Расходящиеся геометрические ряды

В математике бесконечная геометрическая прогрессия вида

$\sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots$

расходится тогда и только тогда , когда | р | ≥ 1 . Иногда полезны методы суммирования расходящихся рядов, которые обычно оценивают расходящиеся геометрические ряды до суммы, согласующейся с формулой для сходящегося случая.

$\sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}={\frac {a}{1-r}}.$

Это справедливо для любого метода суммирования, обладающего свойствами регулярности, линейности и устойчивости .

Примеры

В порядке возрастания сложности суммируем:

• 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ , общее отношение которого равно -1
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ , общее отношение которых равно −2
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ , общее отношение которых равно 2
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ , общее отношение которых равно 1.

Мотивация к учебе

Полезно выяснить, какие методы суммирования дают формулу геометрического ряда, для каких общих отношений. Одним из применений этой информации является так называемый принцип Бореля-Окады : если обычный метод суммирования суммирует Σ z ^н до 1/(1 - z ) для всех z в подмножестве S комплексной плоскости при определенных ограничениях на S , то метод также дает аналитическое продолжение любой другой функции f ( z ) = Σ a _n z ^н на пересечении S со звездой Миттаг-Леффлера для f .

Суммируемость по регионам

Открыть диск устройства

Обычное суммирование удается только для обычных отношений | г | < 1.

Закрытый модульный диск

• Суммирование Чезаро
• Суммирование Абеля

Диски большего размера

• суммирование Эйлера

Полуплоскость

Ряд суммируем по Борелю для любого z с вещественной частью < 1. Любой такой ряд также суммируем обобщенным методом Эйлера (E, a ) для подходящего a .

Затененный самолет

Некоторые методы постоянной момента, помимо суммирования по Борелю, могут суммировать геометрические ряды по всей звезде Миттаг-Леффлера функции 1/(1 - z ), то есть для всех z , кроме луча z ≥ 1.

Ссылки

• Кореваар, Джейкоб (2004). Тауберова теория: столетие развития . Спрингер. ISBN  3-540-21058-Х .
• Мороз, Александр (1991). «Квантовая теория поля как проблема возобновления». arXiv : hep-th/9206074 .