Число Капрекара

Не путать с постоянной Капрекара .

В математике натуральное число в заданной системе счисления – это $p$- число Капрекара , если представление его квадрата в этом основании можно разбить на две части, причем вторая часть имеет $p$цифры, которые в сумме составляют исходное число. Например, в системе счисления 10 45 — это 2-капрекаровское число, потому что 45² = 2025, а 20 + 25 = 45. Числа названы в честь Д. Р. Капрекара .

Определение и свойства

Позволять $n$быть натуральным числом. Тогда функция Капрекара для базы $b>1$ и власть $p>0$ $F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ определяется следующим образом:

$F_{p,b}(n)=\alpha +\beta$,

где $\beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}$ и

$\alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}$

Натуральное число $n$ это $p$- число Капрекара , если оно является фиксированной точкой для $F_{p,b}$, что происходит, если $F_{p,b}(n)=n$. $0$ и $1$ являются тривиальными числами Капрекара для всех $b$ и $p$все остальные числа Капрекара являются нетривиальными числами Капрекара .

Предыдущий пример 45 удовлетворяет этому определению с $b=10$ и $p=2$, потому что

$\beta =n^{2}{\bmod {b}}^{p}=45^{2}{\bmod {1}}0^{2}=25$

$\alpha ={\frac {n^{2}-\beta }{b^{p}}}={\frac {45^{2}-25}{10^{2}}}=20$

$F_{2,10}(45)=\alpha +\beta =20+25=45$

Натуральное число $n$ является общительным числом Капрекара , если оно является периодической точкой для $F_{p,b}$, где $F_{p,b}^{k}(n)=n$ для положительного целого числа $k$ (где $F_{p,b}^{k}$ это $k$итерация ​ ​ $F_{p,b}$), и образует цикл периода $k$. Число Капрекара – это общительное число Капрекара с $k=1$, а дружественное число Капрекара — это общительное число Капрекара с $k=2$.

Количество итераций $i$ необходимо для $F_{p,b}^{i}(n)$ достижения фиксированной точки — это функции Капрекара сохранение $n$и неопределенным, если он никогда не достигает фиксированной точки.

Существует только конечное число $p$-Числа Капрекара и циклы для заданной базы $b$, потому что, если $n=b^{p}+m$, где $m>0$ затем

${\begin{aligned}n^{2}&=(b^{p}+m)^{2}\\&=b^{2p}+2mb^{p}+m^{2}\\&=(b^{p}+2m)b^{p}+m^{2}\\\end{aligned}}$

и $\beta =m^{2}$, $\alpha =b^{p}+2m$, и $F_{p,b}(n)=b^{p}+2m+m^{2}=n+(m^{2}+m)>n$. Только когда $n\leq b^{p}$ существуют ли числа и циклы Капрекара.

Если $d$ является любым делителем $p$, затем $n$ также является $p$-Номер Капрекара для базы $b^{p}$.

В базе $b=2$, все даже совершенные числа являются числами Капрекара. В более общем смысле любые числа вида $2^{n}(2^{n+1}-1)$ или $2^{n}(2^{n+1}+1)$ для натурального числа $n$ — числа Капрекара по основанию 2 .

Теоретико-множественное определение

Набор $K(N)$ для данного целого числа $N$ можно определить как набор целых чисел $X$ для которых существуют натуральные числа $A$ и $B$ удовлетворяющее диофантовому уравнению

$X^{2}=AN+B$, где $0\leq B<N$

$X=A+B$

Ан $n$-Номер Капрекара для базы $b$ тогда тот, который лежит в множестве $K(b^{n})$.

Его показали в 2000 году что существует биекция между делителями унитарными $N-1$ и набор $K(N)$определено выше. Позволять $\operatorname {Inv} (a,c)$ обозначают мультипликативную обратную величину $a$ модуль $c$, а именно наименьшее положительное целое число $m$ такой, что $am=1{\bmod {c}}$, и для каждого унитарного делителя $d$ из $N-1$ позволять $e={\frac {N-1}{d}}$ и $\zeta (d)=d\ {\text{Inv}}(d,e)$. Тогда функция $\zeta$ является биекцией множества унитарных делителей $N-1$ на съемочную площадку $K(N)$. В частности, ряд $X$ есть в наборе $K(N)$ если и только если $X=d\ {\text{Inv}}(d,e)$ для некоторого унитарного делителя $d$ из $N-1$.

Числа в $K(N)$ встречаются в комплементарных парах, $X$ и $N-X$. Если $d$ является унитарным делителем $N-1$ тогда так и есть $e={\frac {N-1}{d}}$, и если $X=d\operatorname {Inv} (d,e)$ затем $N-X=e\operatorname {Inv} (e,d)$.

