Трансформация Ван Вейнгаардена

В математике и численном анализе преобразование Ван Вейнгаардена представляет собой вариант преобразования Эйлера, используемого для ускорения сходимости знакопеременного ряда .

Один алгоритм вычисления преобразования Эйлера работает следующим образом:

Вычислить строку частичных сумм $$s_{0,k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}$$ и формируем ряды средних значений между соседями $$s_{j+1,k}={\frac {s_{j,k}+s_{j,k+1}}{2}}$$ Первый столбец $s_{j,0}$ затем содержит частичные суммы преобразования Эйлера.

Вклад Адриана ван Вейнгаардена заключался в том, что он указал на то, что лучше не доводить эту процедуру до самого конца, а остановиться на двух третях пути. Если $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{12}$ доступны, то $s_{8,4}$ почти всегда является лучшим приближением суммы, чем $s_{12,0}$. Во многих случаях диагональные члены не сходятся за один цикл, поэтому процесс усреднения приходится повторять с диагональными членами, выстраивая их в ряд. (Например, это понадобится в геометрической прогрессии с соотношением $-4$.) Этот процесс последовательного усреднения среднего значения частичной суммы можно заменить, используя формулу для расчета диагонального члена.

В качестве простого, но конкретного примера вспомните формулу Лейбница для числа пи.

$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}=0.7853981\ldots$ ( 1 )

Описанный выше алгоритм дает следующую таблицу:

Вычисление преобразования Эйлера ( 1 ); выделенные значения являются окончательными результатами

1.00000000	0.66666667	0.86666667	0.72380952	0.83492063	0.74401154	0.82093462	0.75426795	0.81309148	0.76045990	0.80807895	0.76460069	0.80460069
0.83333333	0.76666667	0.79523810	0.77936508	0.78946609	0.78247308	0.78760129	0.78367972	0.78677569	0.78426943	0.78633982	0.78460069
0.80000000	0.78095238	0.78730159	0.78441558	0.78596959	0.78503719	0.78564050	0.78522771	0.78552256	0.78530463	0.78547026
0.79047619	0.78412698	0.78585859	0.78519259	0.78550339	0.78533884	0.78543410	0.78537513	0.78541359	0.78538744
0.78730159	0.78499278	0.78552559	0.78534799	0.78542111	0.78538647	0.78540462	0.78539436	0.78540052
0.78614719	0.78525919	0.78543679	0.78538455	0.78540379	0.78539555	0.78539949	0.78539744
0.78570319	0.78534799	0.78541067	0.78539417	0.78539967	0.78539752	0.78539847
0.78552559	0.78537933	0.78540242	0.78539692	0.78539860	0.78539799
0.78545246	0.78539087	0.78539967	0.78539776	0.78539829
0.78542166	0.78539527	0.78539871	0.78539803
0.78540847	0.78539699	0.78539837
0.78540273	0.78539768
0.78540021

Они соответствуют следующим алгоритмическим выводам:

Точность окончательных результатов

Алгоритм	Используемый термин	Цена за $\pi /4$	Относительная ошибка
Наивные частичные суммы	$s_{0,12}$	0.8046006...	+2.4%
преобразование Эйлера	$s_{12,0}$	0.7854002...	+2.6 × 10 −6
результат ван Вейнгаардена	$s_{8,4}$	0.7853982...	+4.7 × 10 −8

См. также

• суммирование Эйлера