Число Стеллы-октангулы

124 магнитных шара, расположенных в форме восьмиугольной звезды.

В математике число стеллы-восьмиугольника — это фигурное число, основанное на стелле-октангуле , вида n (2 n ² − 1) .

Последовательность чисел стелла-октангула:

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, ... (последовательность A007588 в OEIS )

Только два из этих чисел квадратные .

Уравнение Юнггрена

Существует только два положительных квадратных октангульных числа: 1 и 9653449 = 3107. ² = (13 × 239) ² , что соответствует n = 1 и n = 169 соответственно. Эллиптическая кривая, описывающая квадратные числа стеллы-октангула:

$m^{2}=n(2n^{2}-1)$

можно представить в эквивалентной форме Вейерштрасса

$x^{2}=y^{3}-2y$

заменой переменных x знак равно 2 м , y знак равно 2 п . Поскольку два фактора n и 2 n ² − 1 квадрат числа m ² относительно простые , каждый из них должен быть квадратом, а вторая замена переменных $X=m/{\sqrt {n}}$ и $Y={\sqrt {n}}$ приводит к уравнению Юнггрена

$X^{2}=2Y^{4}-1$

Теорема Зигеля утверждает, что каждая эллиптическая кривая имеет лишь конечное число целочисленных решений, а Вильгельм Юнггрен ( 1942 ) нашел трудное доказательство того, что единственными целочисленными решениями его уравнения были (1,1) и (239,13) , соответствующие два квадратных числа-стеллы-восьмиугольника. Луи Дж. Морделл предположил, что доказательство можно упростить, и несколько более поздних авторов опубликовали упрощения.

Дополнительные приложения

Числа стеллы-октангула возникают в параметрическом семействе примеров задачи о скрещенных лестницах , в которой длины и высоты лестниц, а также высота их точки пересечения являются целыми числами. В этих случаях соотношение высот двух лестниц представляет собой число восьмиугольной звезды.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Число Стеллы-Восьмиугольника» , MathWorld