Числа Капрекара для $F_{p,b}$

б = 4 к + 3 и р = 2 п + 1

Позволять $k$ и $n$ быть натуральными числами, основанием счисления $b=4k+3=2(2k+1)+1$, и $p=2n+1$. Затем:

• $X_{1}={\frac {b^{p}-1}{2}}=(2k+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ — число Капрекара.

Доказательство

Позволять

${\begin{aligned}X_{1}&={\frac {b^{p}-1}{2}}\\&={\frac {b-1}{2}}\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}\\&={\frac {4k+3-1}{2}}\sum _{i=0}^{2n+1-1}b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\end{aligned}}$

Затем,

${\begin{aligned}X_{1}^{2}&=\left({\frac {b^{p}-1}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {b^{2p}-2b^{p}+1}{4}}\\&={\frac {b^{p}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n+1}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)(4k+4)-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}\\&={\frac {-(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)(4k+3)^{2n}(b^{p}-2)\\&={\frac {-(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)(4k+4)+(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{2n-1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(k+1)b^{2n}(b^{p}-2)-(k+1)b^{2n-1}(b^{2n+1}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}(k+1)b^{i}(b^{p}-2)\\&={\frac {(4k+3)^{p-2}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {(4k+3)^{1}(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&={\frac {-(b^{p}-2)+1}{4}}+(b^{p}-2)(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+{\frac {-4b^{2n+1}+3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3b^{2n+1}+3}{4}}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{p-2}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=p-2}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {3(4k+3)^{1}+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=1}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}+{\frac {-3+3}{4}}+3(k+1)\sum _{i=0}^{p-1}(-1)^{i}b^{i}\\&=(b^{p}-2)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+3(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}-2+3)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)(k+1)\left(\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)-b^{p}\\&=(b^{p}+1)\left(-1+(k+1)\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{2n}(-1)^{i}b^{i}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}b^{2i}-b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+(k+1)\sum _{i=1}^{n}(b-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}((k+1)b-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(4k+3)-k-1)b^{2i-1}\right)+1\\&=(b^{p}+1)\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\end{aligned}}$

Два числа $\alpha$ и $\beta$ являются

$\beta =X_{1}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}$

$\alpha ={\frac {X_{1}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}$

и их сумма

${\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+1+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}&=X_{1}\\\end{aligned}}$

Таким образом, $X_{1}$ — число Капрекара.

• $X_{2}={\frac {b^{p}+1}{2}}=X_{1}+1$ является числом Капрекара для всех натуральных чисел. $n$.

Доказательство

Позволять

${\begin{aligned}X_{2}&={\frac {b^{2n+1}+1}{2}}\\&={\frac {b^{2n+1}-1}{2}}+1\\&=X_{1}+1\end{aligned}}$

Затем,

${\begin{aligned}X_{2}^{2}&=(X_{1}+1)^{2}\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=X_{1}^{2}+2X_{1}+1\\&=b^{p}\left(k+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+b^{p}-1+1\\&=b^{p}\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\end{aligned}}$

Два числа $\alpha$ и $\beta$ являются

$\beta =X_{2}^{2}{\bmod {b}}^{p}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}$

$\alpha ={\frac {X_{2}^{2}-\beta }{b^{p}}}=k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}$

и их сумма

${\begin{aligned}\alpha +\beta &=\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)+\left(k+1+\sum _{i=1}^{n}(kb+(3k+2))b^{2i-1}\right)\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+2(3k+2))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(6k+4))b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k)b+(4k+3))b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}((2k+1)b)b^{2i-1}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{n}(2k+1)b^{2i}+(2k+1)b^{2i-1}\\&=2k+2+\sum _{i=1}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+\sum _{i=0}^{2n}(2k+1)b^{i}\\&=1+(2k+1)\sum _{i=0}^{2n}b^{i}\\&=1+X_{1}\\&=X_{2}\end{aligned}}$

Таким образом, $X_{2}$ — число Капрекара.

б = м ² k + m + 1 и p = mn + 1

Позволять $m$, $k$, и $n$ быть натуральными числами, основанием счисления $b=m^{2}k+m+1$, и мощность $p=mn+1$. Затем:

• $X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ — число Капрекара.
• $X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{1}+1$ — число Капрекара.

б = м ² k + m + 1 и p = mn + m - 1

Позволять $m$, $k$, и $n$ быть натуральными числами, основанием счисления $b=m^{2}k+m+1$, и мощность $p=mn+m-1$. Затем:

• $X_{1}={\frac {m(b^{p}-1)}{4}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ — число Капрекара.
• $X_{2}={\frac {mb^{p}+1}{4}}=X_{3}+1$ — число Капрекара.

