сериал Гранди

В математике бесконечный ряд 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ , также записываемый

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}

иногда называют рядом Гранди , в честь итальянского математика , философа и священника Гвидо Гранди , который дал памятную трактовку этого ряда в 1703 году. Это расходящийся ряд , что означает, что он не имеет суммы.

Однако им можно манипулировать, чтобы получить ряд математически интересных результатов. Например, в математике многие методы суммирования используются для присвоения числовых значений даже расходящимся рядам. Например, суммирование Чезаро и суммирование Рамануджана этого ряда равно 1/2.

Нестрогие методы

Один очевидный способ найти сумму ряда

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

заключается в том, чтобы относиться к нему как к телескопическому ряду и выполнять вычитания на месте:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

С другой стороны, аналогичная процедура заключения в скобки приводит к явно противоречивому результату

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.

Таким образом, применяя скобки к ряду Гранди разными способами, можно получить в качестве «значения» либо 0, либо 1. (Вариации этой идеи, называемые мошенничеством Эйленберга-Мазура , иногда используются в теории узлов и алгебре .) Взяв среднее из этих двух «значений», можно обосновать, что ряд сходится к ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Рассматривая ряд Гранди как расходящийся геометрический ряд и используя те же алгебраические методы, которые оценивают сходящиеся геометрические ряды, чтобы получить третье значение:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + ..., поэтому

1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = S

1 - С = С

1 = 2 С ,

в результате S = ⁠ 1/2 ⁠ . Тот же вывод следует из вычисления − S (из − S = (1 − S ) − 1) , вычитания результата из S и решения 2 S = 1 . ^{[ 1 ]}

Приведенные выше манипуляции не учитывают, что на самом деле означает сумма ряда и как указанные алгебраические методы могут быть применены к расходящимся геометрическим рядам . Тем не менее, поскольку важно уметь заключать ряды в скобки по своему желанию и еще важнее уметь выполнять с ними арифметические действия, можно прийти к двум выводам:

Ряд 1 − 1 + 1 − 1 + ... не имеет суммы. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}
... но его сумма должна быть ⁠ 1 / 2 ⁠ . ^{[ 2 ]}

На самом деле оба этих утверждения можно уточнить и формально доказать, но только с использованием вполне определенных математических понятий, возникших в XIX веке. в конце 17-го века После появления исчисления в Европе , но до появления современной строгости , напряжение между этими ответами подпитывало то, что было охарактеризовано как «бесконечный» и «жестокий» спор между математиками . ^{[ 3 ]}

Связь с геометрическим рядом

На любое число $r$ в интервале ⁠ $(-1,1)$ ⁠ сумму до бесконечности геометрической прогрессии можно оценить через

\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}r^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}.

Для любого $\varepsilon \in (0,2)$ , таким образом находим

\sum _{n=0}^{\infty }(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{1-(-1+\varepsilon )}}={\frac {1}{2-\varepsilon }},

и так предел $\varepsilon \to 0$ серии оценок

\lim _{\varepsilon \to 0}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{2}}.

Однако, как уже упоминалось, ряд, полученный переключением пределов,

\lim _{N\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}

расходится.

Что касается комплексного анализа , Таким образом, ⁠ 1 / 2 ⁠ рассматривается как значение в точке z = −1 аналитического продолжения ряда ⁠ $\textstyle \sum _{n=0}^{N}z^{n}$ ⁠ , который определен только на комплексном единичном круге, | г | < 1 .

Ранние идеи

Дивергенция

В современной математике сумма бесконечного ряда определяется как предел последовательности его частичных сумм , если она существует. Последовательность частичных сумм ряда Гранди равна 1, 0, 1, 0,..., что явно не приближается ни к какому числу (хотя и имеет две точки накопления — 0 и 1). Следовательно, ряд Гранди расходится .

Можно показать, что недопустимо выполнять многие, казалось бы, безобидные операции над рядом, такие как изменение порядка отдельных членов, если только ряд не является абсолютно сходящимся . В противном случае эти операции могут изменить результат суммирования. ^{[ 4 ]} Кроме того, члены ряда Гранди можно переставить так, чтобы точки накопления находились в любом интервале из двух или более последовательных целых чисел, а не только 0 или 1. Например, ряд

1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-\cdots

(в котором после пяти начальных членов +1 термины чередуются парами +1 и -1 - бесконечность как +1, так и -1 позволяет добавлять к началу любое конечное число единиц или -1 в соответствии с парадоксом Гильберта Гранд-отель ) — перестановка ряда Гранди, в которой каждое значение в переставленном ряду соответствует значению, находящемуся не более чем на четырех позициях от него в исходном ряду; его точки накопления — 3, 4 и 5.

