Полигональный номер

В математике многоугольное число — это число , учитывающее точки, расположенные в форме правильного многоугольника . Это один из видов двумерных фигурных чисел .

Определение и примеры [ править ]

Например, число 10 можно расположить в виде треугольника (см. треугольное число ):

Но число 10 нельзя разложить в виде квадрата . Число 9, с другой стороны, может быть (см. квадратное число ):

Некоторые числа, например 36, можно расположить как в виде квадрата, так и в виде треугольника (см. квадратно-треугольное число ):

По соглашению, 1 — это первое число многоугольника с любым количеством сторон. Правило увеличения многоугольника до следующего размера состоит в том, чтобы удлинить два соседних плеча на одну точку, а затем добавить необходимые дополнительные стороны между этими точками. На следующих диаграммах каждый дополнительный слой показан красным.

Треугольные числа [ править ]

Квадратные числа [ править ]

Многоугольники с большим числом сторон, такие как пятиугольники и шестиугольники, также могут быть построены в соответствии с этим правилом, хотя точки больше не будут образовывать идеально правильную решетку, как указано выше.

Пятиугольные числа [ править ]

Шестиугольные числа [ править ]

Формула [ править ]

Если $s$ — количество сторон многоугольника, формула для $n-$ го $s$ числа $-угольника P (s, n)$ имеет вид

P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}

или

P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n

число $n$ -е $-угольное$ также связано с треугольными числами $T n$ следующим образом: ^[1]

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.

Таким образом:

{\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,,\\P(s+k,n)-P(s,n)&=kT_{n-1}=k{\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}

Для данного $s$ -угольного числа $P (s, n) = x$ можно найти $n$ по формуле

n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}

и можно найти $s$ по

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}

.

Каждое шестиугольное число также является треугольным . числом

Применяя формулу выше:

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n

для случая 6 сторон дает:

P(6,n)=4T_{n-1}+n

но поскольку:

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}

отсюда следует, что:

P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}

Это показывает, что $n-$ е шестиугольное число $P (6, n)$ также является $(2 n - 1)-м$ треугольным числом $T 2 n -1$ . Мы можем найти каждое шестиугольное число, просто взяв нечетные треугольные числа: ^[1]

1 , 3, 6 , 10, 15 , 21, 28 , 36, 45 , 55, 66 , ...

Таблица значений [ править ]

Первые 6 значений в столбце «сумма обратных величин» для чисел от треугольных до восьмиугольных взяты из опубликованного решения общей проблемы, которое также дает общую формулу для любого количества сторон в терминах дигамма-функции . ^[2]

$с$	Имя	Формула	$н$										Сумма обратных величин ^[2]^[3]	ОЕИС номер
$с$	Имя	Формула	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Сумма обратных величин ^[2]^[3]	ОЕИС номер
2	Натуральный (отрезок линии)	$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 / 2 ( 0n 2 + 2n ) = n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	∞ ( расходится )	А000027
3	Треугольный	$1 / 2 (н 2 + н)$	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	2 ^[2]	А000217
4	Квадрат	$1/2 (2 н 2 - 0 п) = п 2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	$п$ ²/ 6 ^[2]	А000290
5	пятиугольный	$1/2 (3 н 2 - п)$	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3 пер 3 - π \sqrt 3 / 3$ ^[2]	А000326
6	Шестиугольный	$1/2 (4 н 2 - 2н) = 2н 2 - н$	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	$2 в 2$ ^[2]	А000384
7	семиугольный	$1/2 (5 н 2 - 3н)$	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	${\begin{matrix}{\tfrac {2}{3}}\ln 5\\+{\tfrac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{15}}\end{matrix}}$ ^[2]	А000566
8	Восьмиугольный	$1/2 (6 н 2 - 4 п) = 3 н 2 - 2 н$	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	$3/4 3+ пер π \sqrt 3 / 12$ ^[2]	А000567
9	Неугольный	$1/2 (7 н 2 - 5н)$	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		А001106
10	Десятиугольный	$1/2 (8 н 2 - 6 п) = 4 н 2 - 3 н$	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	$пер. 2 + п / 6$	А001107
11	Hendecagonal	$1/2 н 9 (2 - 7н)$	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		А051682
12	двенадцатиугольный	$1/2 н 10 (2 - 8 п)$	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		А051624
13	Трехдесятиугольный	$1/2 . (11 н 2 - 9н)$	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		А051865
14	Тетрадекагональный	$1/2 . (12 н 2 - 10 н)$	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	$2/5 пер 2 + 3/10 пер 3 + π \sqrt 3 / 10$	А051866
15	Пятидесятиугольный	$1/2 . (13 н 2 - 11 п)$	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595		А051867
16	Шестидесятиугольный	$1/2 . (14 н 2 - 12 п)$	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		А051868
17	семиугольный	$1/2 . (15 н 2 - 13 п)$	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		А051869
18	восьмиугольный	$1/2 . (16 н 2 - 14 п)$	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	$4 / 7 пер 2 - \sqrt 2 / 14 пер (3 - 2 \sqrt 2)$ $+ π (1 + \sqrt 2) / 14$	А051870
19	Эннеадекагональный	$1/2 . (17 н 2 - 15 н)$	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		А051871
20	икосагональный	$1/2 . (18 н 2 - 16 п)$	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		А051872
21	Шестиугольный	$1/2 . н 19 (2 - 17 п)$	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		А051873
22	икосидигональный	$1/2 н 20 (2 - 18 п)$	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		А051874
23	икозитригональный	$1/2 . (21 н 2 - 19 п)$	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		А051875
24	Икоситетрагональный	$1/2 . (22 н 2 - 20 н)$	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		А051876
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	Мириагональный	$1/2 . н (99982 - 9996 н)$	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		А167149

