Центрированное шестиугольное число

В математике и комбинаторике центрированное шестиугольное число , или шестнадцатеричное число , ^[1]^[2] — это центрированное фигурное число , которое представляет собой шестиугольник с точкой в центре и всеми остальными точками, окружающими центральную точку в шестиугольной решетке . Следующие рисунки иллюстрируют такое расположение первых четырех центрированных шестиугольных чисел:

1		7		19		37
+1		+6		+12		+18

Центрированные шестиугольные числа не следует путать с угловыми шестиугольными числами , которые представляют собой фигурные числа, в которых связанные шестиугольники имеют общую вершину.

Последовательность шестиугольных чисел начинается следующим образом (последовательность A003215 в OEIS ):

1 , 7 , 19 , 37 , 61 , 91 , 127 , 169 , 217 , 271 , 331 , 397 , 469, 547, 631, 721, 817, 919.

Формула [ править ]

-е центрированное шестиугольное число $n$ определяется формулой ^[2]

H(n)=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1=3n^{2}-3n+1.\,

Выразив формулу как

H(n)=1+6\left({\frac {n(n-1)}{2}}\right)

показывает, что центрированное шестиугольное число для $n$ в 1 более чем в 6 раз больше $(n - 1)$ -го треугольного числа .

В противоположном направлении индекс $n$ соответствует центрированному шестиугольному числу. $H=H(n)$ можно рассчитать по формуле

n={\frac {3+{\sqrt {12H-3}}}{6}}.

Это можно использовать в качестве проверки того, является ли число $H$ центрированным шестиугольным: это будет тогда и только тогда, когда приведенное выше выражение является целым числом.

Повторение и производящая функция [ править ]

Центрированные шестиугольные числа $H(n)$ удовлетворить рекуррентное соотношение ^[2]

H(n+1)=H(n)+6n.

Отсюда мы можем вычислить производящую функцию $F(x)=\sum _{n\geq 0}H(x)x^{n}$ . Производящая функция удовлетворяет

F(x)=x+xF(x)+\sum _{n\geq 2}6nx^{n}.

Последний член представляет собой Тейлора ряд ${\frac {6x}{(1-x)^{2}}}-6x$ , поэтому мы получаем

(1-x)F(x)=x+{\frac {6x}{(1-x)^{2}}}-6x={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{2}}}

и оказаться в

F(x)={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{3}}}.

Свойства [ править ]

В системе счисления 10 можно заметить, что самые правые (наименее значащие) цифры шестиугольных чисел следуют порядку 1–7–9–7–1 (повторяется с периодом 5).Это следует из последней цифры чисел треугольника (последовательность A008954 в OEIS ), которые повторяют 0-1-3-1-0 при взятии по модулю 5.В системе счисления 6 самая правая цифра всегда равна 1: 1 ₆ , 11 ₆ , 31 ₆ , 101 ₆ , 141 ₆ , 231 ₆ , 331 ₆ , 441 ₆ ...Это следует из того, что каждое центрированное шестиугольное число по модулю 6 (=10 ₆ ) равно 1.

Сумма первых $n$ центрированных шестиугольных чисел равна $n 3$ . То есть центрированные шестиугольные пирамидальные числа и кубы — это одни и те же числа, но представляют собой разные фигуры. Если смотреть с противоположной точки зрения, центрированные шестиугольные числа представляют собой разности двух последовательных кубов, так что центрированные шестиугольные числа являются гномонами кубов . (Геометрически это видно из диаграммы.) В частности, простым шестиугольные числа с центром являются кубинскими простыми числами .

Разница между $(2 n) 2$ а $n$ -е центрированное шестиугольное число — это число вида $3 n 2 + 3 n - 1$ , а разница между $(2 n - 1) 2$ а $n-$ ное центрированное шестиугольное число является проническим числом .

Приложения [ править ]

Многие с сегментированными зеркалами телескопы-отражатели имеют главные зеркала, состоящие из центрированного шестиугольного ряда сегментов (без учета удаления центрального сегмента для обеспечения прохождения света) для упрощения системы управления. ^[3] Некоторые примеры:

Телескоп	Количество сегменты	Число отсутствующий	Общий	n-й центрированный шестиугольное число
Гигантский Магелланов телескоп	7	0	7	2
Космический телескоп Джеймса Уэбба	18	1	19	3
Большой телескоп Канарских островов	36	1	37	4
Гвидо Хорна д'Артуро Прототип	61	0	61	5
Южноафриканский большой телескоп	91	0	91	6

Ссылки [ править ]

^ Хиндин, HJ (1983). «Звезды, шестиугольники, треугольные числа и тройки Пифагора». Дж. Рек. Математика . 16 : 191–193.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Деза, Елена ; Деза, М. (2012). Образные числа . Всемирная научная. стр. 47–55. ISBN 978-981-4355-48-3 .
^ Маст, Т.С. и Нельсон, Дж. Э. Управление фигурой для сегментированного зеркала телескопа . США: Н.П., 1979. Интернет. дои: 10.2172/6194407.

См. также [ править ]

[1] Хиндин, HJ (1983). «Звезды, шестиугольники, треугольные числа и тройки Пифагора». Дж. Рек. Математика . 16 : 191–193.

[Deza-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Деза, Елена ; Деза, М. (2012). Образные числа . Всемирная научная. стр. 47–55. ISBN 978-981-4355-48-3 .

[3] Маст, Т.С. и Нельсон, Дж. Э. Управление фигурой для сегментированного зеркала телескопа . США: Н.П., 1979. Интернет. дои: 10.2172/6194407.

[1]

[2]

[3]