1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

В математике , 1 - 2 + 4 - 8 + ⋯ — это бесконечный ряд члены которого представляют собой последовательные степени двойки с переменными знаками. Как геометрическая прогрессия , она характеризуется первым членом 1 и общим отношением −2.

$\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}$

Как ряд действительных чисел , он расходится . Поэтому в обычном смысле у него нет суммы. В гораздо более широком смысле ряду соответствует еще одно значение, кроме ∞, а именно ⁠ 1/3 2 - ⁠ , что является пределом ряда с использованием адической метрики .

Исторические аргументы

Готфрид Лейбниц рассматривал расходящиеся чередующиеся ряды 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - ⋯ еще в 1673 году. Он утверждал, что, вычитая либо слева, либо справа, можно получить либо положительную, либо отрицательную бесконечность, и, следовательно, оба ответа неверны, и целое должно быть конечным:

Обычно природа выбирает середину, если ни одно из двух не разрешено, или, скорее, если невозможно определить, какое из двух разрешено, и целое равно конечной величине.

Лейбниц не совсем утверждал, что ряд имеет сумму , но он сделал вывод о связи с ⁠ 1/3 ⁠ по методу Меркатора. Представление о том, что ряд может равняться некоторой конечной величине без фактического сложения ее как суммы, было бы обычным явлением в XVIII веке, хотя в современной математике никакого различия не делается.

После того, как Кристиан Вольф прочитал трактовку Лейбницем серии Гранди в середине 1712 года, Вольф был настолько доволен решением, что попытался распространить метод среднего арифметического на более расходящиеся ряды, такие как 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - ⋯ . Короче говоря, если выразить частичную сумму этого ряда как функцию предпоследнего члена, то получим либо ⁠ 4 м + 1/3 ⁠ или ​ ⁠ -4 п + 1 / 3 ⁠ . Среднее из этих значений ⁠ 2 m − 2 n + 1/3 ⁠ , и если предположить, что m = n на бесконечности, получим ⁠ 1/3 ⁠ как . значение ряда Интуиция Лейбница не позволила ему зайти так далеко в своем решении, и он ответил, что идея Вольфа интересна, но недействительна по нескольким причинам. Средние арифметические соседних частичных сумм не сходятся к какому-либо конкретному значению, и для всех конечных случаев n = 2 m , а не n = m . Обычно члены суммируемого ряда должны уменьшаться до нуля; даже 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ можно выразить как предел такого ряда. Лейбниц советует Вольфу пересмотреть свое решение, чтобы «создать что-то достойное науки и самого себя».

Современные методы

Геометрическая серия

Любой метод суммирования, обладающий свойствами регулярности, линейности и устойчивости, суммирует геометрическую прогрессию

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.$

В этом случае a = 1 и r = −2, поэтому сумма равна ⁠ 1 / 3 ⁠ .

суммирование Эйлера

В своих «Институциях» 1755 года Эйлер Леонард эффективно использовал то, что сейчас называется Эйлера преобразованием 1 — 2 + 4 — 8 + ⋯ , придя к сходящемуся ряду. ⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⋯ . Поскольку последняя сумма равна ⁠ 1 / 3 ⁠ , Эйлер пришел к выводу, что 1 - 2 + 4 - 8 + ... = ⁠ 1 / 3 ⁠ . Его идеи о бесконечных рядах не совсем соответствуют современному подходу; сегодня говорят, что 1 - 2 + 4 - 8 + ... суммируемо по Эйлеру и что его сумма Эйлера равна ⁠ 1 / 3 ⁠ .

Отрывок из Институтов

Преобразование Эйлера начинается с последовательности положительных членов:

а ₀ = 1,

а ₁ = 2,

а2 _, = 4

а ₃ = 8,...

последовательность прямых разностей Тогда будет

Δ а ₀ = а ₁ - а ₀ = 2 - 1 = 1,

Δ а ₁ = а ₂ - а ₁ = 4 - 2 = 2,

Δ а ₂ = а ₃ - а ₂ = 8 - 4 = 4,

Δ а ₃ = а ₄ - а ₃ = 16 - 8 = 8,...

это та же самая последовательность. Следовательно, все итерированные прямые разностные последовательности начинаются с Δ ^н а ₀ = 1 для каждого n . Преобразование Эйлера — это ряд

${\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .$

Это сходящаяся геометрическая прогрессия, сумма которой равна ⁠ 1/3 ⁠ . по обычной формуле

Суммирование Бореля

Борелевская сумма равна 1 - 2 + 4 - 8 + ⋯ также ⁠ 1/3 ​ ⁠ ; ​когда Эмиль Борель представил предельную формулировку борелевского суммирования в 1896 году, это был один из его первых примеров после 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯

p -адические числа

Последовательность частичных сумм, связанных с $1-2+4-8\ldots$ в 2-адической метрике есть

$1,-1,3,-5,11,\ldots$

и при выражении по основанию 2 с использованием дополнения до двух ,

${\overline {0}}1,{\overline {1}}1,{\overline {0}}11,{\overline {1}}011,{\overline {0}}1011,\ldots$

и предел этой последовательности равен ${\overline {01}}1={\frac {1}{3}}$ в 2-адической метрике . Таким образом $1-2+4-8\ldots ={\frac {1}{3}}$.

См. также

• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

Ссылки

• Эйлер, Леонард (1755). Введение в дифференциальное исчисление с его использованием в анализе методом конечных элементов и преподавании рядов .
• Ферраро, Джованни; Панса, Марко (февраль 2003 г.). «Развитие в серии и возвращение из серии: Заметка об основах анализа XVIII века» . История Математики . 30 (1): 17–46. дои : 10.1016/S0315-0860(02)00017-4 .
• Герхардт, CI (1860). Переписка Лейбница и Кристиана Вольфа из рукописей Королевской библиотеки в Ганновере . Холл: Х.В. Шмидт.
• Кноблох, Эберхард (2006). «За пределами картезианских пределов: переход Лейбница от алгебраической к «трансцендентальной» математике». История Математики . 33 : 113–131. дои : 10.1016/j.hm.2004.02.001 .
• Кореваар, Джейкоб (2004). Тауберова теория: столетие развития . Спрингер. ISBN  3-540-21058-Х .
• Лейбниц, Готфрид (2003). Пробст, С.; Кноблох, Э.; Гедеке, Н. (ред.). Все сочинения и письма, серия 7, том 3: 1672–1676: различия, последствия, серии . Издательство Академии. ISBN  3-05-004003-3 . Архивировано из оригинала 17 октября 2013 г. Проверено 8 марта 2007 г.
• Мур, Чарльз (1938). Суммируемые ряды и коэффициенты сходимости . АМС. LCC   QA1 .A5225 V.22 .
• Смаил, Ллойд (1925). История и краткий обзор теории суммируемых бесконечных процессов . Издательство Университета Орегона. ЖКК   QA295 .S64 .