Гипергеометрическая функция матричного аргумента

В математике гипергеометрическая функция матричного аргумента является обобщением классического гипергеометрического ряда . Это функция, определяемая бесконечным суммированием, которую можно использовать для вычисления некоторых многомерных интегралов.

Гипергеометрические функции матричного аргумента имеют приложения в теории случайных матриц . Например, распределения крайних собственных значений случайных матриц часто выражаются через гипергеометрическую функцию матричного аргумента.

Определение

Позволять $p\geq 0$ и $q\geq 0$ быть целыми числами, и пусть $X$ быть $m\times m$ сложная симметричная матрица.Тогда гипергеометрическая функция матричного аргумента $X$и параметр $\alpha >0$ определяется как

$_{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot C_{\kappa }^{(\alpha )}(X),$

где $\kappa \vdash k$ означает $\kappa$ является разделом ​ $k$, $(a_{i})_{\kappa }^{(\alpha )}$ — обобщенный символ Похгаммера , а $C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)$ — нормализация «C» функции Джека .

Два матричных аргумента

Если $X$ и $Y$ два $m\times m$ комплексные симметричные матрицы, то гипергеометрическая функция двух матричных аргументов определяется как:

$_{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot {\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)C_{\kappa }^{(\alpha )}(Y)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I)}},$

где $I$ - единичная матрица размера $m$.

Нетипичная функция матричного аргумента

В отличие от других функций матричного аргумента, таких как матричная экспонента , которые являются матричными, гипергеометрическая функция (одного или двух) матричных аргументов является скалярной.

Параметр α

Во многих публикациях параметр $\alpha$ опущено. Также в разных публикациях разные значения $\alpha$ предполагаются неявно. Например, в теории вещественных случайных матриц (см., например, Muirhead, 1984) $\alpha =2$ тогда как в других условиях (например, в сложном случае — см. Gross and Richards, 1989), $\alpha =1$. Что еще хуже, в теории случайных матриц исследователи склонны отдавать предпочтение параметру, называемому $\beta$ вместо $\alpha$ который используется в комбинаторике.

Следует помнить, что

$\alpha ={\frac {2}{\beta }}.$

Следует проявлять осторожность относительно того, использует ли конкретный текст параметр. $\alpha$ или $\beta$ и каково конкретное значение этого параметра.

Обычно в ситуациях, связанных с реальными случайными матрицами, $\alpha =2$ и таким образом $\beta =1$. В ситуациях, связанных со сложными случайными матрицами, приходится $\alpha =1$ и $\beta =2$.

Ссылки

• К. И. Гросс и Д. Ст. П. Ричардс, «Тотальная положительность, сферические ряды и гипергеометрические функции матричного аргумента», J. Approx. Теория , 59 , вып. 2, 224–246, 1989.
• Дж. Канеко, «Интегралы Сельберга и гипергеометрические функции, связанные с полиномами Джека», SIAM Journal on Mathematical Analysis , 24 , no. 4, 1086–1110, 1993.
• Пламен Коев и Алан Эдельман, «Эффективное вычисление гипергеометрической функции матричного аргумента», Математика вычислений , 75 , вып. 254, 833-846, 2006.
• Робб Мюрхед, Аспекты многомерной статистической теории , John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1984.

Внешние ссылки

• Программа для вычисления гипергеометрической функции матричного аргумента Пламена Коева.