Образование

Когнитивное воздействие

Примерно в 1987 году Анна Серпиньска представила серию Гранди группе 17-летних студентов предварительных курсов варшавского лицея . Она сосредоточила внимание на студентах-гуманитариях, ожидая, что их математический опыт будет менее значительным, чем у их сверстников, изучающих математику и физику, поэтому эпистемологические препятствия, которые они демонстрируют, будут более репрезентативными для препятствий, которые все еще могут присутствовать у лицеистов.

Серпинская изначально ожидала, что студенты откажутся присвоить значение ряду Гранди, и в этот момент она могла шокировать их, заявив, что 1 - 1 + 1 - 1 + ··· = ⁠ 1/2 ⁠ результате в формулы геометрической прогрессии. В идеале, ища ошибку в рассуждениях и исследуя формулы для различных общих отношений, студенты «заметят, что существует два типа рядов, и родится неявная концепция сходимости». ^{[ 5 ]} Однако студенты не выразили шока, когда им сказали, что 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠ 1/2 1 + 2 + 4 ⁠ или даже + 8 + ⋯ = −1 . Серпинская отмечает, что априори реакция студентов не должна вызывать удивления, учитывая, что Лейбниц и Гранди считали ⁠ 1/2 ⁠ ; — правдоподобный результат

«Однако апостериори объяснение отсутствия шока со стороны студентов может быть несколько иным. Они спокойно приняли абсурд, потому что, в конце концов, «математика совершенно абстрактна и далека от реальности», и «с этими математическими трансформациями можно доказать всякую ерунду», как сказал потом один из мальчиков». ^{[ 5 ]}

Студенты в конечном итоге не были застрахованы от вопроса конвергенции; Серпинской удалось привлечь их к решению этой проблемы, связав ее на следующий день с десятичными расширениями. Как только 0,999... = 1 застало студентов врасплох, остальной материал «прошёл мимо их ушей». ^{[ 5 ]}

Предубеждения

В другом исследовании, проведенном в Тревизо , Италия, примерно в 2000 году, ученикам третьего и четвертого курсов Liceo Scientifico (в возрасте от 16 до 18 лет) раздавались карточки со следующими вопросами:

«В 1703 году математик Гвидо Гранди изучал сложение: 1 − 1 + 1 − 1 + ... (слагаемые, которых бесконечно много, всегда равны +1 и –1). Что вы об этом думаете?»

Студентам была представлена идея бесконечного множества, но у них не было опыта работы с бесконечными сериями. Им дали десять минут без книг и калькуляторов. 88 ответов были распределены по следующим категориям:

(26) результат 0

(18) результат может быть либо 0, либо 1

(5) результат не существует

(4) результат ⁠ 1 2 ⁠

(3) результат 1

(2) результат бесконечен

(30) нет ответа

Исследователь Джорджио Баньи взял интервью у нескольких студентов, чтобы выяснить их рассуждения. Около 16 из них обосновали ответ 0, используя логику, аналогичную логике Гранди и Риккати. Другие оправданы ⁠ 1/2 . ⁠ века как среднее от 0 и 1. Баньи отмечает, что их рассуждения, хотя и похожи на рассуждения Лейбница, лишены вероятностной основы, которая была так важна для математики 18-го Он заключает, что ответы согласуются со связью между историческим развитием и индивидуальным развитием, хотя культурный контекст различен. ^{[ 6 ]}

Перспективы

Джоэл Леманн описывает процесс различения различных концепций суммы как строительство моста через концептуальную расселину: путаницу по поводу расхождений, которая преследовала математику 18-го века.

«Поскольку серии обычно представляются без истории и отдельно от приложений, учащийся должен задаться вопросом не только «Что это за вещи?», но и «Почему мы это делаем?» Озабоченность определением сходимости, а не суммы, делает весь процесс искусственны и бессмысленны для многих студентов, а также для преподавателей». ^{[ 7 ]}

В результате у многих студентов развивается отношение, похожее на отношение Эйлера:

«...проблемы, которые возникают естественным образом (т. е. из природы), действительно имеют решения, поэтому предположение о том, что в конечном итоге все наладится, подтверждается экспериментально без необходимости каких-либо доказательств существования. Предположим, что все в порядке, и если полученное решение работает, вы, вероятно, были правы, или, по крайней мере, достаточно правы... так зачем беспокоиться о деталях, которые появляются только в домашних заданиях?» ^{[ 8 ]}

