Седьмая власть

В арифметике и алгебре седьмая степень n числа является n результатом умножения семи экземпляров числа . Так:

н ⁷ знак равно п × п × п × п × п × п × п .

Седьмые степени также образуются путем умножения числа на его шестую степень , квадрата числа на его пятую степень или куба числа на его четвертую степень .

Последовательность седьмых степеней целых чисел :

0, 1, 128, 2187, 16384, 78125, 279936, 823543, 2097152, 4782969, 10000000, 19487171, 35831808, 62748517, 105413504, 170859 375, 268435456, 410338673, 612220032, 893871739, 1280000000, 1801088541, 2494357888, 3404825447, 4586471424, 6103515625, 8031810176, ... (последовательность A001015 в OEIS )

В архаичных обозначениях седьмая Роберта Рекорда степень числа называлась «вторым сурсолидом».

Свойства

Леонард Юджин Диксон изучил обобщения проблемы Уоринга для седьмых степеней, показав, что каждое неотрицательное целое число можно представить как сумму не более 258 неотрицательных седьмых степеней. (1 ⁷ это 1 и 2 ⁷ это 128). Все положительные целые числа, кроме конечного числа, можно выразить проще как сумму не более 46 седьмых степеней. Если разрешены степени отрицательных целых чисел, требуется только 12 степеней.

Наименьшее число, которое можно представить двумя разными способами в виде суммы четырех положительных седьмых степеней, — это 2056364173794800.

Наименьшая седьмая степень, которую можно представить как сумму восьми различных седьмых степеней:

$102^{7}=12^{7}+35^{7}+53^{7}+58^{7}+64^{7}+83^{7}+85^{7}+90^{7}.$

Два известных примера седьмой степени, выражаемой как сумма семи седьмых степеней:

$568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}$ (М. Додрилл, 1999);

и

$626^{7}=625^{7}+309^{7}+258^{7}+255^{7}+158^{7}+148^{7}+91^{7}$ (Морис Блондо, 14.11.2000);

любой пример с меньшим количеством членов в сумме был бы контрпримером к гипотезе Эйлера о сумме степеней , которая, как известно, в настоящее время неверна только для степеней 4 и 5.

См. также

• Восьмая власть
• Шестая власть
• Пятая степень (алгебра)
• Четвертая власть
• Куб (алгебра)
• Квадрат (алгебра)