Интернет- энциклопедия целочисленных последовательностей избегает терминов с греческими префиксами (например, «восьмиугольный») в пользу терминов, использующих цифры (например, «8-угольный»).

Свойство этой таблицы может быть выражено следующим тождеством (см. A086270 ):

2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),

с

k=0,1,2,3,...,s-3.

Комбинации [ править ]

Некоторые числа, например 36, которое является одновременно квадратным и треугольным, распадаются на два многоугольных набора. Проблему определения по двум таким наборам всех чисел, принадлежащих обоим, можно решить, сведя задачу к уравнению Пелля . Простейшим примером этого является последовательность квадратных треугольных чисел .

В следующей таблице суммирован набор $s$ -угольных $t$ -гональных чисел для малых значений $s$ и $t$ .

$с$	$т$	Последовательность	ОЕИС номер
4	3	1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ...	А001110
5	3	1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465, …	А014979
5	4	1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ...	А036353
6	3	Все шестиугольные числа также являются треугольными.	А000384
6	4	1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625, 3338847817559778254844961, 3853027488179473932250054441, ...	А046177
6	5	1, 40755, 1533776805, …	А046180
7	3	1, 55, 121771, 5720653, 12625478965, 593128762435, 1309034909945503, 61496776341083161, 135723357520344181225, 6376108764003055554511, 14072069153115290487843091, …	А046194
7	4	1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, …	А036354
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935, …	А048900
7	6	1, 121771, 12625478965, …	А048903
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	А046183
8	4	1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, …	А036428
8	5	1, 176, 1575425, 234631320, …	А046189
8	6	1, 11781, 113123361, …	А046192
8	7	1, 297045, 69010153345, …	А048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	А048909
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, ...	А036411
9	5	1, 651, 180868051, …	А048915
9	6	1, 325, 5330229625, …	А048918
9	7	1, 26884, 542041975, …	А048921
9	8	1, 631125, 286703855361, …	А048924

{{{аннотации}}}

Доказательство без слов , что все шестиугольные числа являются нечетными треугольными числами.

В некоторых случаях, например, $s = 10$ и $t = 4$ , в обоих наборах нет чисел, кроме 1.

Задача нахождения чисел, принадлежащих трем многоугольным множествам, более сложна. Компьютерный поиск пятиугольных, квадратных, треугольных чисел дал только тривиальное значение 1, хотя доказательство того, что других таких чисел не существует, еще не найдено. ^[4]

Число 1225 бывает гекатоникозитрагональным ( $s = 124$ ), шестиконтагональным ( $s = 60$ ), икосиеннеагональным ( $s = 29$ ), шестиугольным, квадратным и треугольным.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Конвей, Джон Х .; Гай, Ричард (6 декабря 2012 г.). Книга чисел . Springer Science & Business Media. стр. 38–41. ISBN 978-1-4612-4072-3 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час «Суммы обратных многоугольных чисел и теорема Гаусса» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 15 июня 2011 г. Проверено 13 июня 2010 г.
^ «За пределами Базельской проблемы: суммы обратных величин фигурных чисел» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 мая 2013 г. Проверено 13 мая 2010 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Пятиугольное квадратное треугольное число» . Математический мир .

Ссылки [ править ]

Словарь любопытных и интересных чисел Penguin , Дэвид Уэллс ( Penguin Books , 1997) [ ISBN 0-14-026149-4 ].
Полигональные числа в PlanetMath
Вайсштейн, Эрик В. «Многоугольные числа» . Математический мир .
Ф. Тэпсон (1999). Оксфордский учебный словарь по математике (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9 .

Внешние ссылки [ править ]

«Многоугольное число» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Многоугольные числа: каждое s-полигональное число от 1 до 1000 кликабельно для 2<=s<=337.
Многоугольные числа на сетке спирали Улама на YouTube
Функция подсчета многоугольных чисел: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853

[:0-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Конвей, Джон Х .; Гай, Ричард (6 декабря 2012 г.). Книга чисел . Springer Science & Business Media. стр. 38–41. ISBN 978-1-4612-4072-3 .

[siam_07-003s-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час «Суммы обратных многоугольных чисел и теорема Гаусса» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 15 июня 2011 г. Проверено 13 июня 2010 г.

[3] «За пределами Базельской проблемы: суммы обратных величин фигурных чисел» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 мая 2013 г. Проверено 13 мая 2010 г.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Пятиугольное квадратное треугольное число» . Математический мир .

[1]

[2]

[3]

[4]