Суммирование Эйлера – Буля

Суммирование Эйлера–Буля — это метод суммирования чередующихся рядов . Концепция названа в честь Леонарда Эйлера и Джорджа Буля . Буль опубликовал этот метод суммирования, используя полиномы Эйлера , но сам метод, вероятно, уже был известен Эйлеру.

Полиномы Эйлера определяются формулой

$\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

Периодические функции Эйлера изменяют их, меняя знак в зависимости от четности целой части. $x$:

$\displaystyle {\widetilde {E}}_{n}(x+1)=-{\widetilde {E}}_{n}(x){\text{ and }}{\widetilde {E}}_{n}(x)=E_{n}(x){\text{ for }}0<x<1.$

Формула Эйлера-Буля для суммирования знакопеременных рядов:

${\begin{aligned}\displaystyle \sum _{j=a}^{n-1}(-1)^{j}f(j+h)={}&{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {E_{k}(h)}{k!}}\left((-1)^{n-1}f^{(k)}(n)+(-1)^{a}f^{(k)}(a)\right)\\&{}+{\frac {1}{2(m-1)!}}\int _{a}^{n}f^{(m)}(x){\widetilde {E}}_{m-1}(h-x)\,dx,\end{aligned}}$

где $a,m,n\in \mathbb {N} ,a<n,h\in [0,1]$ и $f^{(k)}$ - я – k производная.