б = м ² к + м ² − m + 1 и p = mn + 1

Позволять $m$, $k$, и $n$ быть натуральными числами, основанием счисления $b=m^{2}k+m^{2}-m+1$, и мощность $p=mn+m-1$. Затем:

• $X_{1}={\frac {(m-1)(b^{p}-1)}{m}}=(m-1)(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ — число Капрекара.
• $X_{2}={\frac {(m-1)b^{p}+1}{m}}=X_{1}+1$ — число Капрекара.

б = м ² к + м ² − m + 1 и p = mn + m − 1

Позволять $m$, $k$, и $n$ быть натуральными числами, основанием счисления $b=m^{2}k+m^{2}-m+1$, и мощность $p=mn+m-1$. Затем:

• $X_{1}={\frac {b^{p}-1}{m}}=(mk+1)\sum _{i=0}^{p-1}b^{i}$ — число Капрекара.
• $X_{2}={\frac {b^{p}+m-1}{m}}=X_{3}+1$ — число Капрекара.

Числа Капрекара и циклы $F_{p,b}$ для конкретного $p$, $b$

Все числа в базе $b$.

База $b$	Власть $p$	Нетривиальные числа Капрекара $n\neq 0$, $n\neq 1$	Циклы
2	1	10	$\varnothing$
3	1	2, 10	$\varnothing$
4	1	3, 10	$\varnothing$
5	1	4, 5, 10	$\varnothing$
6	1	5, 6, 10	$\varnothing$
7	1	3, 4, 6, 10	$\varnothing$
8	1	7, 10	2 → 4 → 2
9	1	8, 10	$\varnothing$
10	1	9, 10	$\varnothing$
11	1	5, 6, А, 10	$\varnothing$
12	1	Б, 10	$\varnothing$
13	1	4, 9, С, 10	$\varnothing$
14	1	Д, 10	$\varnothing$
15	1	7, 8, Е, 10	2 → 4 → 2 9 → Б → 9
16	1	6, А, Ж, 10	$\varnothing$
2	2	11	$\varnothing$
3	2	22, 100	$\varnothing$
4	2	12, 22, 33, 100	$\varnothing$
5	2	14, 31, 44, 100	$\varnothing$
6	2	23, 33, 55, 100	15 → 24 → 15 41 → 50 → 41
7	2	22, 45, 66, 100	$\varnothing$
8	2	34, 44, 77, 100	4 → 20 → 4 11 → 22 → 11 45 → 56 → 45
2	3	111, 1000	10 → 100 → 10
3	3	111, 112, 222, 1000	10 → 100 → 10
2	4	110, 1010, 1111, 10000	$\varnothing$
3	4	121, 2102, 2222, 10000	$\varnothing$
2	5	11111, 100000	10 → 100 → 10000 → 1000 → 10 111 → 10010 → 1110 → 1010 → 111
3	5	11111, 22222, 100000	10 → 100 → 10000 → 1000 → 10
2	6	11100, 100100, 111111, 1000000	100 → 10000 → 100 1001 → 10010 → 1001 100101 → 101110 → 100101
3	6	10220, 20021, 101010, 121220, 202202, 212010, 222222, 1000000	100 → 10000 → 100 122012 → 201212 → 122012
2	7	1111111, 10000000	10 → 100 → 10000 → 10 1000 → 1000000 → 100000 → 1000 100110 → 101111 → 110010 → 1010111 → 1001100 → 111101 → 100110
3	7	1111111, 1111112, 2222222, 10000000	10 → 100 → 10000 → 10 1000 → 1000000 → 100000 → 1000 1111121 → 1111211 → 1121111 → 1111121
2	8	1010101, 1111000, 10001000, 10101011, 11001101, 11111111, 100000000	$\varnothing$
3	8	2012021, 10121020, 12101210, 21121001, 20210202, 22222222, 100000000	$\varnothing$
2	9	10010011, 101101101, 111111111, 1000000000	10 → 100 → 10000 → 100000000 → 10000000 → 100000 → 10 1000 → 1000000 → 1000 10011010 → 11010010 → 10011010

Расширение для отрицательных целых чисел

Числа Капрекара можно расширить до отрицательных целых чисел, используя представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

См. также

• Арифметическая динамика
• Автоморфное число
• Число Дюдени
• Факторион
• Счастливое число
• постоянная Капрекара
• Число Мертенса
• Нарциссическое число
• Идеальный цифро-цифровой инвариант
• Идеальный цифровой инвариант
• Сумма-номер продукта

Ссылки

• Д. Р. Капрекар (1980–1981). «О числах Капрекара». Журнал развлекательной математики . 13 : 81–82.
• М. Чарош (1981–1982). «Некоторые применения изгнания 999...». Журнал развлекательной математики . 14 : 111–118.
• Яннуччи, Дуглас Э. (2000). «Числа Капрекара» . Журнал целочисленных последовательностей . 3 :00.1.2. Бибкод : 2000JIntS...3...12I .