суммирование Эйлера

В математике сходящихся и расходящихся рядов суммирование Эйлера является методом суммирования. То есть это метод присвоения значения ряду, отличный от обычного метода определения пределов частичных сумм. ряда Σ an _{Для данного} , если его преобразование Эйлера сходится к сумме, то эта сумма называется суммой Эйлера исходного ряда. Суммирование Эйлера не только используется для определения значений расходящихся рядов, но и для ускорения сходимости рядов.

Суммирование Эйлера можно обобщить в семейство методов, обозначенных (E, q ), где q ≥ 0. Сумма (E, 1) представляет собой обычную сумму Эйлера. Все эти методы строго слабее, чем суммирование по Борелю ; при q > 0 они несравнимы с суммированием Абеля .

Определение

Для некоторого значения y мы можем определить сумму Эйлера (если она сходится для этого значения y ), соответствующую конкретному формальному суммированию, как:

_{E_{y}}\,\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}:=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}y^{j+1}a_{j}.

Если все формальные суммы действительно сходятся, сумма Эйлера будет равна левой части. Однако использование суммирования Эйлера может ускорить сходимость (это особенно полезно для чередующихся рядов); иногда это также может придать полезный смысл расходящимся суммам.

Чтобы оправдать такой подход, заметим, что для переставленной суммы суммирование Эйлера сводится к исходному ряду, поскольку

y^{j+1}\sum _{i=j}^{\infty }{\binom {i}{j}}{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}=1.

Сам этот метод не может быть улучшен повторным применением, так как

_{E_{y_{1}}}{}_{E_{y_{2}}}\sum =\,_{E_{\frac {y_{1}y_{2}}{1+y_{1}+y_{2}}}}\sum .

Примеры

Используя y = 1 для формальной суммы $\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}P_{k}(j)$ мы получаем $\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}P_{k}(j),$ если Pk _k многочлен степени — . Обратите внимание, что внутренняя сумма будет равна нулю при $i > k$ , поэтому в этом случае суммирование Эйлера сводит бесконечный ряд к конечной сумме.
Особый выбор $P_{k}(j):=(j+1)^{k}$ дает явное представление чисел Бернулли , поскольку ${\frac {B_{k+1}}{k+1}}=-\zeta (-k)$ ( дзета-функция Римана ). Действительно, формальная сумма в этом случае расходится, поскольку k положительна, но применение суммирования Эйлера к дзета-функции (точнее, к связанной с ней эта-функции Дирихле ) дает (ср. Глобально сходящийся ряд ) ${\frac {1}{1-2^{k+1}}}\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{k}$ который имеет закрытую форму .
$\sum _{j=0}^{\infty }z^{j}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{\binom {i}{j}}y^{j+1}z^{j}={\frac {y}{1+y}}\sum _{i=0}^{\infty }\left({\frac {1+yz}{1+y}}\right)^{i}$

При соответствующем выборе y (т. е. равном или близком к — ⁠ 1 z ⁠ ) этот ряд сходится к ⁠ 1 1 − z ⁠ .

См. также

Ссылки

Кореваар, Джейкоб (2004). Тауберова теория: столетие развития . Спрингер. ISBN 3-540-21058-Х .
Шойер, Брюс; Уотсон, Брюс (1994). Методы суммирования Бореля: теория и приложения . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853585-6 .
Апостол, Том М. (1974). Математический анализ, второе издание . Эддисон Уэсли Лонгман. ISBN 0-201-00288-4 .