Леманн рекомендует ответить на это возражение тем же примером, который был приведен Жаном-Шарлем Калле против трактовки Эйлером ряда Гранди. Эйлер рассматривал сумму как оценку при x = 1 геометрической прогрессии ⁠ $1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots =1/(1+x)$ ⁠ , давая сумму ⁠ 1/2 ⁠ . Однако Калле отметил, что вместо этого можно рассматривать ряд Гранди как оценку при x = 1 другого ряда, ⁠ $1-x^{2}+x^{3}-x^{5}+x^{6}-\cdots ={\tfrac {1+x}{1+x+x^{2}}}$ ⁠ , давая сумму ⁠ 2 / 3 ⁠ . Леман утверждает, что такой противоречивый результат в интуитивных оценках может мотивировать необходимость строгих определений и внимания к деталям. ^{[ 8 ]}

Суммируемость

Связанные проблемы

Ряд 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ... ( до бесконечности) также расходится, но можно использовать некоторые методы для его суммирования до ⁠ 1/4 ⁠ . Это квадрат значения, которое большинство методов суммирования присваивают ряду Гранди, что вполне разумно, поскольку его можно рассматривать как произведение Коши двух копий ряда Гранди.

См. также

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б Девлин 1994 , с. 77
^ Перейти обратно: ^а ^б Дэвис 1989 , с. 152
^ Кляйн 1983 , с. 307; Кнопп 1990 , с. 457
^ Проттер и Морри, 1991 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Серпинская 1987 , стр. 371–378
^ Баньи 2005 , стр. 6–8
^ Леманн 1995 , с. 165
^ Перейти обратно: ^а ^б Леманн 1995 , с. 176

Ссылки

Баньи, Джорджио Т. (июнь 2005 г.). «Бесконечная серия от истории до математического образования» (PDF) . Международный журнал преподавания и изучения математики . Архивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2006 г.
Дэвис, Гарри Ф. (май 1989 г.). Ряды Фурье и ортогональные функции . Дувр. ISBN 978-0-486-65973-2 .
Девлин, Кейт (1994). Математика, наука о закономерностях: поиск порядка в жизни, разуме и Вселенной . Научная американская библиотека. ISBN 978-0-7167-6022-1 .
Клайн, Моррис (ноябрь 1983 г.). «Эйлер и бесконечный ряд». Журнал «Математика» . 56 (5): 307–314. CiteSeerX 10.1.1.639.6923 . дои : 10.2307/2690371 . JSTOR 2690371 .
Кнопп, Конрад (1990) [1922]. Теория и применение бесконечных рядов . Дувр. ISBN 978-0-486-66165-0 .
Хобсон, EW (1907). Теория функций действительного переменного и теория рядов Фурье . Издательство Кембриджского университета . раздел 331. ISBN 978-1-4181-8651-7 .
Леманн, Джоэл (1995). «Сходящиеся концепции сериалов: уроки истории». Ин Свец, Фрэнк; Фовель, Джон; Беккен, Отто; Йоханссон, Бенгт; Кац, Виктор (ред.). Учитесь у Мастеров! (PDF) . Математическая ассоциация Америки. стр. 161–180.
Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1991). Первый курс реального анализа . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер. п. 249. ИСБН 978-0-387-97437-8 .
Серпинская, Анна (ноябрь 1987 г.). «Студенты-гуманитарии и эпистемологические препятствия, связанные с ограничениями». Образовательные исследования по математике . 18 (4): 371–396. дои : 10.1007/BF00240986 . JSTOR 3482354 . S2CID 144880659 .
Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1962). Курс современного анализа (4-е, переиздание). Издательство Кембриджского университета . § 2.1.

Внешние ссылки

Один минус один плюс один минус один — Числофил , сериал Гранди

[FOOTNOTEDevlin199477-1] Перейти обратно: ^а ^б Девлин 1994 , с. 77

[FOOTNOTEDavis1989152-2] Перейти обратно: ^а ^б Дэвис 1989 , с. 152

[3] Кляйн 1983 , с. 307; Кнопп 1990 , с. 457

[FOOTNOTEProtterMorrey1991-4] Проттер и Морри, 1991 г.

[FOOTNOTESierpińska1987371–378-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с Серпинская 1987 , стр. 371–378

[FOOTNOTEBagni20056–8-6] Баньи 2005 , стр. 6–8

[FOOTNOTELehmann1995165-7] Леманн 1995 , с. 165

[FOOTNOTELehmann1995176-8] Перейти обратно: ^а ^б Леманн 1995 , с. 176

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

v т и сериал Гранди
History Education Summation Occurrences
People	Luigi Guido Grandi
Related	Thomson's lamp
Category