n- е оставшиеся числа, где n — следующее число в списке после последнего оставшегося числа. Следующим в этом примере является 9.
Одним из отличий применения этой процедуры от применения процедуры «Решета Эратосфена» является то, что, поскольку n является числом, умножаемым при конкретном проходе, первое число, исключаемое при проходе, является n -м оставшимся числом, которое еще не было исключено. , в отличие от числа 2n . То есть список чисел, которые считает это решето, различен на каждом проходе (например, 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19... на третьем проходе), тогда как в Решете Эратосфена решето всегда пересчитывает весь исходный список (1, 2, 3...).
Когда эта процедура будет выполнена полностью, оставшиеся целые числа станут счастливыми числами (те, которые оказались простыми, выделены жирным шрифтом):
- 1 , 3 , 7 , 9 , 13 , 15 , 21 , 25 , 31 , 33 , 37 , 43 , 49 , 51 , 63 , 67 , 69 , 73 , 75 , 79 , 87 , 93 , 99 , 105 , 111 , 115 , 127 , 129 , 133 , 135 , 141 , 151 , 159 , 163 , 169 , 171 , 189 , 193 , 195 , 201 , 205 , 211 , 219 , 223 , 231 , 237 , 241 , 259 , 261 , , 5 267 , 273 , 283 , 285 , 289 , 297 , 303 , 307 , 319 , 321 , 327 , ... (последовательность A000959 в OEIS ).
Счастливое число, которое удаляет n из списка счастливых чисел: (0, если n — счастливое число)
- 0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 7, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 9, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 7, 2, 3, 2, 0, 2, 13, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 15, 2, 9, 2, 3, 2, 7, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 2, 0, 2, 7, 2, 3, 2, 21, 2, ... (последовательность A264940 в OEIS )
Счастливые простые числа [ править ]
«Счастливое простое число» — это счастливое простое число. Они есть:
- 3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367, 409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673, 727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997, ... (последовательность A031157 в OEIS ).
Было высказано предположение, что счастливых простых чисел бесконечно много. [4]
См. также [ править ]
- Счастливые числа Эйлера
- Счастливое число
- Счастливое число
- Номер Харшада
- Проблема Иосифа Флавия
- Играть в азартные игры
- Лотерея
- Кено
Ссылки [ править ]
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Счастливое число» . mathworld.wolfram.com . Проверено 11 августа 2020 г.
- ^ Гардинер, Верна; Лазарус, Р.; Метрополис, Северная Каролина ; Улам, С. (1956). «О некоторых последовательностях целых чисел, определяемых ситами». Журнал «Математика» . 29 (3): 117–122. дои : 10.2307/3029719 . ISSN 0025-570X . JSTOR 3029719 . Збл 0071.27002 .
- ^ Хокинс, Д.; Бриггс, МЫ (1957). «Теорема о счастливом числе». Журнал «Математика» . 31 (2): 81–84, 277–280. дои : 10.2307/3029213 . ISSN 0025-570X . JSTOR 3029213 . Збл 0084.04202 .
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A031157 (Числа, которые являются одновременно счастливыми и простыми)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . С3. ISBN 978-0-387-20860-2 . Збл 1058.11001 .
Внешние ссылки [ править ]
- «Счастливые числа» , Энрике Зелени, Демонстрационный проект Wolfram .
- Саймондс, Риа. «31: И другие счастливые числа» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 19 сентября 2016 г. Проверено 2 апреля 2013 г.
Классы натуральных чисел |
|---|
